第八章小波变换

第８章小波变换8.1连续小波变换的基本概念和性质8.2常用的小波函数8.3尺度因子离散化的小波变换及小波标架8.4离散小波变换的多分辨率分析8.5Mallat算法及实现8.6小波变换小结

第８章小波变换自从1822年傅里叶(Fourier)发表“热传导解析理论”以来，傅里叶变换一直是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段，但傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域的定位性是完全准确的(即频域分辨率最高)，而在时域无任何定位性(或分辨能力)，也即傅里叶变换所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。相反，当一个函数用函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频域却无任何定位性(或分辨能力)，也即函数分析所反映的只是信号在全部频率上的整体时域特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；地震信号，在目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，

，通常需要提取某一时间段(或瞬间)的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅里叶分析和分析之间的，并具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号，一直是信号处理界及数学界人士长期以来努力的目标。为了研究信号在局部时间范围的频域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor变换，之后又进一步发展为短时傅里叶变换(ShortTimeFourierTransform，简记为STFT，又称为加窗傅里叶变换)。目前，STFT已在许多领域获得了广泛的应用，但由于STFT的定义决定了其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的。高频信号一般持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗，对于低频信号则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时间窗的要求同STFT的固定时窗(窗不随频率而变化)的特性是相矛盾的，这表明STFT在处理这一类问题时已无能为力了。此外，在进行数值计算时，人们希望将基函数离散离散化，以节约计算时间及存储量，但Gabor基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来不便，这些是Gabor变换的不足之处，但恰恰是小波变换的特长所在。小波变换不仅继承和发展了STFT的局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离散正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的数学工具。8.1连续小波变换的基本概念和性质8.1.1小波变换的定义

给定一个基本函数，令

（8.1）式中均为常数，且。显然，是基本函数先作移位再作伸缩以后得到的。若不断地变化，我们可得到一族函数。给定二次方可积的信号，即，则的小波变换（WT，WaveletTransform）定义为

（8.2）式中和均是连续变量，是的共轭函数，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从到。信号的小波变换是和的函数，是时移，是尺度因子。基本小波函数又称为基本小波，或母小波。是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，式（8.2）中的WT又可解释为信号和一族小波基的内积。基本小波可以是实函数，也可以是复函数。若是实信号，则是实函数，也是实函数，反之，为复函数。在式（8.1）中，b的作用是确定对分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子的作用是把基本小波作伸缩。我们知道，由变成，当时，若越大，则的时域支撑范围（即时域宽度）较之变得越大；反之，当时，若越小，则的宽度越窄。这样，和联合确定了对分析的中心位置及分析的时间宽度，如图8.1所示。这样，式（8.2）的WT可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。式（8.1）中的因子是为了保证在不同的尺度时，始终能和基本小波有着相同的能量，即a)b)c)d)图8.1基本小波的伸缩及参数和对分析范围的控制a)基本小波，b），c)不变，d)分析范围令，则，这样，上式的积分即等于。令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：（8.3）由Parsevals定理，式（8.2）可重新表示为：

（8.4）此式即为小波变换的频域表达式。8.1.2小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以便对小波变换有更深入的理解。比较式（8.2）和式（8.4），对小波变换的两个定义可以看出，如果在时域是有限支撑的，那么它和作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使反映的是在b附近的性质。同样，若具有带通性质，即围绕着中心频率是有限支撑的，那么和作内积后也将反映在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。显然，这些性能正是我们所希望的。问题是如何找到这样的母小波，使其在时域和频域都是有限支撑的。若的时间中心是，时宽是，的频率中心是，带宽是，那么的时间中心仍是，但时宽变成，的频谱的频率中心变为，带宽变成。这样，的时宽－带宽积仍是，与无关。这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q性质。定义:=带宽/中心频率(8.5)为母小波的品质因数，对，其带宽/中心频率=因此，不论为何值，始终保持了和具有性同的品质因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其它类型的变换且被广泛应用的一个重要原因。图8.2说明了和的带宽及中心频率随变化的情况。(a)

