2020高考数学专题练习外接球

2020高考数学专题练习外接球1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）D.32nA.16nB.20nCD.32n2．补形法（补成长方体）C图1cCBa图2cCaB图3POc图4C图1cCBa图2cCaB图3POc图4例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,则其外接球的表面积是3.依据垂直关系找球心例3:已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足32D.寸BA=BC=46，ZABC=n，若该三棱锥体积的最大值为32D.寸A.8nB.16nC.n3一、单选题i•棱长分别为2、、':5的长方体的外接球的表面积为（）

A.4nA.4nC.24nD.48n2•设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2.3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.12nB.28nC.44nD.60n3•把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC丄平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为（）A.32nB.27nC.18nD.9n4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A.a2nA.a2nB.2a2nC.3a2nD.4a2n5•三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB丄平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=4—3，则球O的表面积为（）A.16nBA.16nB.32nC.60nD.64n6•如图ABCD-ABCD是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S,1111A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）1111

A．9nB.25n16C.49n16A．9nB.25n16C.49n16D.81n16167•已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为2R，AB二AC二2，ZBAC二120。，则球°的表面积为（）A.16n9BA.16n9B.16nC.64nD.64n38•已知正四棱锥P-ABCD（底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为、而，若该正四棱锥的体积为50，则此3球的体积为（）A.A.18nB.8=6C.36nD.32*3n如图，在△ABC中，AB=BC=、拓,ZABC=90。，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC二PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD•若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.7nB则该球的表面积是（）A.7nB.5nC.3nD.n四面体A—BCD中，ZABC=ZABD=ZCBD=60。,AB=3,CB=DB=2，则此四面体外接球的表面积为（）A．19nA．19n219\嬴24C.17n将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使ZBDC=120。,若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A.DA.D．n3在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.43而兀2443v43nA.43而兀2443v43n6C.43nD.43n二、填空题TOC\o"1-5"\h\z棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16运,则该正四棱锥内切球的表面积为■15•已知三棱柱ABC-AiBiCi的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为73，AB=2,AC二1,ZBAC二60。，则此球的表面积等于•16.在三棱锥A—BCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，则|三棱锥A—BCD外接球的体积的最小值为.1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16nB.20nC.24nD.32n【答案】C【解析】V=a2h=16,a=2,4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24,S=24n,故选C.补形法（补成长方体）例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为I3，则其外接球的表面积是【答案】9n【解析】4R2=3+3+3=9，S=4nR2=9n.依据垂直关系找球心例3:已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面△ABC满足BA=BC=屈，ZABC=2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A.8nb.16nC.nD.n33【答案】D【解析】因为△ABC是等腰直角三角形，所以外接球的半径是r=丄"12二方，设外接球2的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则S=x6=3，BD=\-'3，由题设△ABC2V=—Sh=x6h=3，3△ABC6最大体积对应的高为SD=h=3，故r2=d2+3，即R2=（3-R）2+3，解之得R=2,所以外接球的体积是4nR3=迺，故答案为D.33一、单选题•棱长分别为2、占、后的长方体的外接球的表面积为（）

A.4nA.4nC.24nD.48n【答案】B【解析】殳长方体的外接球半径为R,由题意可知：（2R1=22+（：3）+（：5，则：R2=3,该长方体的外接球的表面积为S=4nR2=4nx3=12n.本题选择B选项.2•设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2（3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.12nB.28nC.44nD.60n【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r=2^，则r=2，sin60。设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R2=C'3）+22=7，外接球的表面积S=4nR2=28n.本题选择B选项.3•把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC丄平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为（）A.32nB.27nC.18nD.9n【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC丄平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球直径为AC=3迈，外接球的表面积为4nR2=18n，故选C.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面

积为（）A.a2n积为（）A.a2nB.2a2nC.3a2nD.4a2n【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为f2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线’所以2R=^a2+a该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线’所以2R=^a2+a2+a2所以该几何体外接球面积A2S=4nR2=4nx=3a2n，故选C.•三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB丄平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=4/3，则球O的表面积为（）A.16nBA.16nB.32nC.60nD.64n答案】D【解析】因为BC【解析】因为BC=BD=2,CD=2込所以cosZCBD=22+22-.••ZCBD=2n因此三角形BCD外接圆半径为i—CD=2,sinZCBDAB2设外接球半径为R，则R2=22+——=4+12=16，.••S=4nR2=64n，故选D.I2丿•如图ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S,片，B],q,£在同一个球面上，则该球的表面积为（）片，B],q,£在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．9n16254981B・nC・nD・—n161616答案】D【解析】如图所示，连结【解析】如图所示，连结AU，Bp，交点为M，连结SM,易知球心O在直线SM上，设球的半径R=OS=x,在RtAOMB］中，由勾股定理有:即：(2即：(2-x》+]¥=x123，解得:9x=，则该球的表面积8(9\(9\2S=4nR2=4nx-18丿81n16本题选择D选项.7-已知球0的半径为R‘A，‘C三点在球0的球面上球心0到平面ABC的距离为2r‘AB=AC=2，ZBAC=120。，则球O的表面积为（）A．16n9BA．16n9B.16nC.64nD.64n【答案】D【解析】由余弦定理得：BC=“4+4—2x2x2cosl20。=2^3，设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：=2r，则r=2，sin120。

