数学实验(线性代数、微积分、常微分方程、概率论与数理统计等) 精品

简本主讲大工数课中线代、积、常分程概论数统等要学法MATLAB软的现程其用内分个分第部为MATLAB件用介介MATLAB软件的基本容第二分线代实，绍MATLAB软求解线方组计矩特值特向、行阵相对化及矩阵解方第三分微积分验绍MATLAB软进符微分算数微和值分算方；第四部为微方实介绍MATLAB软件求线（非线性微方（）解解数解进动仿的方法第部为率与理计验用MATLAB软进行随变的关算随数产及本据计可视化的法另，对体容绍相的用例以帮助学逐学用学识解实问。一后有一定量实题以学课上练及验本适于工院大本专科学生及备工科学识计机识其科工者1

数学实验是在数学应用于各个科领域，特别是应用于工程技术领域的过程中产生的，是伴着计算机的广泛使用和数学软的有效开发而发展的，它着重体现了用学和实数学的理念用学是应数学理论知识解决相关领域中的实际问题；实现数学是通过计算机及数软件实现部分数学结果的理论推和计算过程，使抽象的数学内容直观化、可视。数学实验课程是学工科数学课程教学改革与建的主要成果之一，目前已在全国各高校广泛设，并已成为大学工科数学课的重要组成部分。数学实验课开设的主要目的是过数学实验使学生深入理解数学基本概念和基础理论、熟悉掌握常用的数学件，培养学生应用数学知识并合计算机工具解决实际问题的能力。数学实验课数学知识与计算机应用有机地合起来，以数学知识为背景、以数学软件为工具为学生自觉学习数学方法、动解决实际问题搭建了平台，对提高学生学习数学兴趣、加强学生的数学理论基、培养学生的开拓性思维等具有重要作用。本书主要讲授大工科数学课程中的线性代数、积分、常微分方程、概率论与数理统计等重数学方法用MATLAB软件的实现过程容分五个部分一部分为软件使用简介，介绍功能强大的MATLAB软的基本运行，变量、矩阵、数组及其算，函数及语句和M文的编写，以及绘图功能及数据的导入导出等第二部为线性代数实验介用MATLAB软件解线性方程组计矩阵特征值和特征向以及进行矩阵相似对角化和矩分解的方法。第三部分为微积分实验介绍用软件行符号微积分运算值微分函插值和数值积分计算的方法四分为常微分方程实验绍用MATLAB软求线非性）微分方程（组）解析解和数值解、进行向量场制和动态仿真的方法。第五部分为概率论与数理计实验绍用MATLAB软件进随机变量相关计算随机数的产生，及进行样数据的统计描述与可视化的方。另外，针对具体方法介绍了相应的应用实例，以更有利于培养学生用学意识和能力。本书的主要阅读象是理工科院校本专科学生。学实验课对学生后继课程的学习，特别是学在课程设计和毕业设计等环节的学习和研究具有重要帮助，提供思想和方法的导课程也将为学生一步学习数学建模加学建模竞赛、利用数学方法解各个领域中的实际问题打下良的基础。本书由陈东彦老组织编写，主要由刘凤秋、李强、曹作宝编写，牛犇、宋显华、孙伟参与部分内容的编写，田广悦老师书中各部分内容的选编给与了很多具体的指导。于缺乏经验、水平有限，书中免有不妥之处，希望同行专家及广大读者批评指！编者2

目

录内简介前2第1件用介1.1MATLAB软件使用入门MATLAB动MATLAB作的注意事项及常用技巧11MATLAB助1.2MATLAB的变量和表达式131.3MATLAB矩阵创建及其运算MATLAB阵的创MATLAB阵的运1.4M文的编写与调用21文的操22命文23函文241.5MATLAB编程MATLAB用的程序控制语句MATLAB程应用1.6MATLAB基本绘图二维形绘32三图形的绘381.7MATLAB数据的导入与导出导数413

导文本文44对MS-Excel子表格文件的操46实验第2线性数验.502.1线方程组的求50MATLAB矩阵的相关运算线方程组的52应实562.2矩的特征值与特征向量及其相似对角化矩的特征值特向矩的相似对61应实642.3矩的分68矩的LU分解68矩的QR解69矩的Cholesky分70矩的奇异值712.3.5*矩的分解742.3.6*矩的分解75实验第3微积实3.1微分符号运80符变量与符表符函数的极81符函数的微834

符函数的积88符函数的求与勒多项应实933.2数微95数微分计算95数微分的MATLAB实现应实973.3函插98拉朗日插99函插值的MATLAB实现应实1033.4数积106数积分计算106误估计和收113数积分的MATLAB实现应实1203.5*二次曲面与曲面交线的绘制122二曲122空两曲面的124实验第4常微方实4.1常分方程及其模129常分方程的本常分方程模1314.2常分方程解析解MATLAB实现5

4.3常分方程数值解及其MATLAB实现数解的法137数解的法140常分方程数解的MATLAB实现4.4*量场绘图及Simulink在求微分方上的应用向场绘147Simulink应用148实验第5概率与理计验1605.1随变量及概率分160概密度函数的概密度函数可分函数的计168逆积分布函的随变量数字征计5.2随数的产生及应175随机的175应用1785.3样的统计描181样的统计量其样的分布及可应实1945.4参估计与假设检198参估计及其MATLAB实现假检验及其MATLAB实现6

应实204实验附209附表1-1用三角函数表209附表1-2用计算函数209附表1-3件操作函数表210附表5-1见分布概率密度函表210附表5-2见分布函数表212附表5-3用函数计算概率密函表213附表5-4用函数计算累积概值数表214附表5-5用临界值函数表215附表5-6见分布的均值和方215附表5-7机数产生函数表216附表5-8数估计函数表217参文献7

1章MATLAB软件使介MATLAB是矩阵实验Matrix）简称，由美国司出品与并为三大数学件是一个功能强大的常用数学软件，它但可以解决数学中的数值计算题，而且可以解决符号演算、矩阵运算、绘制图、实现算法、创建用户界面和接其它编程语言的程序等问题，并且能够方便地出各种函数图形主应用于程计算、控制设计、信号与图像处理、号检测、金融建模设计与分析领域。它使用方便，输入简洁，并且很容易由用自行扩展，因此已成为国内外多大学教学和科学研究中最常用且必不可少的工。不同的操作系统相应的MATLAB版本，本书介绍Windows操系统下的MATLAB7.1版的本使用。1.1MATLAB软件使入门1.1.1动退出1.动版本MATLAB照安装光盘中的安装明成功安装后，系统会在【始】菜的【程序】子菜单中加入启动M命的标，用鼠标单击此图标就可动系统，如图。图