(b)(c)

图8.2随变化的说明将图8.1和图8.2结合起来，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点：当变小时，对的时域观察范围变窄，但对在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动，如图8.2.c所示。反之，当变大时，对的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动，如图8.2b所示。将图8.1和8.2所反映的时－频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图8.3所示。由于小波变换的恒Q性质，因此在不同尺度下，图8.3中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此我们看到，小波变换为我们提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口。该分析窗口在高频端（图中处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图8.3中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的需要作出调整。

图8.3a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间众所周知，信号中的高频成份往往对应时域中的快变时则要求时域分辨率要好以适应快变成份成份，如陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等。对这一类信号分析间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。与此相反，低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。总结上述小波变换的特点可知，当我们用较小的对信号作高频分析时，我们实际上是用低频小波对信号作概貌观察,小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。综上所述，由于小波变换信号作概貌观察,小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。综上所述，由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此被人们称为信号分析的“数学显微镜”。8.1.3连续小波变换的基本性质1．时移性质若的CWT是，那么的CWT是。该结论极易证明。记，则（8.6）2．尺度转换性质如果的CWT是，令，则（8.7）

证明：，令，则该性质指出，当信号的时间轴按作伸缩时，其小波变换在和两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。3．微分性质

如果的CWT是，令，则（8.8）证明：由式（8.6）的移位性质，有即4．两个信号卷积的CWT

令的CWT是及，并令，则有（8.9）式中符号表示对变量作卷积。证明：由式（8.6）的移位性质，有同理，于是式（8.9）得证。

5．两个信号和的CWT令的CWT分别是，且，则（8.10）同理，如果，则（8.11）式（8.10），（8.11）说明两个信号和的CWT等于各自CWT的和，也即小波变换满足叠加原理。6．小波变换的内积定理设和，的小波变换分别是和，则

（8.12）

式中，为的傅里叶变换。证明：由式（8.4）关于小波变换的频域定义，式（8.12）的左边有：

假定积分存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为于是定理得证。式（8.12）实际上可看作是小波变换的Parseval定理。该式又可写成更简单的形式,即

(8.13)进一步，如果令，有(8.14)该式更清楚地说明，小波变换的幅平方在尺度－位移平面上的加权积分等于信号在时域的总能量，因此，小波变换的幅平方可看作是信号能量时－频分布的一种表示形式。式（8.12）和式（8.13）中对的积分是从，这是因为我们假定总为正值。这两个式子中出现的是由于定义小波变换时在分母中出现了，而式中又要对作积分所引入的。读者都熟知傅里叶变换中的Parseval定理，即时域中的能量等于频域中的能量。但小波变换的Parseval定理稍为复杂，它不但要有常数加权，而且以的存在为条件。8.1.4小波反变换及小波容许条件下面给出连续小波反变换的公式及反变换存在的条件。设，记为的傅里叶变换，若则可由其小波变换来恢复，即

(8.15)证明：设，,则将它们分别代入式（8.12）的两边，再令，于是有

于是定理得证。在式(8.12)、式(8.15)中，结论的成立都是以<为前提条件的，这又称为“容许条件（admissibilitycondition）。该容许条件含有多层的意思：

