小波分析和变换课程学习报告

小波分析和变换课程学习报告1课程概述小波（Wavelet）这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。2课程学习过程2.1绪论本节课，吴老师通过最基础的和差变换，深入浅出的指导我们初步认识到小波的基本知识面貌，在X（i）至Y（i）至Z（i）的变换与恢复过程中，我们认识到这其实是一种非常普遍的数据压缩与解压缩的过程，我们在生活和学习过程中经常会运用到。引申到图像处理中，小波分析的运用更为直接和有效。在该领域小波变换存在以下几个优点：a） 小波分解可以覆盖整个频域；b） 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性；c） 小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口），在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率（窄分析窗口）；d） 小波变换实现上有快速算法（Mallat小波分解算法）。2.2小波变化原理2.2.1小波变换及小波函数的多样性小波是函数空间"（R）中满足下述条件的一个函数或者信号3）:

式中，R*=R-{0}表示非零实数全体，W(①)是W3)的傅里叶变换，w3)成为小波母函数。对于实数对(a,b)，参数a为非零实数，函数W(W(a,b)(x)=称为由小波母函数W(X)生成的依赖于参数对(a,b)的连续小波函数，简称小波。其中：a称为伸缩因子；b称为平移因子。对信号f(x)的连续小波变换则定义为，，、 1w^(a，，、 1w^(a,b)=jf(x)WR]dx=(fMWa,bSA其逆变换(回复信号或重构信号)为dadb1dadbf(x)=—』』C RxR*w信号f(x)的离散小波变换定义为w(2j,2jk)=2-j2j+8f(x)w(2-jx-k)dx其逆变换(恢复信号或重构信号)为f(t)=C男男W(2j,2jk刃 (x)j=-8k=一8其中，C是一个与信号无关的常数。显然小波函数具有多样性。在MATLAB小波工具箱中提供了多种小波幻术，包括Harr小波，Daubecheies(dbN)小波系，Symlets(symN)小波系，ReverseBior(rbio)小波系，Meyer(meyer)小波，Dmeyer(dmey)小波，Morlet(morl)小波，ComplexGaussian(cgau)小波系，Complexmorlet(cmor)小波系，Lemarie(lem)小波系等。实际应用中应根据支撑长度、对称性、正则性等标准选择合适的小波函数。2.1.2小波的多尺度分解与重构1988年Mallat在构造正交小波基时提出多尺度的概念，给出了离散正交二进小波变换的金字塔算法，其小波分析树形结构如图1所示，即任何函数f(x)eL'R)都可以根据分

辨率为2—N的f⑴的低频部分(近似部分)和分辨率为2-j(1<j<N)下f⑴的高频部分(细节部分)完全重构。多尺度分析时只对低频部分作进一步分解，而高频部分则不予考虑，分解具有关系：f(x)=A+D+D1++D2+D]其中(x)代表信号，A代表低频近似部分，D代表高频细节部分，n代表分解层数。对信号采样后，可得到在一个大的有限频带中的一个信号，对这个信号进行小波多尺度分解，其实质就是把采到的信号分成两个信号，即高频部分和低频部分，而低频部分通常包含了信号的主要信息，高频部分则与噪音及扰动联系在一起。根据分析的需要，可以继续对所得到的低频部分进行分解，如此又得到了更低频部分的信号和频率相对较高部分的信号。I—-^2.1.3二进小波变化及其稳定性分析信号分解的层数不是任意的，对于长度为N德信号最多恩给你分成1塑N层。实际应用中，课根据实际需要选择合适的分解层数幺(f)(b0,I—-^2.1.3二进小波变化及其稳定性分析如下图所示，因为连续小波变下将一维信号变换到二维变换域上，从而有大量的信息冗余量。w(f)(b1,气)余量。%(f)(b，a)包含了一个时频空间窗口中■勺信息。注：为完成对频域的分割，应对时间刻度a抽样，其准则为:方法简单，高效；保留f(t)的全部信息。抽样方法见下所示：a)对频域的分割必须是不重叠，完全的。

(0,+8)=uAjj^ZAnA.2i。jb)窗口的宽度与其中心频率相适应。(二进制划分)+8(0,+8)=+8(0,+8)=u(2j△,2j+i△]