启动8

启动后，就可以进入MATLAB的作环境。首先出现的图标，接着就进了其默认的桌面系统如图。图是桌面统的默认界面（通过更菜单的选项可以组合不同的窗口式上窗当前目录CurrentDirectory切换为工作空间（左视窗为历史命令（History切为当前目录（CurrentDirectory半视窗为命令窗口令窗口是用户与进行人机交互的主要环境，在此可输入命令或执行M文，是命令窗口的提示符可以在它后面输入命令或输入句。图界面2MATLAB基演下面通过三个实来初步了解MATLAB的操作和功能。例1.1计算

，并输出值。x2=pi↙x11.4142x23.1416思考题：例1.1中的变量x1和x2中间能否去掉，请验证你结果？注：MATLAB在示>>后的每一行输后需要输入↙，即Enter键回车例1.2绘制

sin(yxy

2

)

在区间x[8,8]

，[

上的图形。>>↙>>R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;↙>>Z=sin(R)./R;↙9

↙输出图像如图1.3所：10.50-0.5105

%函绘制由矩阵XY，所定的曲面100

-5

-5

0

5-10-10图例1.3极坐标绘图示。>>t=0:0.01:2*pi;↙

直角坐标的图形%图1.4图

极坐标绘图3.出若要退出，需用鼠标点击其系统集成界右上角的关闭按钮，或者在命令窗口输入exit或命即。10

1.1.2作的意事及用巧1.意项（1）在命令窗口工区中输入MATLAB令后，须按下键，MATLAB才能执行所输入命令，否则不执行该命令。（2）MATLAB区分字母大小写（3）一般情况下，命令窗口中输入一个命令并按下，计算机会显示此次输入的执行果。为了简便，在后续的章节我们将不再显↙号。（）如果用户不想示输入的结果，只要在所输命令的后面加上一个分号;即可。如：2+3↙52+3;↙（5）可以在某一行尾处键入个英文句号“”现续行的目的。如：q=5^6+sin(pi)+exp(3)+(1+2+3+4+5)/sin(x)...（6）中变量必须为字母、数字及某些符号组合，某些情况也允许输入汉字，但标符号必须是英文状态下的标点号。（7）中需要专门定义变量类型，系统会自动根据表达式的值或输入的值来确定变的数据类型。（8命令行M文中的注释语句都以百分%开始句行中百分号后面的该行内容将被略而不被执行M文中后面的语句可以命显示出来。2.用巧特殊的功能键如：（1）恢当前命令输入前的空白状态（2）调上一行命令。（3）调下一行命令。其中，为键盘中的向上键，为键盘中的向下键后两个功能键在程序调试时很有用在MATLAB实使用中往往需要对刚执过的命令进行修改后重新执行了避免重复输入可调原令后再做修改。1.1.3助MATLAB的离线助文件内容丰富，是学习MATLAB的佳资料，学习MATLAB首先要学会MATLAB帮的使用。在命令窗口中输help命令或直接用鼠标键单击菜单中的按（快捷键以开如图1.5所的帮助窗口。11

图帮窗口图中左上有四个可以切换的选项页，分为，Index，Search和可根据需要打开相应选项页查找所需的信息遇见一个新的函数时，可通过进行查找其功能及详细用提供了大量的演文件为初学者提供帮助还供了在线帮助功能，但用户要连接网络。下面介绍一下通查找函。进入助界面后选中选页进入下一界面并后面空白处输入，点击按钮就会看到如图1.6的结。12

图中Seacrchfor搜索功能还可以在命令窗直接输入查找命令，例如>>helpsinSINSine.SIN(X)isthetheofalsosind.functionsormethodswithsamenameinothersym/sin.mReferencepageinHelpbrowserdoc借助于MATLAB提的助系统以解决在使过中到的许多问题。1.2MATLAB的变和表式1.MATLAB量名则（1）中量名可以包含字母、数字及下划线，但必须以字母开头，后面最多跟个字母或数字，如x，，，d3er45等是法的变量名。（2）变量名区分大写，如abAb表两个不同的变量13

，，B1（3）注意不要用MATLAB中内部函数或命令名作为变名。如果内部函数用作变量名，内函数将失效。2.工空中变量关函数1列出量函：who功：出当前工作空间中的变量且内存中的当前变量以简单式列出函：whos功：出当前内存变量的名称、小、类型等信息2清除量函：功：除工作空间中的所有变量用于释放系统内存函：all功：除函数工作空间和基本工空间的所有函数变量，全局量和类函：clc功：除命令窗口3.MATLAB运符1数学算+加号（号（乘号（左除(右除^（乘幂）2关系算<小于（大(小于等于>=（大于等于（等于（不等于）3逻辑算&逻与运算逻辑或运算（辑非运）例1.4已矩阵

A

，对其做简单的系与逻辑运算。>>A=[1,2;2];>>B=[1,1,2];>>C=(A<B)&(A==B)00004.MATLAB表式MATLAB的达式是常量、变量、函数和运算符成的有意义的式子。MATLAB语句由变量表达式及命组，用户入的语句由系统解释后运行常见的MATLAB句有两种格式：格1表达格2变量=表达式其中系自动将格式1中的表式的运行结果赋值给内部变量ans并在屏幕上14

出；在格式，系统将表达式的运行结果赋了变量。例1.5用两形式计算5

sin

算术运结果。%计算结果赋给默认变ans=1.5645e+004即为1.5645×10

4计算结果赋给变量aa=1.5645e+004；即如果在表达式面加；，则执行后不显运算结果。例1.5中正弦、指数数是MATLAB自的函数。MATLAB中有很多似的函数，常用函数详见附录中的附表和1-25.MATLAB数显MATLAB系统中值数据的存储和计算默认都是精度，如果需要可以利用命来调整数据的显示式。MATLAB默认显示格为format（松散式的示会有一些空行，占用更大的篇幅因此可以在命令语句输入前，入显示格式命令formatcompact（紧凑格式此外命还可以于控制数字显示的方式，例如formatrat表此后的数据显示为近似有理数。下面是用控制浮点变量的输精度的八种格式，如表所。表format用于浮点的八个格式类型formatshort