1.并不是时域的任一函数都可以充当小波。其可以作为小波的必要条件是其傅里叶变换满足该容许条件；2.若，则必有，否则必趋于无穷。这等效地告诉我们，小波函数必然是带通函数；3.由于，因此必有(8.16)这一结论指出，的取值必然是有正有负，也即它是振荡的。以上三条给我们勾画出了作为小波的函数所应具有的大致特征，即是一带通函数，它的时域波形应是振荡的。此外，从时－频定位的角度，我们总希望是有限支撑的，因此它应是快速衰减的。这样，时域有限长且是振荡的这一类函数即是被称作小波（wavelet）的原因。由上述讨论，自然应和一般的窗函数一样满足：（8.17）并且由后面的讨论可知，尺度因子常按来离散化，。由式（8.3），对应的傅里叶变换，由于需要在不同的尺度下对信号进行分析，同时也需要在该尺度下由来重建，因此要求是有界的，当由时，应有(8.18)式中，。该式称为小波变换的稳定性条件，它是在频域对小波函数提出的又一要求。满足式（8.18）的小波称作“二进（dyadic）”小波。8.1.5小波变换的充要条件我们在上一节指出，并不是时域任一函数都可以用作小波。可以作为小波的函数至少要满足容许条件。与此结论相类似，并不是平面上的任一二维函数都对应某一函数的小波变换。如果是某一时域信号，如的小波变换，它应满足一定的条件。设是平面上的任一点，上的二维函数欲是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即

（8.19）式中是在处的值，（8.20）称为重建核。证明：由式（8.2）小波变换的定义，有将式（8.15）代入该式，有式（8.19）的重建核方程和式（8.20）的重建核公式说明，若是的小波变换，那么在平面上某一点处小波变换的值可由半平面上的值来表示，也即，是半平面上的总贡献。既然平面上各点的可由式（8.19）互相表示，因此这些点上的值是相关的，也即式（8.15）对的重建是存在信息冗余的。这一结论告诉我们可以用平面上离散栅格上的来重建，以消除重建过程中的信息冗余。我们知道，当用的短时傅里叶变换来重建时，平面上的信息也是有冗余的，即平面上各点的是相关的，因此引出了离散栅格上的STFT，进一步的发展即是信号的Gabor展开与Gabor变换。由此可以得出，将一个一维的函数映射为一个二维函数后，在二维平面上往往会存在信息的冗余，由此引出了二维函数的离散化问题及标架理论。有关离散小波变换及小波标架的内容将在后面予以讨论。重建核是小波和处的小波的内积，因此反映了和的相关性。若，即两个小波重合时，取最大值；若远离，则将迅速减小。若能保证，则平面上各点小波变换的值将互不相关。这等效地要求对任意的尺度及位移，由母小波形成的一族是两两正交的。可以想象，若连续取值，要想找到这样的母小波使两两正交，那将是非常困难地。因此，连续小波变换必然存在信息冗余。然而，当离散取值时，则有可能得到一族正交小波基。8.2常用的小波函数由前面叙述可知，作为一个小波的函数，它一定要满足容许条件，在时域一定要是有限支撑的，同时，也希望在频域也是有限支撑的，当然，若时域越窄，其频域必然是越宽，反之亦然。在时域和频域的有限支撑方面我们往往只能取一个折中。此外，希望由母小波形成的是两两正交的或是双正交的,进一步，希望有高阶的消失矩，希望与相关的滤波器具有线性相位等,可以根据上述要求对现已提出的大量的小波函数作一粗略地分类。在下面的分类中，第一类是所谓地“经典类小波”，在MATLAB中把它们称作“原始（Crude）小波”。这是一批在小波发展历史上比较有名的小波；第二类是Daubecheis构造的正交小波，第三类是由Cohen，Daubechies构造的双正交小波。8.2.1经典类小波8.2.1.1Haar小波Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：（8.21）其波形如图8.4（a）所示。

的傅里叶变换是：（8.22）Haar小波有很多优点，如：Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1）；若取，那么Haar小波不但在其整数位移处是正交的，即，而且在取不同值时也是两两正交的，即，如图8.3(b)和(c)所示。所以Haar小波属正交小波；Haar波是对称的。我们知道，系统的单位抽样响应若具有对称性，则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波；Haar小波仅取＋1和－1，因此计算简单。但Haar小波是不连续小波，由于，因此在处只有一阶零点，这就使得Haar小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。但由于Haar小波有上述的多个优点，因此在教科书与论文中常被用作范例来讨论。图8.4Harr小波8.2.1.2Morlet小波Morlet小波定义为(8.23)其傅里叶变换（8.24）它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB中将式（8.23）改造为：（8.25）并取。该小波不是紧支撑的，理论上讲可取。但是当，或再取更大的值时，和在时域和频域都具有很好的集中，如图8.5所示。Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。

