高中数学苏教版3第二章概率2．3独立性 第2章事件的独立性

2.3.2事件的独立性1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)[基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材P59～P60，完成下列问题．1．事件的独立性的概念(1)概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．(2)含义：P(A|B)＝P(A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An3．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立．1．下列说法正确的有________．(填序号)①对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；②若事件A，B相互独立，则P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))×P(eq\x\to(B))；③如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；④若事件A与B相互独立，则B与eq\x\to(B)相互独立．【解析】若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以①正确；若事件A，B相互独立，则eq\x\to(A)，eq\x\to(B)也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与eq\x\to(B)相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③2．甲、乙两人投球命中率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________.【导学号：29440046】【解析】事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B且Aeq\x\to(B)与eq\x\to(A)B互斥，P(C)＝P(Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是,,，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．【解析】三人都达标的概率为××＝.三人都不达标的概率为(1－×(1－×(1－＝××＝.三人中至少有一人达标的概率为1－＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]相互独立事件的判断判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【精彩点拨】(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．【自主解答】(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq\f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq\f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq\f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6).∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．[再练一题]1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．【解】A＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，B＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．∴P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3×3,36)＝eq\f(1,4)，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互独立．相互独立事件发生的概率面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3).求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．【精彩点拨】eq\x(明确已知事件的概率及其关系)→eq\x(把待求事件的概率表示成已知事件的概率)→eq\x(选择公式计算求值)【自主解答】令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,60).(2)他们都失败即事件eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B))eq\a\vs4\al(\x\to(C))同时发生．故P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B))eq\a\vs4\al(\x\to(C)))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B))eq\a\vs4\al(\x\to(C)))＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．[再练一题]2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．【解】记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(3,100).故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是eq\f(3,100).(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))·eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)·eq\f(3,10)＝eq\f(9,50).故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是eq\f(9,50).[探究共研型]事件的相互独立性与互斥性探究1甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件eq\x\to(A)B与Aeq\x\to(B)呢？【提示】事件A与B，eq\x\to(A)与B，A与eq\x\to(B)均是相互独立事件，而eq\x\to(A)B与Aeq\x\to(B)是互斥事件．探究2在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？【提示】“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B).所以P(C)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A)B)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(B)＋P(A)·P(eq\x\to(B))＝(1－×＋×(1－＝.探究3由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？【提示】相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)·P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为,,.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．【精彩点拨】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．【自主解答】设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则eq\x\to(D)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝，P(E)＝，P(F)＝，由对立事件的概率公式知P(eq\x\to(D))＝，P(eq\x\to(E))＝，P(eq\x\to(F))＝.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有Deq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F))，eq\x\to(D)Eeq\x\to(F)，eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1＝P(Deq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))＋eq\x\to(D)Eeq\x\to(F)＋eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F)＝P(Deq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＋P(eq\x\to(D)Eeq\x\to(F))＋P(eq\o(D,\s\up6(－))eq\o(E,\s\up6(－))F)＝××＋××＋××＝.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DEeq\x\to(F)，Deq\x\to(E)F，eq\x\to(D)EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\x\to(E)F)＋P(eq\x\to(D)EF)＋P(DEF)＝××＋××＋××＋××＝.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件eq\a\vs4\al(\x\to(D))eq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F))，且P(eq\a\vs4\al(\x\to(D))eq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F)))＝××＝.∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P(eq\a\vs4\al(\x\to(D))eq\a\vs4\al(\x\to(E))eq\a\vs4\al(\x\to(F)))＝1－－＝.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．[再练一题]3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．【解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．[构建·体系]1．若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是________．①A与eq\x\to(A)；②A与eq\x\to(B)；③B与eq\x\to(A)；④eq\x\to(A)与eq\x\to(B).【解析】A与eq\x\to(A)是互斥事件，不可能是相互独立事件．【答案】①2．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，则P(AB)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.【解析】∵A，B是相互独立事件，∴eq\x\to(A)与B也是相互独立事件．∴P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)＝(1－P(A))P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)eq\f(1,3)3．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为，乙闹钟准时响的概率为，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．【解析】设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－(1－＝1－×＝.【答案】4．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.【导学号：29440047】【解析】加工出来的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，因此加工出来的零件的次品率为1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).【答案】eq\f(3,70)5