2022天津塘沽区第十四中学高三数学理联考试卷含解析

2022天津塘沽区第十四中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，真命题的个数有（

）．①②的充分条件是③函数是单调递增函数；④和互为反函数．

A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：C2.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为：（

）A.15.5尺 B.12.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺参考答案：A【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.4.复数的实部为1，其在复平面上对应点落在直线上，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是()A.

B.

C.

D.参考答案：D6.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．2 B． C．﹣1 D．﹣2参考答案：B【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=11时，满足条件，计算即可得解．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：

a

i

是否继续循环循环前

2

1第一圈

2

是第二圈﹣1

3

是第三圈

2

4

是…第9圈

2

10

是第10圈

11

是故最后输出的a值为．故选：B．7.设全集，集合，，则

A．B．

C．

D．参考答案：B略8.设A={}，集合B为函数的定义域，则AB=（

）A.（1，2）

B.[1，2]

C.[1，2）

D.（1，2]参考答案：D9.已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=3|FB|，则k=(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=3|FB|，推断出|AM|=3|BN|，进而求得点B的坐标，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．解答： 解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=3|FB|，则|AM|=3|BN|，设B（x1，y1），A（x2，y2），则x2+2=3（x1+2），y2=3y1，∴x1=∴点B的坐标为（，），∴k==．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，是中档题，解题要注意抛物线的基础知识的灵活运用．10.设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)＝2008，且对任意x∈R，满足f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，则f(2008)＝()A．22006＋2007 B．22008＋2006C．22008＋2007 D．22006＋2008参考答案：C由题意f(2008)≤f(2006)＋3×22006≤f(2004)＋3×22006＋3×22004≤…≤f(0)＋3×(22006＋22004＋…＋22＋20)＝2008＋3×＝2007＋22008①f(2008)≥f(2002)＋63×22002≥f(1996)＋63×21996≥…≥f(4)＋63×(22002＋21996＋…＋24)＝f(4)＋63×＝f(4)＋22008－24②又由条件f(x＋2)－f(x)≤3·2x，f(x＋6)－f(x)≥63·2x，可得f(x＋6)－f(x＋2)≥60·2x＝15·2x＋2即f(x＋4)－f(x)≥15·2x再由f(x＋2)－f(x)≤3·2x得f(x＋4)－f(x＋2)≤3·2x＋2两式相加得f(x＋4)－f(x)≤15·2x，∴f(x＋4)－f(x)＝15·2x∴f(4)－f(0)＝15，∴f(4)＝f(0)＋15＝2023，代入②解得f(2008)≥2007＋22008③由①③得f(2008)＝2007＋22008.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为，△的顶点都在抛物线上，且满足，则_______.参考答案：0【知识点】抛物线及其几何性质H7设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则

∵，∴△ABC的重心是F，

∵抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F（，0），∴y1+y2+y3=0，

∴++==0.【思路点拨】由，可得△ABC的重心是F，从而y1+y2+y3=0，利用斜率公式，即可求得结论．12.设集合A={1，m}，B={1，3}，若A∪B={1，2，3}，则m=

▲

．参考答案：2集合A={1，m}，B={1，3}，且A∪B={1，2，3}，则m=2．故答案为：2．

13.设A为曲线M上任意一点，B为曲线N上任意一点，若的最小值存在且为，则称为曲线M，N之间的距离.（1）若曲线M:为自然对数的底数），曲线N：，则曲线M，N之间的距离为

；（2）若曲线M：，曲线N：，则曲线M，N之间的距离为

．参考答案：，【知识点】单元综合B14：（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．

∵y′=ex，∴ex0=1，∴x0=0．∴y0=1．∴切点P（0，1），∴1=0+t，解得t=1．∴切线方程为y=x+1．

∴曲线M，N之间的距离=．

（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．

设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），由曲线N：x2+1+y=0，y′=-2x，

令-2x=-1，解得x=，y=-．切点P(，-)到直线y=-x的距离=．

∴曲线M，N之间的距离为．【思路点拨】（1）设与直线N：y=x平行且与曲线M：y=ex相切的直线方程为y=x+t，切点P（x0，y0）．利用导数的几何意义可得切点P（0，1），