(a)时域波形(b)频谱图8.5Morlet小波8.2.1.3Mexicanhat小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称Marr小波。它定义为(8.26)式中，其傅里叶变换为

(8.27)该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和频谱如图8.6所示。该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测。图8.6墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱8.2.1.4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：，(8.28)式中定标常数是保证。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当取偶数时正对称，当取奇数时，反对称。图8.7给出了时的时域波形及对应的频谱。图8.7高斯小波（取）(a)时域波形，(b)频谱8.2.2正交小波目前提出的正交小波大致可分为四种，即Daubechies小波，对称小波，Coiflets小波和Meyer小波。这些正交小波和前面所讨论的“经典小波”不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出，而是通过一个叫做“尺度函数（Scallingfunction）”的的加权组合来产生的。尺度函数是小波变换的又一个重要概念。由下节讨论可知，小波函数，尺度函数同时和一个低通滤波器及高通滤波器相关连，和可构成一个两通道的分析滤波器组。这些内容构成了小波变换的多分辨率分析的理论基础。因此，在讨论正交小波时，同时涉及到尺度函数，分析滤波器组，及综合滤波器组，。MATLAB中的WaveletToolbox中有相关的软件来产生各类正交小波及其相应的滤波器。8.2.2.1Daubechies小波Daubechies小波简称db小波。它是由法国学者IngridDauechies于90年代初提出并构造的。Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度取2的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作《TenLecturesonWavelet》深受同行们的欢迎。dbN中的表示db小波的阶次，。当时，db1即是Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小波”类。Daubechies计算出了时的及。在MATLAB5.3中，N的阶次还可以扩展。db小波是正交小波，当然也是双正交小波，并是紧支撑的。的支撑范围在，的支撑范围在。小波具有N阶消失矩，在处具有阶零点。但db小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。图8.8给出了时，，及，的波形。图8.8时db小波(a)，(b)，(c)，(d)8.2.2.2对称小波对称小波简记为symN，，它是db小波的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除了有db小波的特点外，主要是是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。图8.9是时的对称小波。(a)(b)

图8.9时的对称小波(a)，(b)8.2.2.3Coiflets小波该小波简记为coifN，.在db小波中，Daubechies小波仅考虑了使小波函数具有消失矩（N阶），而没考虑尺度函数。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建议，希望能构造出使也具有高阶消失矩的正交紧支撑小波。Daubechies接受了这一建议，构造出了这一类小波，并以Coifman的名字命名。coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为，也是接近对称的。的消失矩是2N，的消失矩是2N-1。图8.10是N=4时的coif4小波。图8.10N=4时的Coiflets小波，a)，(b)8.2.2.4Meyer小波Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在[到]之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。图8.11给出了Meyer小波的尺度函数和小波函数。图8.11Meyer小波a)，(b)8.2.3双正交小波我们知道，两通道正交镜像滤波器组的分析滤波器和是功率对称的，且和之间有着正交性，再者，，和有着同样的长度，都不是线性相位的。为了取得线性相位的滤波器组，需放弃的功率互补性质。这也就放弃了和之间的正交性，代之的是双正交关系。由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的，和与都不具有线性相位（Haar小波除外）。为此，Daubechies和Cohen提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是：

