工程测量测量误差的基本知识

工程测量测量误差的基本知识第一页，共二十八页，2022年，8月28日第六章测量误差的基本知识6-1测量误差概述测量误差测量结果不可避免地存在误差！产生测量误差的原因1．测量仪器2．观测者3．外界条件观测条件等精度观测非等精度观测测量错误(粗差)步步有检核按影响性质分类1．系统误差2．偶然误差第二页，共二十八页，2022年，8月28日6-1测量误差概述系统误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差水准仪的i角;水准尺的零点差；水准尺的倾斜；…水平角观测中的2C;竖直角观测中的x;…钢尺量距中的尺长误差;温度影响；垂曲；定线不准；拉力不准；…处理办法?1.检校仪器，把系统误差降低到最小程度。2.加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数。3.采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱。第三页，共二十八页，2022年，8月28日6-1测量误差概述系统误差偶然误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，这类误差称为偶然误差或随机误差。就单个偶然误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律性,而且,随着观测次数的增加,偶然误差的统计规律愈加明显。例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差(=三角形内角测量值-180º

）其结果如表5-1，图5-1,分析三角形内角和的误差i的规律。第四页，共二十八页，2022年，8月28日6-1测量误差概述偶然误差表6-1偶然误差的统计

误差区间负误差正误差总数

Δ" KK/nKK/nKK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 440.12312~1517 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014110.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00Σ 1810.5051770.4953581.000第五页，共二十八页，2022年，8月28日5-1测量误差概述偶然误差偶然误差的统计特征1.有限性：在有限次观测中，偶然误差小于一定的限值。2.渐降性：误差小的出现的概率大

3.对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等4.抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均值趋于零。第六页，共二十八页，2022年，8月28日5-1测量误差概述偶然误差7

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=

K/n

频率直方图第七页，共二十八页，2022年，8月28日5-1测量误差概述偶然误差当n∞，Δ0时，频率直方图上部的折线变成了一条光滑的曲线，称为正态分布密度曲线或高斯曲线高斯根据偶然误差的四个特性推导出该曲线的方程式为：式中σ为与观测条件有关的参数第八页，共二十八页，2022年，8月28日6-2评定精度的标准

怎样来衡量一组等精度观测值的精度？频率直方图能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？平均误差方差标准偏差（中误差）当n有限时，所求均为估值，测量中常用m来表示σ的估值，并称之为中误差第九页，共二十八页，2022年，8月28日6-2评定精度的标准按观测值的真误差计算中误差次序第一组观测第二组观测观测值lΔΔ2观测值lΔΔ21180°00ˊ03"+39180°00ˊ00"002180°00ˊ02"+24179°59ˊ59"-113179°59ˊ58"-24180°00ˊ07"+7494179°59ˊ56"-416180°00ˊ02"+245180°00ˊ01"+11180°00ˊ01"+116180°00ˊ00"00179°59ˊ59"-117180°00ˊ04"+416179°59ˊ52"-8648179°59ˊ57"-39180°00ˊ00"009179°59ˊ58"-24179°59ˊ57"-3910180°00ˊ03"+39180°00ˊ01"+11Σ||

2472

24130

第十页，共二十八页，2022年，8月28日6-2评定精度的标准第十一页，共二十八页，2022年，8月28日6-2评定精度的标准中误差相对误差例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是±2cm，但不能认为两者的精度是相同的为此，可用观测值的中误差与观测值之比的形式（称为“相对误差”）来描述观测的质量，K=|m|/D＝1／(D/|m|)前者的相对中误差为K1=0.02／200＝1／10000后者则为K2=0.02／40＝l／2000

第十二页，共二十八页，2022年，8月28日6-2评定精度的标准中误差相对误差极限误差在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限值，这个限值就是极限误差Δ限=3σ≈3m偶然误差的容许值:|Δ容|=2σ≈2m第十三页，共二十八页，2022年，8月28日6-3误差传播定理未知量不可能直接观测，但是一些直接观测量的函数，怎样计算观测值函数的中误差？和差函数的中误差设有：Z=X±Y则有：ΔZ=ΔX±ΔY设想对X,Y都进行了n次观测，则有：平方求和得：[ΔZ2]=[ΔX2]±2[ΔXΔY]+[ΔY2]即：mZ2=mX2+mY2=〉若有：Z=X1±X2±…±Xn则：mZ2=mX12+mX22+…+mXn2第十四页，共二十八页，2022年，8月28日6-3误差传播定理和差函数的中误差例1：水准测量时，一站的高差为h=a-bmh2=ma2+mb2,设ma=ma=1mm,则:mh=1.4mm两次高差之差（变仪器高或双面尺法）Δ=h1-h2则:mΔ2=mh12+mh22,mΔ=2mm。综合取mΔ=3mm

Δ限=2mΔ=6mm例2：求闭合水准测量路线的闭合差fh容∑h=h1+h2+…+hn则：m∑

h2=mh12+mh22+…+mhn2设每一测站的观测条件相同，测站中误差为m=6mm则：m∑

h2=nm2;

第十五页，共二十八页，2022年，8月28日6-3误差传播定理和差函数的中误差倍数函数的中误差设有：Z=kX则有：ΔZ=kΔX即：mZ2=k2mX2

mZ=kmXnnXkZXkZXkZD=DD=DD=DL2211第十六页，共二十八页，2022年，8月28日6-3误差传播定理和差函数的中误差倍数函数的中误差线性函数的中误差设有：Z=k1X1±k2X2

±…±knXn则有：

mZ2=k12mX12+k22mX22+…+kn2mXn2例3：距离丈量，独立的进行了n次，一次丈量的中误差为m，求算术平均值的中误差M第十七页，共二十八页，2022年，8月28日6-3误差传播定理一般函数的中误差设有：Z=F(x1，x2

，…，xn）第十八页，共二十八页，2022年，8月28日6-3误差传播定理一般函数的中误差例4：测距三角高程h=S·sinV，S=1000m±5mm,V=10º±30”,求高差h的中误差mhSvhD解：h=S·sinV则有dh=sinV·dS+S·cosV·dV=12.0mm第十九页，共二十八页，2022年，8月28日6-4等精度直接观测值的最可靠值

设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为X，其观测值分别为l1

，l2，…

，ln

，相应的真误差为Δ1

，Δ2，…

，Δn

，则根据偶然误差的第四特征，有

当n有限时，通常取算术平均值作为等精度观测值的最可靠值第二十页，共二十八页，2022年，8月28日6-4等精度直接观测值的最可靠值算术平均值

结论：一组等精度观测值的改正数之和一定为零，即[v]=0观测值的改正数我们把算术平均值与观测值之差，定义观测值的改正数vi=L-li第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日6-4等精度直接观测值的最可靠值算术平均值观测值的改正数用观测值的改正数来计算观测值的中误差Δi=li-Xvi=L-liΔi+vi=L-X=〉Δi=(L-X)-vi平方后求和得：[ΔΔ]=n(L-X)2-2(L-X)[v]+[vv]第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日6-4等精度直接观测值的最可靠值次序观测值l改正数vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11L=123.452040第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日6-5权权的概念现有三组观测值，均为等精度观测A组：123.34,123.39,123.35；LA=123.360B组：123.31,123.30,123.39,123.32;LB=123.333

C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32;LC=123.356第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日6-5权权的概念显然有：观测值LA,LB,LC的权分别为pA,pB,pC权只有相对意义第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日6-5权权的概念权与中误差的关系

设每次丈量的中误差为m，则可以用误差传播定理求出每组平均值的中误差同理：权与中误差的平方成反比!把权等于1的中误差