结果固定个数的输出

例子3.1416formatlongformatshortformatlongteformatshortgformatlonggformatshort

固定15个小数的输出带有位度的浮点格式3.1416e+000带有15位精度的浮点格式3.141592653589793e+002带有位的最佳的定点数或3.1416点数带有15位数用于显示73.14159265358979位用于显示single的最佳的定点数或浮点数工程格式，至少个有效小数和3.1416e+007幂为的formatlongeng

工程格式好有有效数字和幂为3的倍数

3.14159265358979e+081例1.6分别用五位点、十五位定点及有理数形式将>>a=5+sin(7)；,aa=5.6570aa=15

a

表示出来。

5.65698659871879aa=6.MATLAB的量在中些变量是固的用注轻易不要对这些变量重新赋值以免出现错误。些常见变量及具体意义见表。表1.2MATLAB常量常量符号

常量含义i或j

虚数单位，定义为i

=j

=-1Inf或infNaNpirealmin

正无穷大，由零做数引入此常量不定式，表示非数量，产生于0/0，/∞，0*∞等运算圆周率π的双精度示容差变量，PC上此值为2^-52最小浮点数，最大浮点数，1.3MATLAB阵创建及运算MATLAB的基本运算位是矩阵，能否熟练掌握矩阵输入、各种数值运算以及矩阵函数的使是能否学好MATLAB的关键。1.3.1阵的建1.过入接建矩输入方法是先键左方括[‖，后按行直接入矩阵的所有元素，最后键入右方括]‖。意：整个矩阵[‖和]‖为尾，同的元素用,‖空隔开，不同行的元素用;‖按键来隔；矩阵的元素可以是数字或表达式。

3

例1.7直输入创建矩阵。8>>A=[1,4,15,7,A134156079>>A=[1,2,34,15,607,16

0000A1341560792.关数建阵MATLAB提供了若干数来创建一些特殊矩阵，见表。表

生成特殊矩阵的相函数函数名称n)eye(n)n)

函数功能mn列矩阵n单位矩阵mn列素为的矩1

函数名称randn(m,magic(n)rand(m,n)

函数功能m行列态分布随机矩n魔方矩阵m行列匀分布随机矩例创建阵

11

。生成元素都1阶阵11111例1.9

创建矩阵

00

。5)%生成元素都为的25列矩阵0000例生魔方矩阵。>>magic(3)8135493.号作“”j:k表示生成步长为等差数列构成的数组：[j,j+1,j+2,…,k]；j:i:k表生成步长为i的等差列构成的数组：[j,；例等数列的生成。>>1:5步为1的差数列ans=13417

AA>>linspace(1,%给出区间[的5个等分点数据135>>1:2:7%步长为的差数列135>>8:-2:0步长为的差、递减数列8641.3.2阵的算1.MATLAB阵素作下面介绍矩阵元的抽取与赋值、矩阵扩充、矩元素的删除等操作。详细用法见表。1矩阵素抽取赋例已矩

61

，抽取与修改A

的一些元素。>>A=[156;sin(3)79;log(2)61]%输入矩阵AA1.000056.00000.14117.00009.00000.69316.00001.0000>>A(2,抽取矩阵A的第二行第三列元素9>>A(4)抽取矩阵的第四个元素23>>A(2:%抽取矩阵的二、三、四个元素0.14110.693123.0000>>A(1,:)%抽取矩阵A的一行12356>>A(:,%抽取矩阵A的三列56913)把阵A的第一行第三列元素赋值给量a=18

，，9A56>>A(2,1)=100把阵A的二第一列素修改为A1.0000100.00007.00000.69316.00001.0000>>B=A([3,1],[2,3])B61232矩阵扩例已矩阵

A

39

，利用A

与

生成矩阵

，DA和F

A

B

。>>A=[1,3;6,9];%输入矩阵A>>C=A;>>%把矩阵A扩充为2行列矩阵>>=1690>>B=[1,5;8];%入矩阵B>>B]由矩阵A与B合成矩阵D>>D1156>>zeros(2),B]%阵A与B合分矩阵FF=106001003矩阵分素的除例已矩

61

，删除A

的第一行。>>A=[156;sin(3)79;log(2)61];>>A(1,:)=[]删出A的第一行A0.14117.00009.000019

，B，B50.69316.00001.0000表矩阵元素的操作用法A(i,j)A(:,j)A(i,:)A(:,:)A(i)A(i:j)[]A([i,j],[k,l])2.阵基运

功能矩阵A的第i行第j列元矩阵A的第j列矩阵A的第i行矩阵A的所有元素构造一个维阵矩阵A的所有元素按列构造一列矩阵矩阵A(:)的第i个元素矩阵A(:)的第i个到j个素构成的向量空矩阵取出矩阵A的第i，j行及第k，l列交点上的元素：阵加法：阵减法A*B矩阵乘法A\：矩阵的左：矩阵的右除或：A的置k*A数k乘以A矩阵A的次幂：A^n矩阵的点幂其中矩阵的除＼和除／如果矩阵A是非奇异方阵则等于A的逆矩阵乘B，；同理等B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)。具体计算时可不用逆矩阵直接计算。右除B/A也可(A'\B')'来现。例已矩

A

2321

，求A

和

A.

。>>3;456];254];>>C=A+B=44101010>>C=A.^B=140961296注：点和算术运符之间不能有空格。例已X36>>X=[13];56];>>X.^220

和2.

ans=19>>2ans=28>>2.^[X;Y]ans=28163264

01

例矩

Aa2

，求A的次幂。>>>>A=[a03;0a2];>>A^3ans=[2*a^2+2*a,a*(a+2)+4+3*a][a*(a^2+3*a)+3*a^2+6*a,[a*(a^2+3*a)+2*a^2+4*a,8+a*(6+3*a)+6*a]注：当矩阵中含未知变量时，需要用syms声未变量，则会出现???Undefinedor'a'”的误提示。列于表1.5中其它的矩阵相关运算函数将在第二章中做细介绍。函数名称

表函数功能

矩阵的其它相关运函数名称

函数功能rank(A)eig(A)poly(A)trace(A)cond(A)

求A的秩求A的特值及特征向量求A的特多项式求A的迹求A的条数

rref(A)inv(A)det(A)norm(A,1)