如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥P-ABCD的外接球心为O,底面正方形的边长为、：10,EA=.5,t正四棱锥的体积为50，.V=1xC10）xPE=50，3P-ABCD33贝PE二5，.OE=|5-R，球3在△AOE中由勾股定理可得：（5-R2+5=R2，解得R二3,.V、=4nR3=36n，故选球39.如图，在△ABC中，AB=BC二<6,ZABC=90。，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC二PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD•若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，贝该球的表面积是（）A.7nA.7nB.5nC.3n【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为再的正三角形，且BD丄平面PCD，

设三棱锥P-BDC外接球的球心为O,△PCD外接圆的圆心为O］，则OO］丄面PCD，•四边形OO］DB为直角梯形,由BD=、疔，O］D=］，及OB=OD，得OB=¥，•外接球半径为R=¥7••该球的表面积S=4nR2=4nx=7n.故选A.4CB=DB=2，则此四面10.四面体A—BCD中，ZABC=ZABD=/CBD=60。CB=DB=2，则此四面体外接球的表面积为（）A.19nA.19n2口l"38nB.24C.17n【答案】A解析】解析】•-△BCD的外接圆半径r=互=BE，FE=^33■/ZABC=ZABD=60。，可得AD=AC二訂，可得AF二厉，二AF丄FB，二AF丄BCD,•・四面体A—BCD咼为AF=、［6.设外接球R，O为球心，OE=m，可得：r2+m2=R2……①,C6一兀）+EF2=R2②由①②解得：四面体外接球的表面积：S=4n由①②解得：四面体外接球的表面积：S=4nR2=19n・2故选A．11•将边长为2的正△ABC沿着高AD折起，使ZBDC=120。，若折起后A、B、C、D四点TOC\o"1-5"\h\z都在球O的表面上，则球O的表面积为（）1313A.—nB.7nC.—nD.—n223【答案】B【解析】ABCD中，BD=1,CD=1,ZBDC=120。,底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到BC二込，再由正弦定理得到_=2rnr=1，sin120。见图示：AD是球的弦，DA仝，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置°，二OM二亘，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD,2OD即为球的半径.•••球的半径OD；1+3=''7.该球的表面积为4nxOD2=7n；故选B.4212•在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）22A．43、五2443j43n6CA．43、五2443j43n6C．43nD.43n【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连接相应的线段CE,ED,EF,由条件，AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形，AB丄平面ECD，二AB丄EF，同理CD丄EF，二EF是AB与CD的公垂线,球心G在EF上，推导出AAGB^ACGD，可以证明G为EF中点，DE八25—9=4,DF二3,EF=<16-9=万,斗，球半径DG=2故选D.二外接球的表面积为S=4nXDG斗，球半径DG=2故选D.二、填空题棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是.【答案】84n【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r=-x—=-x皂=2翻,2sin60°2侖则外接球的半径R：32+G汀*9+12*21,则外接球的表面积为S=4nR2=4nx21=84n.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为1673，则该正四棱锥内切球的表面积为【答案】（32-16叮3）n（rS_【解析】设正四棱锥的棱长为a，则4—a2=16石，解得a=4.其中MN=4,PM=PN=2、豆PE=2、辽.设内切圆的半径为r，由APFO=△PEN，得巴=PO，即r=2<2-r,ENPN22典解得r==76—\2，V3+1二内切球的表面积为S=4nr2=4n('6—<2)=^32—16f3)n.已知三棱柱ABC—A1BQ的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为73,AB=2,AC=1,ABAC=60。，则此球的表面积等于.【答案】8n【解析】•••三棱柱ABC-A1BC1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为73,AB=2,AC=1,ZBAC-60°,2x2x1xsin60oxAA^=-/3,AA]=2,•:BC2=AB2+AC2—2AB-ACcos60°=4+1-2,BC=\3,设△ABC外接圆的半径为R，则=2r,.r=1,sin60°•••外接球的半径为*1+1=辽，二球的表面积等于4nx(込1=8n•故答案为8n.16.在三棱锥A—BCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，则三棱锥A—BCD外接球的体积的最小值为.