Nr=1,Nd=1,3,5Nr=2,Nd=2,4,6,8Nr=3,Nd=1,3,5,7,9Nr=4,Nd=4Nr=5,Nd=5Nr=6,Nd=8这一类小波自然不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波的消失矩为Nr-1。图8.12给出的bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。图8.12双正交小波bior3.7(a)分解尺度函数(b)分解小波(c)重建尺度函数(d)重建小波8.2.4连续小波变换的计算在式（8.2）关于小波变换的定义中，变量，和都是连续的，当我们在计算机上实现一个信号的小波变换时，，和均应离散化。对离散化最常用的方法是取，如取，这样。对于按2的整次幂取值所得到的小波习惯上称之为“二进（dyadic）”小波。对这一类小波的小波变换，我们可用有关离散小波变换的方法来实现。然而取，在实际工作中有时显得尺度跳跃太大。当希望任意取值，也即在的范围内任意取值时，这时的小波变换即是连续小波变换。计算式（8.2）的最简单的方法是用数值积分的方法，即令

(8.29)

由于在的区间内，，所以上式又可写为：

(8.30)由该式可以看出，小波变换可看作是和的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中间变量是，卷积后的变量为及。MATLAB中的cwt.m即是按此思路来实现的。具体过程大致如下：1.先由指定的小波名称得到母小波及其时间轴上的刻度，假定刻度长为；2.从时间轴坐标的起点开始求积分，3.由尺度因子确定对上述积分值选择的步长，越大，上述积分值被选中的越多；4求和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成式（8.30）。本方法的不足之处是在变化时，式（8.30）中括号内的积分、差分后的点数不同，也即和卷积后的点数不同。解决的方法是在不同的尺度下对作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支撑范围内的点数始终相同。有关CWT快速计算的方法还可借助于CZT及梅林变换等方法，此处不再讨论。例8.1令为一正弦加噪声信号，它取自MATLAB中的noissin.mat。对该信号作CWT，分别等于2和128，时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图8.13(a)，(b)和（c）。例8.2仍然使用例8.1的信号“noissin”，对其作CWT时分别取10，30，60，90，120及150。所得到的图8.14是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。图8.13信号“noissin”的小波变换，(a)原信号，(b)，(c)图8.14多尺度下小波变换的灰度表示8.3尺度离散化的小波变换及小波标架我们在式（8.2）定义了信号的连续小波变换，式中，和都是连续变量。为了在计算机上有效地实现小波变换，自然应取离散值，和也应取离散值。从减少信息冗余的角度，和也没有必要连续取值。和形成了一个二维的“尺度－位移”平面。前已述及，越大，对应的频率越低，反之，对应的频率越高。因此，平面也可视为“时－频平面”。对同一个信号，我们已给出过不同的表示形式，如STFT，Gabor变换，WVD及本章的小波变换。现重写几个有关的公式，即(8.31)

(8.32)

(8.33)

(8.34)其中式（8.32）是用时－频平面离散栅格上的点来表示，即Gabor展开，式（8.33）是具有双线性变换的表示形式，它和其它三种表示形式有较大的区别。式（8.31）和式（8.34）说明同一信号在时－频平面上具有不同的表示形式。式（8.31）的反变换是有信息冗余的，即不需要的所有的值就可恢复。同理，式（8.34）的小波变换也存在着信息冗余。在这两个式子中，我们只需取时－频平面上的离散栅格处的点即可。问题的关键是如何决定和抽样的步长以保证对的准确重建。下面，我们首先考虑尺度因子的离散化，然后再考虑和的同时离散化。8.3.1尺度离散化的小波变换目前通用的对离散化的方法是按幂级数的形式逐步加大，即令。若取，则

(8.35)称为“半离散化二进小波”，而(8.36)称为二进小波变换。设母小波的中心频率为，带宽为，当时，的中心频率变为，带宽。若时，的中心频率和带宽分别是：和。从对信号作频域分析的角度，我们希望当由变成时，和在频域对应的分析窗为和能够相连接。这样，当由0变至无穷时，的傅里叶变换可以覆盖整个轴。显然，若令母小波的，则上面两个频域窗首尾相连，即和首尾相连。通过对母小波作合适的调制，可以方便地做到。现在，我们来讨论如何由式（8.36）的来恢复，设是的对偶小波，并令和取类似的形式，即