求A行最简形求A逆矩阵求A行列式求A范数1.4M文的编与调用在初学阶段常在命令窗口中输入语入一行命令后系统立即执行该命令，这方式称为命令窗口下命行方。用令方式编写的程序可读性差且不易存。因而，对于相对复杂问题的解，一般先编写成可存储的程序文件，然后在中行该程文件，这种方式称程文件式由语组成的程序件类型是M文M文的扩展名为M文件可分为两种形：一种令文或本文（scriptfile用为解决特定问题而编制的。一种函数文（常其它M文调用。它们都是由若干MATLAB语或命令组成文件。要注意在编写M文件时，M文名一定以字母开头且不要与内置函数重名。21

1.4.1文件操MATLAB类型文件的开关闭和保存等操作Word非相似新建M文的操作是在命令口中选择FileM-File（图然后用鼠标单，打开MATLAB中函数与M文编辑器‖见图1.8户可以在该编辑窗口中编一个新的M文。此编器还可以用来对已存在的M文进行编辑、调试和运。实际上M文也可用其它文本编辑器来建、编辑。图1.7

新建M文件图M函数与M件编辑器（编辑口）22

M文有三种运行方式是在命令窗口中直接键入文件名键二是在编辑窗口中打菜再单快捷键三直接单击工栏中的图标。M文保存的路径一定要在其设置的搜路径上，否则找不到此文件，导致无法运。后面的例题如果不特别说明都是以第一种方式运行的。在M文中，当表达式后面接分号时，与命行方式的语句一样，表达式计算结果不显示，中间结果仍保存在内存中。1.4.2命令件命令文件（也称本文件）的一般形式为文件名>，如a1.mpp.m等是合法的M文名。命令文件的格式征如下：（1）用，closeall等句开始，清除工作空间中原有的变和图形，以避免其它已执行程所残留数据对当前程序的影响（）前几行通常是注释行，用对此程序用途的说明，特别在运行时对用户输入数据的要求更要叙述清楚，否则程序的可性将很差。这些注释行必须以开始（这与C语中/**/似后程序运行时将忽略后该行内容。MATLAB规定可以通输help文名‖输出该文件中的有注释。（）程序的主体。如果文件中全局变量，即可以在子程序函数文件和主程序命令文件中共的变量，应在程序的起始部分明。其语句是global变名变量名2…为了改善程序的读性，应注重语句的缩进及与的对应关系。在程序中有时误操作输入中符号，可能导致程序无法运行MATLAB用色标注有问的语句。因而在输入序中，要注意中英文的切换。（4）命令文件常会用用户编写的函数或者系统自带的函数。例编列出区间[M]

上的素数的程序列出素数的程序clear,allM=input('输M的值M='),N=input('输入N的x=M:N;列出从M到N的部然数foru=2:sqrt(N)%出除数（最到N的平方根）找到不是素数的序号x(n)=[];将其删除掉end,x循环结束，显示结果>>%执行，输入5和x=511131723

1.4.3函数件MATLAB提了多函数文件，且随着版本的更不断扩充MATLAB软的大部分功能都来自其建立的函数集，利用这函数可以使用户方便地解决各种问题。函数文件的一般式为：<因变量=<函名(<自变量)M函文件可以有多个自变量和多个因变量，当有多个因变量时[]括来。函数文件中的变除非用global声，否则均为局部变量，不存在工作空间中。下面看MATLAB自的求素数的M文，通过其帮助很易找到该函数为primes.m。>>typeprimes输出:pprimes(n)%PRIMESGenerate%isarowofprimethanor%toN.Aprimenumberishas%anditself.%%Classforinput%%%SeeFACTOR,ISPRIME.%TheMathWorks,Inc.%$17:02:09iferror('MATLAB:primes:InputNotScalar','Nmustscalar');if<p=endp=1:2:n;q=p(1)=fork=ifp((k+1)/2)p(((k*k+1)/2):k:q)=0;p=p(p>0);注：函数文件是function开始，后跟数名（在保存时，会默认为M文件的文件名，不要修为其它名称，当M文名与function后的数名不一致时，调用函数文件时常会生错误外函数文件通常都有变量的输输出。下面来编写函数件。例设阵A

可逆，编写求

AAA

的M函文件。24

22%编exam01_19.m用求矩阵A的个值[da,a2,inva,traa]=comp4(A)da=det(A)da为矩阵A的列a2=A^2a2为矩阵A的方inva=inv(A)%inva矩阵A的矩traa=A'%矩阵A的转置因为函数的输入量为A所以在调前先给A赋值然后才能对编写的M文件进行调用。>>A=[1,2;5,8]%输入矩阵A>>调用exam01_19.m数计算矩阵A的Ada=-2a2=111845=1.00002.5000-0.5000traa=15281.5MATLAB编程

A在解决实际问题往需要编写较复杂程序面将介绍MATLAB编涉及到的内容。1.5.1用的序控语程序控制结构有种：顺序结构、选择结构和循结构。任何复杂的程序都由这三种基本结构成。1.序构按排列顺序依次行各条语句直到程序最后这是一种最简单的程序结构，一般涉及数据的入、输出和计算等。1数据输函：input格：提示信息)其中，提示信息字符串，此格式通过提示信息A的值，入的A可以是数或者字符串，输入符串时必须带单引号。例输A的和的值。>>inputA:')要求用户输入A的值可以是数或字符输入25

A1000>>')What'syour'Michael%输入'=Jordan2数据显函：disp格：disp(X)其中，X是值阵或字符串，该格式用于显示量X的值且一次只能显示个变量。例显A的。>>A='Hello,Tom!';>>disp(A)Hello,Tom!3数据格化输若要求数字以某形式输出，则需要对数据的输进行格式化。除了用前面介绍的format进控制外，还可以用fprintf来控输出。函：fprintf格：fprintf(fid,format,variables)其中，fid为文件句柄，若缺省，则输出到屏幕上用来指定变量variables出时采用的格式包含普通字符串、格式字符串见.6义字符（见.7表格式字符串%d

整数实数：科学计数法式

%f%s

实数：小数形式输出字符串表

转义字符%%

换行退格百分号

\t\\

制表符反斜杠例格化输出变量。>>a='Hello';>>b=2.4;>>>>c=%e\n',a,b,c)a=Hello,c=3.141593e+0022选择构1条件句if条件语句有种形式：形1if表式语句序列26

