高中数学人教A版2本册总复习总复习 模块综合检测b

模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z的共轭复数eq\x\to(z)＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：求出复数z，再确定z对应的点的坐标．∵eq\x\to(z)＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．答案：D2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．答案：B3．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指数函数(小前提)，所以函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错解析：推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0<a<1时，y＝ax是减函数；当a>1时，y＝ax是增函数．答案：A4．若复数z＝eq\f(1＋bi,2＋i)(b∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是()A．eq\f(3,5)i B．－eq\f(3,5)iC．i D．－i解析：因为z＝eq\f(1＋bi,2＋i)＝eq\f(1＋bi2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2＋b,5)＋eq\f(2b－1,5)i是纯虚数，所以2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2.所以z＝－i，则复数z的共轭复数是i.答案：C5．类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()①棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A．① B．②C．③ D．①②③解析：三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线→面”、“角→二面角”．答案：B6．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－1处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()解析：由题意知f′(－1)＝0，当x<－1时f′(x)<0，当x>－1时f′(x)>0，∴当x<－1时，x·f′(x)>0，当－1<x<0时，x·f′(x)<0，当x>0时，x·f′(x)>0.答案：B7．若eq\a\vs4\al(\i\in(1,a,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝3＋ln2且a>1，则实数a的值是()A．2 B．3C．5 D．6解析：eq\a\vs4\al(\i\in(1,a,))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝(x2＋lnx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(a,1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，所以a＝2.答案：A8．观察式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，则可归纳出一般式子为()A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n－1)(n≥2)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n＋1,n)(n≥2)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n－1,n)(n≥2)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n,2n＋1)(n≥2)解析：由合情推理可得．答案：C9．在平面内有n(n∈N＋，n≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n条直线把平面分成f(n)个平面区域，则f(9)等于()A．18 B．22C．37 D．46解析：f(3)＝7，f(4)－f(3)＝4，f(5)－f(4)＝5，…f(n)－f(n－1)＝n.以上各式相加：∴f(n)＝7＋4＋5＋…＋n∴f(9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋eq\f(6×4＋9,2)＝46.答案：D10．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1 B．2C．－1 D．－2解析：设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．又y′＝eq\f(1,x＋a)，∴y′|x＝x0＝eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0.∴x0＝－1.∴a＝2.答案：B11．定义复数的一种运算z1*z2＝eq\f(|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*eq\x\to(z)的最小值为()A．eq\f(9,2) B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\f(3,2) D．eq\f(9,4)解析：z*eq\x\to(z)＝eq\f(|z|＋|\x\to(z)|,2)＝eq\f(2\r(a2＋b2),2)＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a＋b2－2ab)，又∵ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，∴－ab≥－eq\f(9,4)，z*eq\x\to(z)≥eq\r(9－2×\f(9,4))＝eq\r(\f(9,2))＝eq\f(3\r(2),2).答案：B12．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x>0时，有eq\f(xf′x－fx,x2)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意知g(x)＝eq\f(fx,x)在(0，＋∞)上是增函数，且g(1)＝0，∵f(x)是R上的奇函数，∴g(x)是R上的偶函数．eq\f(f(x),x)的草图如图所示：由图象知：当x>1时，f(x)>0，当－1<x<0时，f(x)>0.∴不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．解析：根据题意先求出P，Q的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点．因为y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.答案：－4\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(eq\r(1－x2)＋x)dx＝________.解析：eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))eq\r(1－x2)dx＝eq\f(1,4)π，eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xdx＝eq\f(1,2)x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)－0＝eq\f(1,2)，∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(eq\r(1－x2)＋x)dx＝eq\f(1,4)π＋eq\f(1,2).答案：eq\f(1,4)π＋eq\f(1,2)15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为eq\f(l2,16)”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________________________________________________________________________________.解析：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,6)))eq\f(3,2).答案：表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S,6)))eq\f(3,2)16．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2x＋m要使f(x)是R上的单调函数，需使Δ＝4－12m≤∴m≥eq\f(1,3).答案：m≥eq\f(1,3)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若复数z＝1＋i，求实数a，b使得az＋2beq\x\to(z)＝(a＋2z)2.解析：由z＝1＋i，可知eq\x\to(z)＝1－i，代入az＋2beq\x\to(z)＝(a＋2z)2，得a(1＋i)＋2b(1－i)＝[a＋2(1＋i)]2，即a＋2b＋(a－2b)i＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a＋22－4，,a－2b＝4a＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋eq\f(k,2)x2(k≥0)．当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解析：当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝eq\f(1,1＋x)－1＋2x.由于f(1)＝ln2，f′(1)＝eq\f(3,2)，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝eq\f(3,2)(x－1)，即3x－2y＋2ln2－3＝0.19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边<右边，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意n∈N*都成立．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝eq\f(x3,3)－(a＋1)x2＋4ax＋b，其中a，b∈R.(1)若函数f(x)在x＝3处取得极小值eq\f(1,2)，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若函数f(x)在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．解析：(1)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a所以f′(3)＝9－6(a＋1)＋4a＝0，得a＝eq\f(3,2).由f(3)＝eq\f(1,2)，解得b＝－4.(2)因为f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2a)(x－2令f′(x)＝0，得x＝2a或x当a>1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2a，＋∞)当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2a)，(2，＋∞(3)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,f′－1·f′1<0，))解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(1,2).所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).21．(本小题满分13分)某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足：P2＝eq\f(k,x)，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x件时，总利润为L(x)(万元)，求L(x)的解析式；(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)．解析：(1)由题意有502＝eq\f(k,100)，解得k＝25×104，∴P＝eq\r(\f(25×104,x))＝eq\f(500,\r(x))，∴总利润L(x)＝x·eq\f(500,\r(x))－1200－eq\f(2x3,75)＝－eq\f(2x3,75)＋500eq\r(x)－1200(x>0)．(2)由(1)得L′(x)＝－eq\f(2,25)x2＋eq\f(250,\r(x))，令L′(x)＝0⇒eq\f(250,\r(x))＝eq\f(2,25)x2，令t＝eq\r(x)，得eq\f(250,t)＝eq\f(2,25)t4⇒t5＝125×25＝55，∴t＝5，于是x＝t2＝25，所以当产量定为25时，总利润最大．这时L(25)≈－＋2500－1200≈883.答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元．22．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)．(1)若函数f(x