(8.37)这样，通过对偶小波，我们希望能重建：

(8.38)为了寻找和应满足的关系，现对上式作如下改变：式中F代表求傅里叶变换。由式（8.3）和式（8.4），有(8.39)显然，若(8.40)则式（8.39）的右边变成的傅里叶反变换，自然就是。对于满足容许条件的小波，当时，其二进制小波对应的傅里叶变换应满足式（8.18）的稳定性条件。这样，结合式（8.18）和式（8.40），我们可由下式得到对偶小波:(8.41)由于式（8.41）的分母满足式（8.18），因此有

(8.42)这样，对偶小波也满足稳定性条件，也即，总可以找到一个“稳定的”对偶小波由式（8.38）重建出。下面定理更完整地回答了在半离散二进小波变换情况下的重建问题。定理8.1如果存在常数，使得(8.43)则

(8.44)如果满足(8.45)则

(8.46)该定理指出，若的傅里叶变换满足稳定性条件，则在上的小波变换的幅平方的和是有界的。进而，和的傅里叶变换若满足式（8.45）（也即式（8.40）），则可由式（8.46）重建。总之，若满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换总可以重建，也即一个满足稳定性条件的对偶小波总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波不一定是唯一的。如何构造“好”的小波及得到唯一的对偶小波是小波理论中的重要内容。若式（8.43）的稳定性条件满足，则的容许条件必定满足，且(8.47)从而，由连续小波变换总可以恢复，也即式（8.15）总是成立。以上讨论的是仅对作二进制离散化的情况，现在考虑和同时离散化的相应理论问题。8.3.2离散栅格上的小波变换令，我们可实现对的离散化。若，则。欲对离散化，最简单的方法是将均匀抽样，如令，的选择应保证能由来恢复出。当时，将由变成时，即是将扩大了倍，这时小波的中心频率比的中心频率下降了倍，带宽也下降了倍。因此，这时对抽样的间隔也可相应地扩大倍。由此可以看出，当尺度分别取，对的抽样间隔可以取，这样，对和离散化后的结果是：(8.48)对给定的信号，式（8.2）的连续小波变换可变成如下离散栅格上的小波变换，即

(8.49)此式称为“离散小波变换（DiscreteWaveletTransform，DWT）”，注意式中仍是连续变量。记，我们可以仿照傅里叶级数和Gabor展开那样来重建，即(8.50)该式称为小波级数，称为小波系数，是的对偶函数，或对偶小波。我们知道，对任一周期信号，若周期为T，且，则可展成傅里叶级数，即

(8.51)式中是的傅里叶系数，它由下式求出：

(8.52)小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理概念却有着明显的不同：(1)傅里叶级数的基函数，是一组正交基，即。而小波级数所用的一族函数不一定是正交基，甚至不一定是一组“基”；(2)对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和重建的基函数是一样的，即都是（差一负号）；对小波级数来说，分析所用的函数是可变的，且分析和重建所用的函数是不相同的，即分析时是，而重建时是；(3)在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不变的，而小波级数在轴上的离散化是不等距的，这正体现了小波变换“变焦”和“恒Q”性的特点。将式（8.2）的连续小波变换改变成式（8.49）的离散小波变换，人们自然会问：(1)一族小波函数，在空间上是否是完备的？所谓完备，是指对任一，它都可以由这一组函数（即）来表示；(2)如果是完备的，那么对的表示是否有信息的冗余？(3)如果是完备的，那么对和的抽样间隔如何选取才能保证对的表示不存在信息的冗余？Daubechies对上述问题进行了深入的研究，给出了“小波标架”的理论，现介绍一下其中主要的结论。8.3.3小波标架理论标架的基本理论要点是：(1)

若是Hilbert空间中的一组向量，对给定的，若存在常数，满足

(8.53)则构成了一个标架；(2)若则称为紧标架，若，则构成一正交基；（3）定义标架算子为

(8.54)则(8.55)记为的对偶函数族，则也构成一个标架，标架界分别为和；（4）用标架来表征一个信号x，也即对x作分解时，标架可给出完备的且是稳定的表示，但这种表示是冗余的，即之间是线性相关的，因此不是唯一的。对信号的冗余表示有时并不一定是坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性（robustness）方面都优于正交基；（5）