说：果表达式的值为真，就执语句序列，否则执行end后的句。形2if表式语句序列1语句序列2说：果表达式的值为真，就执语句序列，否则执行语句序列2形3if表达1语句序列1elseif表式2语句序列2语句序列n说：果表达式的为真，就执语句序列1然后跳出if语；否则判断表达式如果表达式2的值为真，就执行句序列，然后跳出if语句；则依此类推，一直进下去；如果所有的表达式的值为假，就执行后面的语句序列，然后跳出if语。x例1.23编分段函数f(x)的M函文件，并计函,x数值ff(30)

和(10

)

。解%exam01_23.my=(x)ifx<1y=xelseify=2*x-1elseify=3*x-11y=sin(x)+log(x)调用exam01_23.m数文件计算函数值exam01_23(30),=0.20003.000079.000027

所以(0.2)0.02,ff79

和(10

)3.4473

。2多向件句分支switch表达式常量表达式1语句块常量表达式2语句块{量达式常量表达式，语句块otherwise语句块说：语句后面的表式可以为任何类型；每个后可是多个不同类型的常量表式；与if语句不同，各case和otherwise语出现的先后顺序不会影响程序运的结果。例1.24根输入月份来判断节。编写exam01_24.mformonth1:12switchseason='Spring';season={9,10,11}season={12,1,2}season=fprintf('Month===>month,season);执行exam01_24.m>>exam01_241===>Winter.2===>Winter.3===>4===>5===>6===>Summer.7===>Summer.8===>Summer.9===>Autumn.===>Autumn.===>Autumn.===>28

注MATLAB的switch指令和语的指令有差別语的中，每个需加上break以跳该switch，而在MATLAB中不需要。3.环构1for循fori=表式语句……….语句说：达式是一个向量，可以是ns:n，也可以是字符、字符串矩阵等；循环的循环体中，可多次嵌套for循环和其它的结构体。例写出矩。%formatforforh(i,j)=1/(i+j-1);运行后，会提示入，输入5得到如下的运行果：h=11/51/51/41/71/8上面的代码显然读性很差，注意缩进对齐后为formatforforh(i,j)=1/(i+j-1);h此时代码的逻辑构就清晰了。例利用for循环100的数之和。建立M文件exam01_26.mfori=1:sum=sum+i;sum执行M文件。>>sum=50502循环29

while表达式循环体语句说：达式一般是由关系运算符逻辑运算符及其它运算符组，用来判断循环要继续进行是要停止若表达式的值非零即辑为真程序就继续循环；若表达式的值为，就停止循环。例利while循来计算+50！的值。建立M文件exam01_27.mwhilewhileprd=prd*j;j=j+1;sum=sum+prd;i=i+1;disp(..+50的和为：sum执行命令文件exam01_27.m>>1!+2!+...+50的和为：sum=2.5613e+018即得到！的值为2.56134.它制句

。（1）函数break用终止循环的行，即跳出最内层循环（2）函数continue用于束本次循环，进下一次循环break和一般与if语句配合使用。（3）函数return用退出正在运行的本或函数，通常用在函数文件。MATLAB编的容涉及很广，也供一些现成函数供用户直接调用，详细请参帮助系统。1.5.2程应前面介绍了的本控制流程语句将绍的程应用。例(数游)请利用计算机随机产生区[0,100]的一个整数然猜所产生的这个数根据猜测的情况给出不同的提。如果猜测的数大于产生的数，则显示，小于则显示，于则显示Youwon时退出游戏，用户最30

多有次机会。编写猜数游戏的程序。猜数游戏exam01_28.mx=round(100*rand);随机产生区间[0,100]上的一整数n=7;%7次机test=1;欢参加猜数游！你共'次机']);disp('请输入一个0到100之的整数);for');if<xdisp('Lower');elseifguess>xwon!');test=0;你有,num2str(n),'机会！']);iftest==1lost!')执行exam01_28.m>>欢迎参加猜数游！你共有机会请输入一个到之间的整数EnterHigher你还有机会！EnterHigher你还有机会！Enter你还有机会！Enter你还有机会！Enter你还有机会！Enter你还有机会！31

Enterwon!从上面的猜数过可见是否能猜对似乎要碰运气但实际还是有可循的。上面的猜数过程用的是数据结构里的折半查找法于该介于和100之间此第次折半入果提示high味着数在之间，继续折半就可以找到这个数。如果提low，意味着猜的数在1-49之，继续折半，就可找到这个数。如果不是7次，是，能猜到数吗？MATLAB编程还涉及图形应用编程、界面设计编程图形处理编程和数值分析编程等篇幅限制中做介绍内容可以进一步查阅有关MATLAB书籍。1.6MATLAB基本绘MATLAB不仅能制各种图形，而且其表现形式是丰富多样的。本节主要介绍常用的二维三维图形的绘制函数，并简要明相关图形的修饰与标注函数。1.6.1维图的绘1.plot函数制二图plot函数是最基本二维图形指令，主要有五种调格式，分别介绍如下。格1plot(y)此格式为缺省变绘图格式。当y是数值向量时，在坐标系中顺序地直线段连接顶(i,y(i))画一条折线图；当y是值矩阵时，矩阵y每元素的相应行下标值为坐标，以y的素为纵坐标绘制线图。例画向量1,3,2,的折线图。>>y=[1,3,2,0.5];>>plot(y)%图1.932

图

向量式图形格2plot(x,y)此格式为基本格，以的数关系作出角坐标图。当x，都长度为n的数值向量时，坐标系中plot(x,y)用直线依次连接顶(y(i))出一条折线图；当是度数值向量且y是的值矩阵时，y)用向分别与矩阵y的每一列匹配，同一坐标系中绘出m条同颜色的折线图；当x和y都是n的数值矩时plot(x,分别矩阵x的第i列矩阵y的i列匹配同一坐标系中绘条同颜色折线图。例画椭圆

52

的曲线图。解首先出椭圆的参数方程

x5costy

，其中

0

。>>t=0:pi/50:>>x=5*cos(t);>>y=2*sin(t);>>plot(x,grid210

椭

05图1.10

椭圆例在一坐标内绘制函数0.2e

cos(4yx

cos(图形。>>x=0:pi/100:2*pi;>>y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);>>plot(x,y1,'b-')>>holdon>>pause>>y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);>>plot(x,y2,>>holdoff输出的图形如图1.11示。33

