2021-2022学年河北省唐山市南观乡中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年河北省唐山市南观乡中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y＝的定义域为()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1参考答案：C2.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π?12×1+π?12?2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．3.已知双曲线：（）的上焦点为（），是双曲线下支上的一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的渐进线方程为（

）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：设下焦点为，圆的圆心为，易知圆的半径为，易知，又，所以，且，又，所以，则，设，由得考点：直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出之间的关系．解决解析几何问题还能纯粹地进行代数计算，那样做计算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助几何性质进行简化计算．本题中直线与圆相切于，且，通过引入另一焦点，圆心，从而得出，，这样易于求得点坐标（用表示），代入双曲线方程化简后易得结论．4.已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（）A．ω=2，φ= B．ω=2，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ=参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出?的值即可．【解答】解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+?），0＜?＜，?=．故选B．5.设集合，，则A∩B=（

）A.{1,2} B.{2,3} C.{1,3} D.{1,2,3}参考答案：B【分析】化简集合B，根据交集运算求解即可.【详解】由可得，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.6.圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A试题分析：圆的标准方程为，圆心到直线的距离为1，故圆心角为，故劣弧长为考点：直线与圆的位置关系、弧长公式7.已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（

）A．8

B．11

C．14

D．17参考答案：B圆，圆心，半径．故弦心距．再由弦长公式可得；故选B．考点：直线与圆的位置关系．8.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3

B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1

D．y＝2－|x|参考答案：B9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若、的图象都经过点，则的值可以是A． B． C． D． 参考答案：B10.已知集合M＝{x∈Z|－3<x<0}，N＝{x∈Z|－1≤x≤1}，则图1中阴影部分表示的集合为

(

)A．{－2}

B．{－2，－1}C．{－2，－1,0}

D．{－2，－1,0,1}参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正三棱锥中，，，则此三棱锥的外接球的表面积为

．

参考答案：略12.若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________参考答案：略13.在中，，则的面积为_________．参考答案：试题分析：∵，∴，即．∴．所以答案应填：．考点：正弦定理．14.在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是

．参考答案：15.已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为1的正三角形，那么______．参考答案：【分析】根据函数的奇偶性求出，根据是边长为1的正三角形求出和，可得函数的解析式，从而求得的值．【详解】由奇函数的导函数的部分图象可知，．是最高点，且是边长为1的正三角形，∴，∴，，故，那么，故答案为．【点睛】本题主要考查由函数部分图象求解析式，函数的奇偶性，正三角形的性质，属于基础题．

16.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为________．参考答案：【分析】由短轴长等于16可得，联立离心率及即可求得，问题得解。【详解】由题可得：，解得：又，解得：所以所求椭圆的标准方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查计算能力，属于基础题。17.（5分）设数列{an}满足：a1=1，a2=4，a3=9，an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n=4，5，…），则a2015=．参考答案：8057【考点】：数列递推式．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：由数列递推式得到an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，进一步得到an+1+an﹣3=2an﹣1，说明数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，由等差数列的通项公式求得a2015．解：由an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3，得an+1=an+an﹣1﹣an﹣2，两式作和得：an+1=2an﹣1﹣an﹣3．即an+1+an﹣3=2an﹣1（n=4，5，…）．∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列，∵a1=1，a3=9，∴奇数项公差为8．则a2015=a1+8（1008﹣1）=1+8×1006=8057．故答案为：8057．【点评】：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，以O为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及直线的普通方程；（Ⅱ）将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线的距离的最小值.参考答案：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：