标界边界B和A之比值，即B/A称为冗余比。在实际工作中，总希望B/A接近于1，即为紧标架。当A=B时，我们有(8.56)将以上要点内容用于小波变换，即得小波标架。在式（8.48）中，令，，我们从而得到了一族在尺度和位移上均是离散的小波。能否由离散小波变换来重建，显然取决于。和越小，重建越容易，当然冗余度也越大，对不同的是线性相关的，这时将有无数的存在。当然，过大，准确重建将不会可能。下面两个定理给出了小波标架的主要内容。定理8.2如果构成中的一个标架，且标架边界分别为A和B，则母小波须满足：(8.57)该定理又称构成标架的必要条件。这一条件实际上即是连续小波变换中的容许条件。当仅对取二进制离散化，保持连续时，该必要条件也就是充分条件。若构成紧标架，即A=B，那么其标架边界(8.58)若构成中正交基，则

(8.59)定理8.3定义(8.60)及(8.61)如果和的选取保证(8.62)及(8.63)则是中的一个标架。、分别是标架界A和B的下界与上界。总之，以上的标架理论及边界A、B值的计算给我们一个大致估计选取的原则，即两者的选取要保持离散化后的至少要构成一个标架，以保证对信号稳定、完备的表示。但在一般情况下，标架并不是正交基，除非A=B=1。若是由母小波通过伸缩与移位生成的上的“稠密”的二维函数族，并且存在常数A和B，使得

(8.64)对于所有满足平方和的序列成立，式中则称是上的一个Riesz基，常数A和B分别称为Riesz基的下界和上界。上述定义中“稠密”的含义是指中的任一函数都可由二维序列的线性组合来表示。其实，该定义可简单地解释为如下：（1）首先，是一个标架；（2）对任意的，之间是线性无关的。这样，Riesz基可以比标架最大限度地去除冗余度。此外，生成Riesz基的母小波称为Riesz函数。可以证明，Riesz基的对偶函数序列也是一个Riesz基，因此对任意的是线性无关的，对给定的，其对称基是唯一的。这样，有（8-56）

下面，我们在前面关于小波分类的基础上再给出几个有关小波的定义：1．正交小波若Riesz基满足

(8.66)则称生成的母小波为正交小波。式中(8.67)式（8.66）指出，在同一尺度j下，不同移位之间的是正交的。同时，在同一位移k下，不同尺度j之间的也是正交的。2．半正交小波若满足

对

（8.68）该式的含义是，若，则。这时，对不同的位移k之间不是正交的。因此，生成的称为半正交小波。3.双正交小波若和其对偶小波之间满足(8.69)则称生成的为双正交小波。半正交小波不是正交小波，双正交小波指的是和其对偶之间的关系，因此也不是正交小波。但一个正交小波必定是半正交的，也是双正交的。下面给出正交小波、半正交小波及双正交小波之间的关系。令是一个半正交小波，其傅里叶变换为，定义

(8.70)并记的傅里叶反变换为，则由和分别作二进制伸缩和移位生成的和之间是双正交的，即它们满足式（8.69）。若为正交小波，则式（8.70）的分母为1，这样，，也即。这正是我们以前所指出的，即正交基和其对偶基是一样的。因此，令(8.71)并记为的傅里叶反变换。由上述可知，的对偶小波应由下式给出：（8.72)可以证明，，即和其对偶函数是自对偶的，因此，即是正交小波。8.4离散小波变换的多分辨率分析前面我们介绍了连续小波变换的定义与性质，给出了在平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。在这两种情况下，时间t仍是连续的。在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究及都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由Mallat和Meyer自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法结合起来，构成了小波分析的重要工具。下面简要讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。8.4.1多分辨率分析的引入现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。给定一个连续信号，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。令