图同一坐标制2条曲线注：holdon用保存原图形off用刷新原有图形；不带参数的hold命令在两者之间换。格3…])格4y1,x2,y2,x3,…)以上两种格式用在同一图形窗口绘制多条不同色曲线。格式中的t是量，y1,y2,…与t同的向量；格式的曲线关系为y1=f(x1),y2=f(x2),。例在一图形窗口画出函数y2，y和的图形，其中

。>>x=-2:.1:2;>>plot(x,cos(2*x),'b-.',x,x.^2,'r-',%制多条曲线'x^2','x')%图例图1.12

例1.32的绘图结果34

在中在一个图形中绘制多条曲线时了对不同的曲线加以分，往往需要设每条曲线的线型、颜色和数据标记等。为此MATLAB提了一些绘图选项，于确定所绘曲线的线型、颜色数据点标记符号，它们可以组合使用。若需要设曲线样式，可以在函数中加绘选项。格5plot(x1,y1,绘选项1,x2,y2,绘图选项2,„绘选项n)其中，绘图选项包含一个单引号，在引号内部入线型和颜色的标识符。例如，,据点处用*做蓝色标记而各点之间不再连线。具体设置选项可参见表1.8。标识符ymcrgbwk

表颜色黄品红青红绿蓝白黑

线型、点型和颜色标识符.OX+-*：--s

线型或点型点圆圈X号号实线星号虚线点划线长划线正方形2.形口分函数在绘图过程中，了对比等用途，常要把几个图在同一个图形窗口中绘制出来即把个图形分割成几个子窗口的形式制出来面绍如何制这种图形。函：功：割图形窗口格：其中，，和为整数。该格把一个图形窗口分割成个子区域，用户以通过参数p调用个各子绘图区域进行操作。子绘图区域的编号为按从左至右编号。例绘子图。>>>>>>title('sin(x)');>>>>plot(x,cos(x),'--o');>>>>plot(x,sin(2*x),'-.*');title('sin(2x)');>>>>plot(x,cos(3*x),':d');title('cos(3x)');得到图形。35

cos(x)0.5

0.5-1

4

-1

2

0.5-1

48

0.5-1

cos(3x)26图1.13

例1.33的绘图结果3.适采的图函1函数制数图函：fplot功：出函数给定区间内的图形格：选项其中fname为函名，以字符串形式出，也可以是一个用方括号括起的数组，如[，lims为x,y的值范围，tol为相对允许差，其系统默认值为。选项的定义与函数相同，选项也可略。例绘sin,cosx,tan

函数在区间[

的图形。fplot('[sin(x),,2*pi])%1.146420-2-4-6-6-4-2046图1.14

正弦、余弦和正切数的图形36

tt2函数绘符函数形函：ezplot功：制符号函数的图形格：[xmin,xmax])其中F是含有一个变量的符号函数。该式用于绘制函数F在间[xmin,xmax]内的图形；若区[缺，默认区间[2π,2π]。例绘

3cost2

在[4

]

内的图形。t>>ezplot('2/3*exp(-t/2)*cos(3/2*t)',[0,4*pi])2/3exp(-t/2)cos(3/2t)0.20.150.10.05-0.05-0.1-0.15-0.2-0.2524

10图1.15注：当文件无法示成yf(x)可以绘制其图形4.它维殊形的制

t例1.35的图形即以隐函数的形存在时，利用ezplot函也MATLAB还供许多其它的二维绘图指令，这指令大大扩充了的曲线作图功能可以满足用户的不同需要，见1.9函数名称

表函数功能

绘制二维特殊图形指令函数名称

函数功能barhbar3bar3h

垂直的直方图三维直方图垂直的三维直方图饼图拓扑图

areaerrorbarpie3

阶梯图火柴棍图面积图误差棒棒图三维饼图37

矢量场图

fill

填充1.6.2三维形绘由函数生成格点矩阵后，就可以求出各格点对应的函数值，然后利用三维网格函数或维曲面函数画出间曲面。1.函绘网格面函：mesh功：制三维网格图形格1mesh(X,格2Z)其中，格式的X，，是维数的矩阵；格式中x，是量，而Z矩,Y]meshgrid(y)阵，等价于。Z)例画出数zsin

在区域

上及

2

在区域x,y

上的图形。解建立命令文件exam01_36.m函数z=sin(x+siny)t1=-3:[x1,y1]=meshgrid(t1);%成格点矩阵z1=sin(x1+sin(y1));计算格点处的函数值1),z1),%马鞍面z=x^2-2y^20.3:10;[x2,y2]=meshgrid(t2);z2=x2.^2-2*y2.^2;2),z2),title('马鞍面)执行命令文件exam01_36.m>>exam01_36输出图形如图：38

图1.16函数=sin(x+siny)与马面的网格图2.维面图数函：功：制着色的三维曲面图格：其中，c用指定节点的色值，其它输入参数的设置与mesh同。若不输入，则默认为。MATLAB语言对表面行着色的方法是得相应网格后对每一网依据该网格所代表的点的色值（由变量控制），来定义一网格的颜色。例绘地球表面的气温分布示图。>>%成阶的矩阵>>t=abs(c);求绝对值>>surf(a,b,c,t);绘出单位球面>>axisequal>>colormap('hot')输出图形如图所：39

101

10

0

图1.17

等温线示意图MATLAB还提供了其三维图形绘制的函数，如绘制球体函数sphere等格1格2sphere(n)其中格1生三个阶矩阵一步利用函数surf(x,y,z)可生成单位球面；格式绘制球面图，没有返回值，若输入sphere画球，则默认n=20。例利函数绘球面。>>sphere(30)square%如果不设置x,y坐比相同，绘制图形可能变形得到球体图形如1.18：10-11

10

0

-1-1图1.1840

球体

1.7MATLAB据的导入导出1.7.1导入据随着MATLAB程的深入多问题解决如果仅依靠在的命令窗口中输入命令来决问题，显然是不够的，而且多问题需要分解为若干个步骤，每一个步骤都可涉及到上一步处理得到的数据这样就需要对每一步处理的数据进行保存，以便进一步使用，而且在将来需要理这些保存的数据时，可以直接把要处理的数据入到工作空间，避免重复输入繁琐。因此，介绍数据的导入和导出部分内容，显然很有必要。MATLAB提了从磁盘文件或剪贴簿将数据转工作（数据导入将工作区变量存入磁盘件（数据导出）的多种途径。下面来简单介绍种数据导入和导出的方法。1.用入据导导数最简单的办法是用界面导入向导，打开文件菜中的导入数据，然后按提示进行下面的操作首先，点击MATLAB菜单的File项，选择其中的Import1.19所示。图导入数据界面41

