半导体物理-第三章-2012

第三章热平衡态半导体中载流子的统计分布计算本征半导体和杂质半导体的热平衡载流子浓度及费米能级的位置，讨论载流子浓度、费米能级与杂质浓度、温度的关系导带价带T载流子分布规律载流子影响因素主要内容§3.1热平衡状态§3.2状态密度§3.3热平衡态时电子在量子态上的分布几率§3.4热平衡时非简并半导体的载流子浓度§3.5本征半导体的费米能级和载流子浓度§3.6非简并杂质半导体的载流子浓度§3.7简并半导体§3.1热平衡状态在一定的温度下，存在：载流子产生过程 ——本征激发 ——杂质激发载流子复合过程 ——电子从导带回到价带或杂质能级上一、热平衡状态EcEv产生复合ED载流子浓度保持稳定→热平衡状态载流子浓度决定于：●允许电子存在的量子态按能量如何分布的？——状态密度g(E)●电子是按什么规律分布在这些允许电子存在的量子态中？f(E)二、热平衡时载流子的浓度导带价带导带中单位能量间隔含有的状态数为gc(E)

——导带的状态密度假设：能量为E的每个状态被电子占有的几率为f(E)在能量dE内的状态具有的电子数为：f(E)gc(E)dE那么：整个导带的电子数N为：式中Ec＇为导带顶的能量若晶体的体积为V，那么电子的浓度为：空穴占据能量为E能级的几率为：1－f(E)空穴的浓度p为：式中Ev＇为价带底的能量gv(E)为价带中单位能量间隔含有的状态数——价带的状态密度§3.2状态密度状态密度状态密度是能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数目能带中能量E+dE之间有dZ个量子态，则状态密度为：状态密度的计算k空间的状态密度——单位k空间体积内的量子态数单位能量间隔dE对应的k空间体积单位能量间隔dE对应的量子态数dZ，计算状态密度g(E)xx+L一、理想晶体的k空间的状态密度1.一维晶体设它由N个原子组成，晶格常数为a，晶体的长为L，起点在x处aL=a×N在x和x+L处，电子的波函数分别为φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)单位k空间允许的状态数为：单位k空间体积内所含的允许状态数等于晶体长度L-2/L-1/L01/L2/Lkkkkkkx，ky，kz在空间取值是均匀分布的，k空间每个允许的k值所占体积为，那么允许k值的密度为1/(1/V)=V。由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，所以考虑自旋k空间电子的量子态密度是2V。2.三维晶体设晶体的边长为L，L=N×a，体积为V=L3kx，ky，kz在空间取值是均匀分布的，k空间每个允许的k值所占体积为，那么允许k值的密度为1/(1/V)=V。由于每个k值可容纳自旋方向相反的两个电子，所以考虑自旋k空间电子的量子态密度是2V。k空间中的状态分布kx••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••kzky小立方的体积为：一个允许电子存在的状态在k空间所占的体积1.极值点k0=0，E(k)为球形等能面(1)导带底球所占的k空间的体积为：球形等能面的半径r球内所包含的量子态数Z(E)：Z(E)=