即：直线的普通方程为

4分（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的，得

即再将所得曲线向左平移1个单位，得：又曲线的参数方程为（为参数），设曲线上任一点则（其中）点到直线的距离的最小值为.19.已知a＞0，函数f（x）=a2x3﹣3ax2+2，g（x）=﹣3ax+3．（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的极值；（3）若?x0∈（0，]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由导数值即曲线上过该点的切线的斜率求出斜率，后由点斜式写出切线方程；（2）求出原函数的导函数，求出导函数的两个零点，由零点对定义域分段，得到在各区间段内导函数的符号，判断出原函数的单调性，从而求出原函数在[﹣1，1]上的极值点，进一步求得函数的极值．（3）设F（x）=f（x）﹣g（x），求导，由F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，只要F（x）max＞0即可，列出不等式求得a的范围．【解答】解：由f（x）=a2x3﹣3ax2+2，求导，f′（x）=3a2x2﹣6ax，（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=3x2﹣6x，f′（1）=﹣3，f（1）=0，∴f（x）在点（1，f（1））的切线方程的斜率k=﹣3，直线方程y=﹣3（x﹣1），即y+3x﹣3=0，函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程y+3x﹣3=0；（Ⅱ）令f′（x）=0，得：x1=0，x2=，（1）当0＜＜1，即a＞2时，x∈（﹣∞，0），（，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，）时f′（x）＜0，∴当x在区间（﹣1，1）上，x，f′（x），f（x）变化，x（﹣1，0）0（0，）（，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（）=；当=1，即a=2时，x∈（﹣∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，1）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a2﹣3a+2；当＜1，即0＜a＜2时，x∈（﹣∞，0），（，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，）时f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2．综上，当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（）=；当a=2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2，极小值f（1）=a2﹣3a+2；当0＜a＜2时，函数f（x）在[﹣1，1]上有极大值f（0）=2；（3）设F（x）=f（x）﹣g（x）=a2x3﹣3ax2+3ax﹣1，（x∈（0，]），对F（x）求导，得F′（x）=3a2x2﹣6ax+3a=3a2x2+3a（1﹣2x）＞0（a＞0），∴F（x）在（0，]上为增函数，则F（x）max=F（）．依题意，只需F（x）max＞0，即a2×﹣3a×+3a×﹣1＞0，∴a2+6a﹣8＞0，解得a＞﹣3+或a＜﹣3﹣（舍去）．于是，所求实数a的取值范围是（﹣3+，+∞）．20.某大学举办“我爱记歌词”校园歌手大赛，经过层层选拔，有5人进入决赛。决赛办法如下：选手先参加“千首电脑选歌”演唱测试，测试过关者即被授予“校园歌手”称号，否则参加“百首电脑选歌”演唱测试。若“百首电脑选歌”演唱测试过关也被授予“校园歌手”称号，否则被彻底淘汰。若进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关的概率是0.5，“百首电脑选歌”演唱测试合格的概率是0.8，而且每个人每轮测试是否合格是相互独立的。试计算（结果精确到0.01）：

（1）恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率；

（2）平均有几人参加“百首电脑选歌”演唱；

（3）至少一人被最终淘汰的概率。参考答案：（1）记A表示事件“恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱”，则事件A等价于进入决赛的5人中，恰好有3人“千首电脑选歌”演唱测试过关，所以，因此恰好有两人参加“百首电脑选歌”演唱的概率是0.31。（2）设参加“百首电脑选歌”演唱的人数为，依题意=0，1，2，3，4，5。表示进入决赛的5人“千首电脑选歌”演唱测试过关人，未过关人，其中=0，1，2，3，4，5。由已知，从而的数学期望是＝，即平均有2.50人参加“百首电脑选歌”演唱。（3）记B表示事件“至少一人被最终淘汰”，则表示事件“5人都被授予“校园歌手”称号”，包括参加“千首电脑选歌”演唱测试过关者和参加“千首电脑选歌”演唱测试未过关者又参加“百首电脑选歌”演唱测试合格者”。因为每个人未被最终淘汰的概率为0.5+(1-0.5)×0.8=0.9，所以，故至少一人被最终淘汰的概率。21.（12分）如图，设矩形ABCD（的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于点P.设AB=，求的最大面积及相应的值.参考答案：解析：解法一：因为，所以.又，由勾股定理得，整理得.

…………4分因此的面积.

……………6分..

……………8分当且仅当时，即时，S有最大值.答：当时，的面积有最大值.

………