VV

j=f如何快速的怎样确定时间刻度参数a的样本值｛aj｝，使:①* 1 ①* 1(―-—△,—+_△]=(2j△,2j+1△]

aaVaaVVV由于V的频率中心可以移动，而不影响我们可以假设：①*=3△V2 4△]=(△.,

VawaV的基本性质。(①*aj取：aj①*△,Vajaj=2-(j-i)函数VeL2,1A函数VeL2,1A④*——△，——awa:气］j=(2j气,2j+1气］称为二进小波。若存在两个常数0<A<B<+8,使:A<¥V(2-jw)|2<B 几乎处处成立这个条件称为二进小波的稳定性条件。二进小波变换的定义：T(/灼=如(f)(b*)j8 =22jf(t)V(2j(t-b))dt-8=<f,w.〉 其中w=2；V(2j(t-b))二进小波稳定性条件的另一种表述，这点非常重要：S 2叩112空Wf|<叩『weL-8针对稳定性条件，有如下定理：令V满足二进小波的稳定性条件，则V满足:8V(①)|2Aln2<J1加①0j土吐仙<血①0即：V是一个基小波。当A=B时，有：8Vf(3)|2C=j 如=2Aln2—8II由稳定性条件：A〈寸炉(2-j①)|2<B(①〉0)艾V(2-j①)|2(①〉0)-8jA/j一d④④1jA/j一d④④1/2B/<j一d④④12.1.4离散二进小波离散二进小波是一类重要的二进小波。定义见下图所示:定义：设"(。是基本小波，取定/>L腐〉0,记-危)=灵一"笋。)=町畅"—泌0)。0称也其)：皿住Z｝为离散小波;设f(t)GZ2,称/仁”〉=「/«)，"(X为/■(,)的离散小波变换。注.常取％=2,4=1离散小波变换不具有平移不变性Fourier级数是不同频率的正弦波的叠加，小波级数是不同频率、不同位置的波的叠加。因为离散二进小波是二进小波，因此其也是允许小波，具备平移不变性。2.3多分辨分析与Mallat分解重构Mallat使用多分辨率分析(multiresolution)的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat快速小波分解和重构算法，它在小波分析(wavelettransform)中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。有时候也称之为多尺度分析。具体定义见下：设3w丁是£气衣)空间中的一列闭子空间』如果它们满足如下六个性质，则说；匕如e 是一个多分辨率近似.1-VQ^)eZ\若而电则北一2』©氏*V/eZ,匕叫.即…*=)*=)*・・・*=)*+]・・・V/eZ,若"斗则叫.+】lLi燮队=nk=Lim7?.=Closure(U=JTijjJ j.TUJ存在一个基本函数$使得V以，EZ是*中的瓯明基。性质1说明，空间*对于正比于尺度才的位移具有不变性，也即函数的时移不改变其所属的空间。我们在上一章对（a,b）作二进制离散化时曾说明，若令刀=2七贝册应职上=2映将％归一化为1,则时）=土m宁）=E好f="）性质1实际上应等效为：弋m一拦T（t\『T（t一「矿.性质N说明，在尺度淡（或J）时，对X（£）作的是颁亵为2一『的近似.其结果将包含在较低一级颁紊2一》1时对W）近似的所有信息，即空间的包含性质3是性质2的直接结果。在*+】中，函数作了二倍的扩展，分辩率降为2一尸，所以工（：）应属于*+】性质4说明当j-03时，分辨率尸T0,这时我们将会失而的所有信息，也即LimP{x（f）=0

lI''从空间上讲，所有=-00~+00）的交集为零空间性质5是性质4的另一面，即当jT-oo时，狮寮Too,那么信号欢'）在该尺度下的近似将收敛于它自身，即£物|%（£）一丑（£）=0

2.4小波基2.4.1由尺度函数构造正交小波基由正交尺度函数^(t-k)}构造正交小波基，构造步骤如下:keZ选择Nt)或中(«)使版t-k)}为一组正交基。keZ求h(n):h(n)=<©(t),Nt—k)>HH(①)=中(2①)