2V×二、半导体导带底和价带顶的状态密度能量由E增加到E+dE，k空间体积增加：量子态变化dZ(E)：导带底附近单位能量间隔的量子态数—量子态（状态）密度为：(2)价带顶2.实际半导体导带底附近的状态密度为：式中S为导带极小值的个数Si：S=6，Ge：S=4(1)导带底(极值点k0≠0)令：称mdn导带电子状态密度有效质量(2)价带顶(极值点k0＝0)同理，对近似球形等能面的价带顶附近，起作用的是极值相互重合的重空穴(mp)h和轻空穴(mp)l两个能带，故价带顶附近状态密度gv(E)为两个能带状态密度之和令：称mdp为价带空穴状态密度有效质量状态密度与能量E有抛物线关系EEc1Ev2gc(E)gv(E)还与有效质量有关，有效质量大的状态密度大.§3.3热平衡态时电子在量子态上的分布几率一、费米分布函数和费米能级式中EF具有能量量纲，称为费米能级1、费米分布函数热平衡条件下半导体中电子按能量大小服从一定的统计分布规律。电子遵循费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计分布规律。能量为E的一个独立的电子态被一个电子占据的几率为费米能级定义为：1938年诺贝尔物理学奖1933年诺贝尔物理学奖FermiDirac2.f(E)的特点f(E)与温度T有关T=0KE＞EF：f(E)=0E＜EF：f(E)=1 半导体EF位于禁带中T=0K1/2T2>T1f(E)T1T2EfE10费米能级标志电子占据量子态的情况T＞0KE＞EF：f(E)＜1/2E＜EF：f(E)＞1/2E=EF：f(E)=1/2T↑ E＞EF：f(E)↑ E＜EF：f(E)↓EF↑E＞EF：f(E)↑与掺杂程度有关 E＜EF：f(E)↓EF的意义:EF的位置比较直观地反映了电子占据电子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。EF越高，说明有较多的能量较高的电子态上有电子占据。二、玻尔兹曼分布1.电子的玻尔兹曼分布当E－EF>>kT时——电子的玻尔兹曼分布Boltzmann例如：E－EF=5kT时，1/2f(E)EfE10fBE(E)fFD(E)1/2f(E)EfE10fBE(E)fFD(E)价带导带ECEVEg电子的统计分布半导体中常见的是费米能级EF位于禁带之中，并且满足Ec-EF>>k0T或EF-Ev>>k0T的条件。因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都在能带极值附近。通常将服从玻耳兹曼统计规律的半导体称为非简并半导体；（满足E-EF＞＞kT或EF

-E＞＞kT；）而将服从费米统计分布规律的半导体称为简并半导体。本征Si:(EF)本征≈Ei(禁带中心能级)禁带宽度Eg=1.12eV

Ec－EF=Ec－Ei=0.56eV在室温时，kT=0.026eV0.56/0.026=21.6＞＞5没有被电子占有的几率为：2.空穴的分布函数——空穴的费米分布空穴占据能量E的几率:当EF－E＞＞kT时，E↑，空穴占有几率增加；EF↑，空穴占有几率下降，即电子填充水平增高。——空穴的玻尔兹曼分布1/2f(E)EfE101-fB(E)1-fF(E)价带导带ECEVEg空穴的统计分布§3.4热平衡时非简并半导体的载流子浓度no和po一、导带电子浓度no和价带空穴浓度po1.电子浓度no在能量E→E+dE间隔内的电子数dN为：dN=fB(E)gc(E)dEEcEc’EE+dE整个导带的电子数N为：引入：其中∴电子浓度no：利用积分公式：令：——导带有效状态密度∴电子占据导带底Ec的几率2.空穴浓度po价带中的空穴浓度为：其中——价带的有效状态密度平衡态非简并半导体导带电子浓度n0和价带空穴浓度p0与温度和费米能级EF的位置有关。其中温度的影响不仅反映在Nc和Nv均正比于T3/2上，影响更大的是指数项；EF位置与所含杂质的种类与多少有关，也与温度有关。g(E)EFECEVg(E)f(E)10.5000f(E)n0f(E)gc(E)gv(E)1-f(E)p0ENcNv载流子的统计分布二、影响no和po的因素Nc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019