(8.73)显然，的整数位移相互之间是正交的，即(8.74)这样，由的整数位移就构成了一组正交基。设空间由这一组正交基所构成，这样，在空间中的投影（记作）可表为：(8.75)式中,,是基的权函数。可以看作是在中的近似。是离散序列。令

(8.76)是由作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，，和是正交的。这一结论可证明如下：因为

令，则,,再由式（8.74），有(8.77)于是结论得证。将作二倍的扩展后得，由作整数倍位移所产生的函数组当然也是两两正交的（对整数），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为，即信号在中的投影为，则

(8.78)式中为加权系数，仍为离散序列。若如此继续下去，我们可得到在不同尺度下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是。用这样的正交基对作近似，就可得到在中的投影。用对作式（8.75），或式(8.78)的近似，越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当时，中的每一个函数都变成无穷的窄，因此有(8.79)另一方面，若，那么中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，时对的近似误差最大。按此思路我们可以想像，低分辨率的基函数完全可以由高一级分辨率的基函数所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间应包含在高分辨率的空间中，即(8.80)

但是，毕竟不等于，也即比对近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是由和的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为。这样，有

(8.81)该式的含义是：在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。现在我们来寻找的表示方法。

设有一基本函数，(8.82)很明显，的整数位移也是正交的，即

(8.83)进一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即(8.84)同时，和的整数位移之间也是正交的，即

(8.85)和之间有如下关系：(8.86)及(8.87)记张成的空间为，所张成的空间为，依次类推，张成的空间为，记在空间中的投影为，在中的投影为，它们均可表为相应基函数的线性组合，即（8.88）

（8.89）式中,，是,尺度下的加权系数，它们均是离散序列。若将和的相加，即得，由空间表示，即是

(8.90)式中表示直和。这说明，是的正交外空间，并有，。把上述概念加以推广，显然有（8.91）并且（8.92）这样，给定不同的分辨率水平，我们可得到在该分辨率水平上的近似和，由于是低通信号，因此反映了的低通成份，我们称其为的“概貌”。由于是由边缘得到的离散序列，所以也应是在尺度下的概貌，或称离散近似。同理，由于是带通信号，因此反映的是的高频成份，或称为的“细节”，而是的离散细节。在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即和，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的讨论可知，对作概貌近似的函数称为“尺度函数”，而对作细节近似的函数称为小波函数。8.4.2多分辩率分析的定义Mallat给出了多分辩率分析的定义：设是空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说，是一个多分辨率近似。这六个性质是：1．，若则(8.93)2．，，即(8.94)3．，若，则(8.95)4．(8.96)5．(8.97)6．存在一个基本函数，使得，是中的Riesz基。现对以上性质作一些直观的解释：性质1说明，空间对于正比于尺度的位移具有不变性，也即函数的时移不改变其所属的空间。前面对作二进制离散化时曾说明，若令，则应取，将归一化为1，则(8.98)所以，式（8.93）实际上应等效为：

，若，则

(8.99)这是因为，必有；性质2说明，在尺度(或)时，对作的是分辩率为的近似，其结果将包含在较低一级分辩率时对近似的所有信息，此即空间的包含，也即式（8.94）；性质3是性质2的直接结果。在中，函数作了二倍的扩展，分辩率降为，所以应属于；性质4说明当时，分辨率，这时我们将会失的所有信息，也即，从空间上讲，所有的交集为零空间；性质5是性质4的另一面，即当时，分辩率，那么信号在该尺度下的近似将收敛于它自身，即(8.100)从空间上讲，即是所有的并集收敛于整个空间；性质6说明了中Riesz基的存在性问题，并将要由此引出中正交基的存在性问题，因此，需要着重加以解释。设是一Hilbert空间(注：能量有限的空间即是Hilbert空间)，是中的一组向量，其个数与的维数一致。自然，中的任一元素都可表为的线性组合，即

(8.101)我