中(①)⑶由h(n)求g(n):g(n)=(-1)n-h一n+1或G(s)=e-冷H(s+兀)⑷由g(n)，Nt)构造正交小波基函数^(t):W(t)=Zg^1n(t)n或W(①)=G32)•中(①；2)2.4.2由尺度函数为Riesz基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数Nt)，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz基$(t-k〃ez来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。首先给出Riesz基的定义：设函数§(t-赫心张成的空间为匕的Riesz基的充分必要条件为存在两常数A>0,B<8，使得对于所有(匕)旧巴L2(Z)都有

2 b£CkI2kaXc|2<5(t-k)2 b£CkI2kk k可以证明式(7-7)等价于0<(2兀)-iA<^|中(s+2兀l)|2<(2兀)-iB<3l因此我们可以定义一个^#(t)eL2(R)，使得中#(必)=[EI中(①+2兀l)|2]-：.中(①)l显然，中#(®)满足X|中#(①+2兀l)|2=1即如(t-k)是正交基。且如(t-k)可以构成I"的多分辨率分析框架。由此可由如(t-k)入手，构造一个正交小波基。可以证明如下：除了N=0时(此时为Haar小波)例外，其他4(t-k)都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程8#(t)。正交的8#(t)及其构造的小波函数W(t)(Battle—Lemarie小波函数)支集都为非紧的(定义域为整个实轴)。, 1一一, 一当N为偶数时，8#(或8)关于t——对称，当N奇数时，8#(或8)关于t—01 ,对称。而所有Battle—Lemarie小波关于t—-对称。并且已有学者证明8#和W都具有指数衰减性。2.4.3紧支集正交小波基的性质和构造由MRA理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程:(2.4.3-1a)(2.4.3-1b)8(t)—豆Xh(n)8(2t-n)(2.4.3-1a)(2.4.3-1b)ni neZW(t)-2X(-1)nh(n)8(2t-n)-n+1neZ由上式可知，即使8(t)是支集紧的，相应的W(t)的支集未必是紧的。因此既简单又重要的是要求式(2.4.3-1)的右边仅包含有限(N+1)项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成

(2.4.3-2a)(2.4.3-2b)^(t)=•、:2l^h(n)^((2.4.3-2a)(2.4.3-2b)nn=0W(t)=、，2£g(n)^(2t-n)nn=1-N如此，若Nt）是正交MRA中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数甲（t）也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（2.4.3-2a）的双尺度方程中的8（t）。由式（2.4.3-2a）我们发现，如果先直接寻找8函数，然后再来确定有限项的h是不容易的。相反，若有限长度的h已确定，再来确定8则容易些。我们先不考虑这样得到的8（t）是否满足多尺度分析的生成元的正交性等条件，而只考虑若给定一组常数匕,h1,,气-1，如何由解方程（2.4.3-2a）来求得8（t）的问题。2.5小波包由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。2.5.1小波包定义正交小波包的一般解释仅考虑实系数滤波器。*}L}为」-1）""—nneZ nneZ n 1n^8（t）=^2E七8（2t-k）W（t）=yf2Eg8（2t—k）I keZ为便于表示小波包函数，引入以下新的记号：〃日（t）：=8（t）M（t）:=W（t）"（t）=42E七K（2t-k）'（t）=v2Eg尸0（2t-k）keZ

通过h,g在固定尺度下可定义一组成为小波包的函数。由'日（t）=T2Zh日（2t-k）k（2t-kk（2t-k）n口2.5.2小波分解及小波包分解V=V=U0LL2.5.3小波包变换的原理和公式由于正交小波变换只对信号的低频部门做进一步的分析，而对高频部分以及信号的细节部分不再继续分解，所以小波包变换能够很好的表征以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地结合表示包含大量细节信息（细小细节或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图像、地震信号和生物医学信号灯。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中频、高频信息的信号能后进行更好的时频局部化分析。小波包分解算法：d2n[k]=£hdn[/]d2n+1L]=NgdnH]j l-2kj+1l IcZ小波包重构:dnj+1[kdnj+1[k]=Zh d2nk-2ljleZ\1]+Sg d2n+1k-2lj\1]leZ综上得到信号小波包分析的基本实现步骤：1） 选择适当的小波录波器，对给定的采样信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数；2） 选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基；3） 对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理；4） 对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。3学习心得和思考通过学习、查询资料，得知小波分析已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的