数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)4试证：对任给初值x0,0)的牛顿迭代公式axk11,2,......(xkk),k0,1恒成立以下关系式：(1)xk1证明：1k(xk2,k0,1,2,....(2)xkk1,2,......xk1a（1xk1xk2xkk2xk2（2）取初值x00，显然有xk0，对任意k0，1a1aaaxk1xkxk2xk2xk证明：若xk有n位有效数字，则xk821101n，2xk818而xk1k2x2xkk2xk2.511022n1xk11012n22.52xk1必有2n位有效数字。解：此题的相对偏差限平时有两种解法.①依据本章中所给出的定理：（设x的近似数x可表示为x0.a1a2.....an10，若是x拥有l位有效数字，则其相对偏差限为**m*xx*x*110l1，此中a1为x*中第一个非零数）2a1则x12.7，有两位有效数字，相对偏差限为ex111010.025x122x22.71，有两位有效数字，相对偏差限为ex211010.025x222x32.718，有两位有效数字，其相对偏差限为：x3e11030.00025x322②第二种方法直接依据相对偏差限的定义式求解关于x12.7，x1e0.0183x1e0.0183其相对偏差限为0.00678x12.7同理关于x22.71，有x2e0.00830.003063x22.71关于x32.718，有x3e0.00030.00012x32.718备注：（1）两种方法均可得出相对偏差限，但第一种是关于全部拥有n位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对偏差限的预计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的偏差限预计，但计算稍复杂。2）采纳第二种方法时，分子为绝对偏差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对偏差限大于或等于真实值与近似值的差。解:3.*......，3.*-*.......7113221102，拥有3位有效数字722551106，拥有7位有效数字11329.解：有四舍五入法取正确值前几位获得的近似值，必有几位有效数字。*令x1,x2,x3所对应的真实值分别为x1,x2,x3，则11101l=1022212*Ox1-x1O/Ox1O＜10/2.72＜0.0018421151l*Ox2-x2O≤10=102215*Ox2-x2O/Ox2O10/2.*0.*-*21141l*Ox3-x3O10=102214*Ox3-x3O/Ox3O10/0.07180.0006972*Ox1-x1O≤12.11x2x2=12x1x(12x)(1x)sin2x2x-1cosx==2sin21cosxxnx2xnx2e1≈1+x+++-1=x+++2!n!2!n!x13.解：⑴x11-x=xx2/x11xxxx⑵11=arctan(x1)-arctanx21t设arctan(x1)=a，arctanx=b,则ab)=tan(tanatanb1=1tanatanb1x(x1)x1)-arctanx=arctan(11x(x1)ln(xx21)=ln1xx21=ln1ln(xx21)=-ln(xx21)习题一（54页）5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当f(x)为次数≤n的多项式时，因为fn1(x)=0，于是有Rn(x)=f(x)－Pn(x)=0,即Pn(x)=f(x)，表示其n次插值多项式Pn(x)就是它自己。9.证明：由第

5题知，关于次数≤n的多项式，其

n次插值多项式就是其自己。于是关于

f(x)=1，有

P2(x)=f(x)即，l0(x)f(x0)+l1(x)f(x1)+l2(x)f(x2)=f(x)则，l0(x)+l1(x)+l2(x)=111.解析：f(n1)( )因为拉格朗日插值的偏差预计式为f(x)－Pn(x)=n1)!nf(n1)( )偏差主要本源于两部分和(xxk)。n1)!k0n(xx)k0n关于同一函数议论其偏差，主要与(xx)有关。kk0在（1）受骗算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，因为0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，x0与0.472更凑近，所以此题应选x0,x1,x2为节点来构造插值多项式。(1)p2(x)(xx1)(xx2)(xx0)(xx2)y0y1(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(xx1)(xx0)y20.*-*(x2x1)(x2x0)15.证明：由拉格朗日插值余项公式有1f2( )12f(x)－p(x)颉堋堞(xx0)(xx1)maxf(x)(xx)kx0xx122!k0因为(x1x0)2=(x1xxx0)2=2(x1x)(xx0)+(x1x)2+(xx0)24(x1x)(xx0)(x1x0)2maxf2(x)f(x)－p(x)颉x0xx1820.证明：当n=1时，F(x0,x1)=F(x1)F(x0)f(x1)f(x0)=C=Cf(x0,x1)x1x0x1x0假设当n=k时，结论成立，则有F(x0,...,xk)=Cf(x0,x1,...,xk)；F(x1,...,xk1)=Cf(x1,x2,...,xk1)；那么，当n=k+1时，F(x0,x1,...,xk1)=F(x1,...,xk1)F(x0,...,xk)xk1x0f(x1,...,xk1)f(x0,...,xk)Cf(x0,x1,...,xk1)xk1x0=C证明达成。（近似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理4（26页）可知：f(n)( )f(x0,x1,...,xn)=,此中[minxi,maxxi]n!0n当nk时，f(n)(x)=xk(n)=0；=k!；当n=k时，f(n)(x)=xkf(x0,x1,...,xn)=(k)0,当nk时1,当nk时13.解：由题意知，给定插值点为x0=0.32,y0=0.*;x1=0.34,y1=0.*;x2=0.36,y2=0.*由线性插值公式知线性插值函数为P1(x)=x0.34x0.32xx0xx10.*+0.*y0+y1=0.020.02x1x0x0x1当x=0.3367时，sin0.3367≈P)≈0.*-*+0.*-*≈0.*1(0.3367其截断偏差为R1(x)颉M2(xx0)(xx1)颍此中M2=maxf2(x)x0xx12f(x)=sin(x)，f2(x)=-sin(x)，M2=sin0.34颉0.*于是R1(0.3367)颉若用二次插值，则得P2(x)=150.*×0.0167×0.0033≤0.92×102(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)(xx1)(xx2)y0+y1+y2(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)(x0x1)(x0x2)sin0.3367≈P)≈0.*2(0.3367其截断偏差为R2(x)颉M3(xx0)(xx1（)xx2)6x0xx2此中M3=maxf(x)=maxcosx=cos0.320.950x0xx2于是R2(0.3367)颉16×0.950×0.0167×0.0033×0.02330.204×106解：差商表为―――――――――――――――――――――――――――――――

