高中数学人教A版第二章平面向量学业分层测评14

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设P是△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则()A．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C．eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0【解析】因为eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确．【答案】B2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【解析】eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以A，B，D三点共线．【答案】A3．(2023·北京高一检测)四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，又eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b＝eq\o(AB,\s\up6(→)).又因在四边形ABCD中，有|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．【答案】B4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A．eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B．eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))【解析】由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OA,\s\up6(→))，又因为eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).【答案】A5.如图2－2－20，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么eq\o(EF,\s\up6(→))＝()图2－2－20A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).【答案】D二、填空题6．(2023·郑州高一检测)已知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，若eq\o(PP1,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，则λ等于________．【解析】因为eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，所以－eq\o(PP1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(PP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P2,\s\up6(→)))，即eq\o(PP1,\s\up6(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(2,5).【答案】－eq\f(2,5)7．(2023·南宁高一检测)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O为平面上任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))－teq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).【答案】(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))三、解答题8.如图2－2－21所示，OADB是以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b为邻边的平行四边形．又BM＝eq\f(1,3)BC，CN＝eq\f(1,3)CD，试用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【导学号：00680044】图2－2－21【解】eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)，所以eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.9．(2023·绍兴高一检测)设a，b是两个不共线的非零向量，记eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？【解】∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，∵A、B、C三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).由于a，b不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))故当t＝eq\f(1,2)时，A、B、C三点共线．[能力提升]1．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心【解析】设BC的中点为M，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，又因为eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，且由题有eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝2λeq\o(AM,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AM,\s\up6(→))共线，又因为AM为△ABC的BC边上中线，过重心，所以点P的轨迹通过△ABC的重心．【答案】C2．点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DA,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(EF,\s\up6(→)).【解】如图：取AB的中点P，连接EP，FP，在△ABC中，因