Ge 1.04×1019

6.1×1018

GaAs 4.7×10177×1018

室温时：1.mdn和mdp的影响—材料的影响2.温度的影响(1)Nc、Nv～TT↑，NC、NV↑(2)占据EC、EV的几率与T有关T↑，几率↑T↑，no、po↑3.EF位置的影响——掺杂EF→EC，EC-EF↓，no↑—EF越高，电子的填充水平越高，对应n0较高；EF→EV，EF-EV↓，po↑—EF越低，电子的填充水平越低，对应p0较高。EF与掺杂有关，决定于掺杂的类型和数量。EFEA不同掺杂情况下的费米能级（a）强p型（b）弱p型（c）本征情况（d）弱n型（e）强n型EvEiEcEFEAEvEiEcEvEiEcEvEiEcEDEFEvEiEcEDEF三、载流子浓度积总结：平衡态非简并半导体n0p0积与EF无关；对确定半导体，mn*、mp*和Eg确定，n0p0积只与温度有关，与是否掺杂及杂质多少无关；一定温度下，材料不同则mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0积也不相同。温度一定时，对确定的非简并半导体n0p0积恒定；平衡态非简并半导体不论掺杂与否，上式都是适用的。§3.5本征半导体的费米能级和载流子浓度本征半导体：不含有任何杂质和缺陷。本征激发：导带电子唯一来源于成对地产生电子－空穴对，因此导带电子浓度就等于价带空穴浓度。本征半导体的电中性条件是

qp0-qn0=0即n0=p0=ni___--本征载流子浓度在室温（RT=300K）下：

ni

（Ge）≌2.4×1013cm-3

ni

（Si）

≌1.5×1010cm-3

ni

（GaAs）

≌1.6×106cm-3一、本征半导体的费米能级位置Ei为禁带的中心能级，将NC、NV代入：Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo室温时，kT=0.026eVEF－Ei=-0.008eV(Eg)Ge=0.67ev∴EF≈Ei对Si、GaAs一样，EF≈Ei对某些窄禁带半导体不然，如InSb，Eg=0.17eV，mdp/mdn≈32，EF=Ei+0.068eV≠Ei对于多数本征半导体，可以认为费米能级不随温度变化Ei又叫本征费米能级二、本征载流子浓度及影响因素1.本征载流子浓度niEg=1.12ev0.67ev1.428ev、、

300Kni=硅、锗、砷化镓1、温度一定时，Eg大的材料，ni小；

2、对同种材料，

ni随温度T按指数关系上升。

EF=Ei时：故同样对非简并半导体(含杂质半导体)2.影响ni的因素(1)mdn、mdp、Eg——材料(2)T的影响T↑，lnT↑，1/T↓，ni↑高温时，在lnni～1/T坐标下，近似为一直线。本征载流子浓度和样品温度的关系3.浓度积nopo与本征载流子浓度ni热平衡判据本征半导体：

no，pono=po=niN型：no＞poP型：po＞no举例(1)在常温下，已知施主浓度ND，并且全部电离，求导带电子浓度no和价带空穴浓度po∵施主全部电离∴no=NDpo=ni2/no=ni2/ND（2）在常温下，已知受主浓度NA，并且全部电离，求导带电子浓度no和价带空穴浓度po

∵受主全部电离∴po=NAno=ni2/po=ni2/NA三、本征半导体在应用上的限制●纯度达不到要使得本征激发是载流子的主要来源杂质原子/总原子＜＜本征载流子/总原子Si：原子密度1023/cm3，室温时，ni=1010/cm3本征载流子/总原子=1010/1023=10-13＞杂质原子/总原子Si的纯度必须高于99.9999999999999%●本征载流子浓度随温度变化很大，浓度及电导率不能控制在室温附近，Si：T↑8K，ni↑一倍Ge：T↑12K，ni↑一倍§3.6非简并杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴浓度杂质半导体中，施主杂质和受主杂质要么处于未离化的中性态，要么电离成为离化态。以施主杂质为例，电子占据施主能级时是中性态，离化后成为正电中心。因为费米分布函数中一个能级可以容纳自旋方向相反的两个电子，而施主杂质能级上要么被一个任意自旋方向的电子占据(中性态)，要么没有被电子占据(离化态)，这种情况下电子占据施主能级的几率为若施主浓度为ND