其次，选择你要入的数据文件，读入的数，如下图1.20所示。图1.20导入数据data.txt然后，点击Next，现界面如图所示。图1.21导入数据界面最后，点击finish可以把数据导入工作空间。此时在工作空间中以看到导入的数据以为量名，如图1.22所示。42

图1.22工作空间显示的变量注用同样方法可以将表中的数据导入到MATLAB工作间实际上，对于MATLAB支的数据格式都可以将其导入到MATLAB工作空间。2.MATLAB中制Excel表格的容某个量在菜中选File就可以新建变量，取名字为，击（工作空间）的变量excelval，在Window将出现Array，然后就可以复制、粘贴表中的数赋给MATLAB中的变量。3.函load和导文文件文本文件需要具统一的行列模式，使用分隔符为数据项间隔，这些分隔符包括空格、逗号、号或其它。1load函数对于数值数据可直接使用函数装载。例导文本文件，中数据为1610>>A=%装载该文本文件据赋给A2dlmread函数如果数值数据使其它分隔符，可以使用dlmread读。例用dlmread读数据，其中中据为1.1;2.2;2.3;6.7;>>读入该数据包含列标签的数值数据并赋给B例读中的数据到MATLAB的作空间中。的数据43

Grade2Grade378.855.945.999.566.878.089.577.056.7>>fid='r');%只读的方式打开件>>='%f%f'headerlines',在fid文中忽略%后读入3行>>关闭文件>>=[3x1double][3x1[3x1double]注：textscan中参数代忽略行；%f%f%f表3元素，后面的代表3行textscan给格式是cell，所以需要用cell2mat将之转成matrix格式。>>gs即>>fid='r');>>='%f%f%f',3,1))>>当中含字符和数值的混合数据，也可以用函读入。如果是规则的用格隔开的数据，则采用data=textread(filename)式调用，读出的数据记录在data矩阵中。关textread的具用法请查阅MATLAB帮助。1.7.2导出本件1.save函数（1函save可把工作空间的所有变量保存为二进制的MAT文例将44

某些变量保存到test.mat中。（2）指定某些变量存到中，例如A[14;57];AASCII在利用将含整型数据文件存为文时常是件包含的都是实型格式的数据（小数点，且小数点后面有很多），很不方便。此在保存此类数据时，往往可使用dlmwrite函。2.函函：功：将一个矩写到由分隔符分割的文件中格1dlmwrite('filename',M)格2dlmwrite('filename','D')格3dlmwrite('filename','D',R,C)其中格使用默认分隔矩阵M写入文本文件中格2使分隔符割数据表示tab分为认分割符格3从阵M的行第C列开，作为要写矩阵块的左角，将数据用D分割入文件。例将量=[13;46;保到dlmwdata.txt>>a=[13;46;789]>>a);>>type%打印dlmwdata.txt内容利用保数=[13;46;9]>>save-ascii;>>typesavdata.txt打印内容1.0000000e+0002.0000000e+0004.0000000e+0005.0000000e+0006.0000000e+0007.0000000e+0008.0000000e+0009.0000000e+000例将知矩阵A写由隔符分割的文件中。>>dlmwrite('data2.out',A,';')45

1.7.3对子格件操作1.xlsfinfo获文信使用[type,sheets]=xlsfinfo(filename)返文件类型type和作表信息sheets。例输tempdata.xls文类型工作表信息。>>[type,=xlsfinfo('tempdata.xls')获取所要的文件型和工作表信息2.导出据例若数组d{'Time','Temp';1299;97}，单格数组d的数导出至tempdata.xls文件新建工作'，从该工作表的单元格开始写入。>>={'Time',98;99;1497}>>xlswrite('tempdata.xls','Temperatures','E1')3.读数例用=，其中的工作表Temperatures的容为：编号

数值123456>>=133223321424533665例将例中的工作表Temperatures的表头提取出来并赋给。>>[ndata,headertext]=xlsread('tempdata.xls','Temperatures'/p>

424533665headertext=编号''数值'例处文本数据数值和文本混的微软表格含有以下内容：162738495text>>A=xlsread('testdata2.xls')A162738495NaN注：函数xlsread可用NaN将EXCEL表中的文字替换。例导表例中的工表中的第一个工作簿中第4行第。>>A=xlsread('testdata2.xls',1,'A4:B5')A495NaNMATLAB提了丰富的文件操作函数章只是对其进行了简单的介绍于其它文件操作函的使用，可参见附录中的附表1，并且查阅MATLAB的相关帮助文件，进一步解和掌握这些命令的用法。47

A5,A5,，A0B2实验1熟悉MATLAB环境设置和辑工具。分别用help、命查找函数的帮信息，区分其不同之处。设

38,98

计、AB、AB、

、A/、

和A^。

34

已知

，531

，在CommandWindow中创建

、

矩阵并对其进行下操作：（1）提取A

的第一行和第三；（2）交换A

的第一行和第二生成

A1

，交换B

第一列和第三列成

B1

；（3）从横向和纵向并和B；（4）构建矩阵，的一、第二行分别由A的一和第二行的第一和第二列元素构成，的三、第四行分别由B第二和第三行的第二和第列元素构成。在同一个图中画出正函数和余弦函数在定义域后变换它的线型点型。

上的图形，然利参数方程绘出

2y16

的图形。设

y2),

其中

，请分别用plot，fplot和ezplot画图，并适当加线形、颜色和标注等；再对x,y

坐标轴标题及总题进行设定。设函数为

z

2

，请用命令成网线节点矩阵，再利用或命绘其三维图形，其中，x绘制圆心和直径待定的圆。1.10某业年各季度的产值单位万元)别为2347,1827,2043,试用饼图作统计分。1.11绘复的相量图7+2.9i-1.5-6i（提示用compass函数1.12给数向量x00.1:及分段函数48

n1x

2

0x110请用命形式绘此函数在1.13编写计K

2

的程序，要求动输入变i量的，其中n为至的奇数或偶数。1.14练导数到变中。49

ccdc2章代数验线性代数以向量向量空间（或称线性空间）、性变换和有限维的线性方程组为研究对象，要讨论矩阵理论、与矩阵结合有限维向量空间及其线性变换理论。科学研究中非线性模型通常可以被近似为性模型，线性代数和计算机技术正是解决这些线化问题的有力工具。线性代数数学、力学、物理学和工程技术学科中有各种重应用，尤其在计算机广泛应用今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学技术无不以线性代数为其理论算法基础的一部分。本章在2.1节绍线性方程组的求解介绍矩阵的特征值和征向量及矩阵的相似对角等内容，在节绍矩阵的各种分解及其相关应。2.1线性程组求解下面介绍MATLAB提供的向量与矩阵的相关运算函数以及齐次线性方程组、非齐次线性方程和超定方程组的求解。2.1.1矩阵相关算1.阵行式det(A)例2.1求