xif(x)

一阶差商

二阶差商

三阶差商

四阶差商五

阶

差商―――――――――――――――――――――――――――――――100由差商形式的牛顿插值公式，有P(x)=f(x0)＋f(x0,x1)(xx0)＋f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1)f(x0,x1,x2,x3)(xx0)(xx1)(xx2)=-3＋3(x1)＋6(x1)(x2)＋(x1)(x2)(x3)题：解：因为P(0)P(1)P1(1)0，则设P(x)Cx(x1)2由P(2)1,得C2(21)21，则C所以P(x)121x(x1)2224.解：因为P(0)0,P(1)1,P(2)2,P(3)3可设P(x)xCx(x1)(x2)(x3)由P1(2)0得P1( )1C2(21)(23)0，有：C所以P(x)x2x(x1)(x2)(x3)2'．解：由泰勒公式有f“(x0)f3( )2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)32!3!f"(x0)(xx0)2C(xx0)3设P(x)f(x0)f(x0)(xx0)2!'其知足Pj(x0)fj(x0)，此中j0,1,2f(x0,x1)f'(x0)f"(x0)由P(x1)f(x1)，得C(x1x0)2(xx0)2(x1x0)代入(*)式既可得P(x).'"33.解：因为S(x)C20,2，故在x1处有S(1),S(1),S(1)连续，即：bc1解得：2bc12334、解：第一确立求解过程中涉及到的一些参数值。x01,x10,x21,x33h01,h11,h22h0h111hh1,2012h1h231121122123d06hf(x0,x1)f'02402d16f(xf(xk)0,x1,x2)6020(xkxj)jj0kd26f(x1,x2,x3)2d63hf'3f(x2,x3)02于是获得关于M0,M1,M2,M3的方程组：21M024222M022231M122M230201227412732112010M014M14M22M31解方程求出M0,M1,M2,M3，代入(三对角方程)0M024M7201M0（追赶法）21M230(xi1x)3(xxi)3xi1xhi2xxihi2S(x)MiMi1(fiMi)(fi1Mi1)6hi6hihi6hi6即得悉足题目要求的三次样条函数3x32x2x1x1,0S(x)x32x2x1x0,11x37x219x1x1,24444习题二2.解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义当f(x)1时，左=右=1dxx01110131111，左=右441x2当f(x)x时，左=xdx02右=12，左=右31111434211x3122当f(x)x时，左=xdx0303右=*( )1，左=右43431x4133当f(x)x时，左=xdx0404右=*( )1，左右*所以求积公式的代数精度为2.3.解：⑴求积公式中含有三个待定参数，即：A0,A1,A2，所以令求积公式对f(x)1,x,x均正确成立，则有2A0A1A22hA0hA2h02232AhAhh20314解得：A0A2h,A1h33所求公式最少有2次代数精度。又因为当f(x)x3时，左=0右=A0(h)3A2h30当f(x)x4时，左=25h544右=A0hA2h25h左3所以求积公式只有3次代数精度。⑵、⑶近似方法得出结论。6.解：因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为A0l0(x)111x411dx(4x3)dx0x0x*xx01dx(4x1)dx02x1x02A1l1(x)11故求积公式为：1113f(x)dxf( )f( )244下边考据其代数精度：当f(x)1时，左x01,右1当f(x)x时，左x22111,右2213x15,右左当f(x)x2时，左*所以其代数精度为1。7.证明：⑴若求积公式⑷对f(x)和g(x)正确成立，则有baf(x)Akf(xk)及g(x)Akg(xk)k0ak0nbnaf(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dxAkf(xk)Akg(xk)Ak(f(xk)g(xk))0k0k0nnnbbb所以求积公式对f(x)g(x)亦正确成立。k次多项式可表示为akxkak1xk1a1xa0pk(x)若公式⑷对xk(k0,1,m)是正确的，则有7题中的上一步可知，其对pk(x)亦成立。由代数精度定义可知，

其最少拥有