施主能级上的电子浓度nD为：—未电离的施主浓度电离的施主浓度nD+为：●ED－EF＞＞kTnD→0，nD+→ND，施主杂质几乎全部电离●EF=ED●EF－ED＞＞kTnD→ND，nD+→0，施主杂质几乎没有电离施主杂质只有1/3电离没有电离的受主浓度pA为：电离的受主浓度pA-为：若受主浓度为NA同样的，空穴占据受主能级EA的几率是●EF－EA＞＞kT●EA－EF＞＞kTpA→0，pA-→NA，受主杂质几乎全部电离●EF=EApA→NA，pA-→0，受主杂质几乎没有电离受主杂质只有1/3电离受主：EF高时，受主电离多；EF低时，受主电离少施主：EF高时，施主电离少；EF低时，施主电离多。EF→杂质的电离→导带电子或价带空穴内在联系二、杂质半导体载流子浓度和费米能级本征半导体：+杂质半导体：n0p0EF电中性条件？杂质半导体带电粒子有：电子、空穴、电离的施主nD+和电离的受主pA-电中性条件：no+pA-=po+nD+分析不同温度范围，确定费米能级EF导带价带pA-p0n0nD+一般求解此式是有困难的T杂质离化区本征激发区过渡区低温弱电离区中间电离区强电离区载流子由杂质电离提供少量杂质电离杂质全部电离载流子由杂质电离和本征激发提供载流子主要由本征激发提供1.低温弱电离区温度很低，kT＜△ED＜＜Eg，本征激发忽略本征激发很小，po=0可忽略电中性条件no=nD+以只含有ND一种施主杂质为例A.n型半导体载流子浓度和费米能级no+pA-=po+nD+可简化为：将n0、nD+

代入，得：将n0、nD+

代入，得：温度很低时，nD+<<ND,∴∴取对数并化简得：讨论：EF随温度T的变化EcEFED●n0～T的关系对no的表达式取对数：lnno≈常数－△ED/(2kT)随温度升高，n0指数上升1/Tlnni-Eg/(2k)-△ED/(2k)中间电离区温度继续升高，当2NC>ND后，EF下降到(EC+ED)/2以下，当温度升高到使得EF=ED时，2.强电离区（饱和电离区）—杂质全部电离，本征激发仍很小电中性条件为：解得费米能级EF代入n0：一般，NC>ND∴EF<EC

∵

ni＜＜ND∴EF＞Ei

T↑，NC、ni↑，EF↓ND↑，EF↑又解得费米能级EF决定杂质全电离(nD+≧90%ND）的因素1、杂质电离能；

2、杂质浓度。

在室温（RT）时，当杂质浓度≧10ni时，

nD+≌ND3.过渡区电中性条件：—杂质全部电离，本征激发不能忽略当半导体处于饱和区（杂质全部电离）和完全本征激发之间时称为过渡区，这是导带中的电子一部分来源于全部电离的杂质，另一部分则由本征激发提供，价带中产生了一定量的空穴。消去p0，得联立解得当ND＞＞ni时，当ND＜＜ni时，靠近本征区一边靠近饱和区一边代入将所以4.本征激发区

杂质全电离本征载流子浓度大电中性条件ND0niTn0弱电离区强电离区过渡区本征区N型半导体载流子浓度随温度的变化情况ECEDEiTEF弱电离区强电离区过渡区本征区N型半导体费米能级随温度的变化情况B.P型半导体的载流子浓度和费米能级

(1)低温弱电离区

(4)本征激发区

T↑，EF↑

(3)过渡区

po=NA，no=ni2/NA

(2)饱和电离区

(1)

工作温区的上限决定掺杂浓度的下限（ND)min

——

杂质激发载流子远高于本征激发载流子

条件：ND≥10ni●根据Tmax，由lnni~1/T曲线查出Tmax对应的ni；●根据ni的公式计算出Tmax所对应的ni；三、工作温区——饱和电离区n0=ND,载流子浓度等于杂质浓度的温度范围例：T=500K时，Sini=5×1014/cm3