A

b

的行列式。>>bd;%义符合变量b,c,d>>A=[ad];创建矩阵A>>计算A的列式2.阵逆阵inv(A)在矩阵A可逆，即行列式不零的情下，才可以利用函数inv计A的逆矩阵。例2.2设

A

可逆，求

的逆矩阵。>>bd;>>A=[ad];>>[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)]a/(a*d-b*c)]50

3.阵行简矩阵rref(A)将一个矩阵化为最简形矩阵，会给我们研究矩带来很大的方便，例如可以得到矩阵的秩、解矩阵的逆矩阵及线性方程组解等MALAB提函数rref用于计算矩阵的行简形矩阵。

1

2478

9

45

63367例2.3将A13

9101312化为行最简形矩阵。9

29114894

5

61115

>>A=[9;43313;51457;13710111313357911;96894;591113>>rref(A)ans=1000000001000000000000100001注：在例2.3中根据矩A行最简形矩阵rref(A)可知，矩阵A的为7。此外，关于利用数rref求线方程组的应用，详见下面的例和2.7。4.阵角元的操函：diag功：作矩阵的对角线元素格1=格2=格3X=格4X=diag(v,k)格式用于抽取矩阵X的对角线元素构成向量v格式于抽取X的k条对角线元素构向量v当k=0时抽取主对角线元素k>0时取上方第k条对角线元素；k<0时，抽取方第k条角线元素。51

1x1xxbxbm格式构造以向量v为主对角线元素，其余素为矩阵X格式4以向量v的素为矩阵X的k条角线元素。当k=0时vX的对线；当时，v为方第条角线；当时，为方第k条对角线。例2.4函数diag应用举例。>>v=[13];>>%建以v为对线的矩阵>>s=diag(v,0)%建以v为主角线的矩阵=100003>>s2=diag(v,2)%建以v为主角线上方第二条对角的矩阵s2010002000000000>>383;359;59；>>v=diag(A)抽取A的主角线的元素v=1890>>v1=diag(A,3)抽取A的对角线上方第3对角线上的元素v142.1.2线性程的解设有

个未知数

m

个方程的线性方组

x12nxxx22nxxm11m2mn

（）记

1

nana1mn

22

，则（2-1）式可以写成以向

为未知元的向量程52

x0xx若b，则称（2-2）为非齐线方程；记A,)线性方程组）增广阵若b0，则称

（），则称A为非齐次（）为齐线性程（或非齐次线性方程组）对应的齐次线性程组）。1.次性程的求方程组2-3一定有解（至少有零解）。的秩r

时，有唯一零解当

r

时，有无穷多个零解，此时可以利用函数求出其通解。例2.5试平下面化学方程式x)x)OCO)H382解要配平这个方程式，必须找到合适的,,,x12左右的碳、氢、原子个数相等，即x,,,x应满足2

（正整数），使方程式8x02134整理得如下齐次性方程组>>A=[3,0,-1,0;8,0,0,-2;0,2,-2-1];>>U=rref(A)将矩阵A化行最简形U10-1/401-5/400-3/4根据配平化学方式的原则，显然取x，进一步求解得到x，，2因此方程式（2-4）配为：CO38222注：根据求解结，令（中为任意实数），到例题2.5中齐线性方程的通解为53

00464

1

2

3

3

14

54

34

1

T2.齐线方组的解关于非齐次线性程组（）的解，有如下结：（1）当r，即A时线性方程组有唯一解；此时可依据克莱姆法则进行求，也可以利用矩阵的左除直接解。（2）当rr时，线性方程组有无穷多解；此时可以利用函数rref先增广矩阵A化行最简形，再把行最简形中r个零元所对应的未知数取作非自由未知，其余n个知数取自由未知数，并令自由未知数分别等于

c

1

,,,，由A的行简形，即可写出含n个数的通解。2n（3）当r时，线性方程无解。1，求x。例2.6已知2>>-5-32-14-7>>B=[8;9;-5;>>ans=4>>%左除ans=3.00001.0000即求出

x41

例2.7求解齐次线性方程组

5

。>>-3-1;34;15-8];系数矩阵>>B=[111;3-1-34;150];%广矩阵>>%计算系数矩阵的秩ans=2>>计算增广矩阵的秩ans=254

0000T0000T>>rref(B)%算增广矩阵的行最形ans=1.0000-1.50001.250001.0000-1.5000-0.250000所以非齐次线性程组的通解为

35cc243cc21

，其中c，c为任意常数。23.定程的解当线性方程组）中的时即方程中方程的个数多于未知数的个时，称）为超方程。一般来说，超定程组无解（此时为矛盾方程组，这时需要寻找方程组的一个近似的解，如最小二乘解。设线性方程组

xx122nn1xx22n2

（）

xm1m2

nm无解，即任何一数

x,12n

都使n(xi11i

xini

2

（）i不等于零。我们法找到0,x,0，2-5式最小，这样的0,x,x0称为方12程组的最小乘，称式2-5）为误差方。果记xxx,,x)，12nb

，则

e)

T

(

。最小二乘解所满的代数方程组（又称正规程）为Ax且正规方程组）总是有解的（详文[6]）。

（）下面介绍利用MATLAB提的矩阵左除运算求解超定方程组的最小二乘解。此外，在2.3.4节将介绍利用矩阵的奇异值分解计算最小二乘解。55

2212x42112例2.8求定方程组x解超定方程组正规方程组为

的最小二乘解，求误差平方和。231利用MATLAB矩阵的左除方法求解上述的正规程组可得到最小二乘解，并根据）式计算误差平方和

。利用MATLAB现上述过程：>>2;21];>>b=[11;3;6;7];>>A1=A'*A;>>