代入y=x+t，解得t=1．可得切线方程为y=x+1．即可得出曲线M，N之间的距离．

（2）由曲线M：y2+1=x，曲线N：x2+1+y=0，可知两曲线关于直线：y=-x对称．设与直线：y=-x平行，且与曲线N：x2+1+y=0相切于点p（x，y），利用导数的几何意义可得切点，利用平行线之间的距离公式即可得出．14.函数的定义域为

参考答案：略15.为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400m2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28m2，月租费为x万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为_________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为_________万元．参考答案：16；1【分析】（1）设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为，根据条件建立不等关系和相等关系，求解，确定解的个数；（2）平均每间店的收入不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%建立不等式，根据不等式恒成立求的最大值即可.【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,（1）由题意知，，化简得：，又，所以，解得：，共种；（2）由题意知，，，，，即的最大值为1万元，故答案为：16；1【点睛】本题主要考查了不等式在实际问题中的应用，不等式的性质，属于难题.16.如图所示，在平面直角坐标系，角α的终边与单位圆交于点A，已知点A的纵坐标为，则=

。参考答案：略17.在△ABC中，若sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为_______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的最小正周期是，求函数的值域以及单调递减区间。参考答案：；；的值域为；，，的单调递减区间是。19.已知椭圆的离心率为，以椭圆的上焦点F为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线，，且分别交椭圆于M、N两点（M、N不是椭圆的顶点），探究直线MN是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.参考答案：(1)(2)MN恒过定点，见解析【分析】（1）由题得，，解方程组即得椭圆的方程；（2）设的方程为，的方程为，当斜率存在时，的方程为，过定点，当MN的斜率不存在时，也过定点.即得解.【详解】（1）∵，∴，设圆的方程为，圆心为，半径为，设为圆心到直线的距离，则，∵，∴，即，，∵，∴.所以椭圆的方程为.（2）设的方程为，的方程为，联立，可得，整理，设，∵不是椭圆的顶点，∴，代入，得，，联立，设，∴，带入，得，，①若斜率存在，，：

恒过.②若斜率不存在，的方程为，的方程为，，，此时：，亦过，综上，直线恒过.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆中的直线过定点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.（本小题满分12分）

已知数列中，为的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和参考答案：略21.(本小题满分12分)

已知函数

(I)求函数的最小正周期和最大值；

(II)若，求的值．参考答案：(I)最小正周期是,最大值是1,(II)22.设a，b∈R，曲线f（x）=ax2+lnx+b（x＞0）在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0．（1）若函数g（x）=f（ax）﹣m有2个零点，求实数m的取值范围；（2）当p≤2时，证明：f（x）＜x3﹣px2．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】分类讨论；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式，函数g（x）=f（ax）﹣m有2个零点，即为f（﹣x）=m有两个不等的实根．求得f（﹣x）的导数和单调区间，可得最大值，即可得到m的范围；（2）对p讨论，当p≤0时，当0＜p≤2时，求出f（x）的导数，可得单调区间，即有最大值，再求y=x3﹣px2的导数，单调区间，求得最小值，比较即可得证．【解答】解：（1）f（x）=ax2+lnx+b的导数为f′（x）=2ax+，由在点（1，f（1））处的切线方程为4x+4y+1=0，可得切线的斜率为2a+1=﹣1，切点为（1，﹣），可得a+b=﹣，解方程可得a=﹣1，b=﹣，即f（x）=﹣x2+lnx﹣，函数g（x）=f（ax）﹣m有2个零点，即为f（﹣x）=m有两个不等的实根．由f（﹣x）=﹣x2+ln（﹣x）﹣的导数为﹣2x+=（x＜0），可得x＜﹣时，f（﹣x）递增，﹣＜x＜0时，f（﹣x）递减，即有x=﹣处取得最大值，且为﹣+ln，可得m＜﹣