最小掺杂浓度：(ND)min=5×1015/cm3

全电离时，要求ED＞＞EF

工作温区的下限决定掺杂浓度的上限(ND)max，

——ND全电离

条件：nD+/ND>=90%或

D-=nD/ND<10%要满足全电离条件，D-<=0.1，代入，得到将强电离区上限:室温时：NC=2.8×1019/cm3，△ED=0.044ev(ND)max=3×1017/cm3(ND)min=10ni(500K)下限:查表得：T=500K时，ni=5×1014/cm3

(ND)min=5×1015/cm3

例：计算工作温度在室温到500K的掺P的Si半导体的施主浓度范围。工作温区=强电离区Tmin=300K，Tmax=500K§3.7简并半导体

半导体处于饱和区，N型半导体P型半导体一般，ND<NC,,NA<NV,EF位于EC之下、EV之上，处于禁带中。半导体中玻耳兹曼分布函数并不总是适用，n型半导体中如果施主浓度ND很高，EF就会与导带底Ec重合甚至进入导带，此时E-EF>>k0T不再成立，必须用费米分布函数计算导带电子浓度，这种情况称为载流子的简并化，发生载流子简并化的半导体称为简并半导体。一、简并半导体的载流子浓度

费米分布ξ-4-3-2-1-1/2F1/2(ξ)0.0160.0430.1150.290.45ξ01/2123F1/2(ξ)0.60.991.3962.5023.977

1.EF接近或进入导带中

其中：——费米积分2.EF接近或进入价带中

二、简并化条件非简并：简并：可见：简并与非简并半导体两者n0/Nc的差别与Ec-EF的值有关，因此用Ec-EF的大小作为判断简并与否的标准。不同分布函数得到的n0/Nc与(EF-Ec)/(k0T)关系N型半导体的简并化条件：EC－EF≤0P型半导体的简并化条件：EF－EV≤

0简并化条件例：究竟什么样的掺杂浓度会发生简并呢？如果Si中施主浓度为ND，施主杂质电离能为ΔED，根据电中性条件n0=nD+，代入nD+和简并时的n0表达式，得到所以简并时Ec－EF=0，ξ=0，根据图3.4得到F1/2(0)≈0.6，所以上式方括号内的值大于3，所以简并时ND>Nc，掺杂很高（ND~NC至少处于同一数量级）。发生简并的ND还与ΔED有关，ΔED较大则发生简并所需要的ND也大；另外简并化只在一定的温度区间内才发生。简并时杂质未充分电离As在Ge和Si中的ΔED分别为0.0127eV和0.049eV，简并时Ec-EF=0，经计算得到室温下的离化率分别只有23.5%和7.1%，因此简并时杂质没有充分电离。尽管杂质电离不充分，但由于掺杂浓度很高，多子浓度还是可以很高的。因为简并半导体中的杂质浓度很高，杂质原子之间相距较近，相互作用不可忽略，杂质原子上的电子可能产生共有化运动，从而使杂质能级扩展为能带。杂质能带的出现将使杂质电离能减小，当杂质能带与半导体能带相连时，会形成新的简并能带，同时使状态密度产生变化。四、简并半导体中的杂质能带简并：△ED→0，Eg→Eg＇

杂质能级——杂质能带禁带变窄效应导带Eg施主能级价带施主能带本征导带简并导带能带边沿尾部EgE´g价带主要任务：计算本征半导体和杂质半导体的热平衡载流子浓度及费米能级的位置，讨论载流子浓度、费米能级与杂质浓度、温度的关系导带价带T主要内容小结●载流子统计分布：

电子占据量子态的几率：费米分布函数→简并半导体玻尔兹曼函数→非简并半导体能量状态密度：导带：gC(E)∝E1/2价带：gV(E)∝-E1/2g(E)EFECEVg(E)f(E)10.5000f(E)n0f(E)gc(E)gv(E)1-f(E)p0ENcNv●载流子浓度：导带电子浓度价带