高二物理竞赛第10章稳恒磁场课件

第十章稳恒磁场运动电荷产生磁场§10.1稳恒电流正电荷运动的方向定义为电流的方向。电流的方向与自由电子运动的方向是相反的。1载流子带电粒子定向运动形成电流。形成电流的带电粒子统称为载流子。在金属中是电子；在半导体中是电子或空穴；在电解质溶液中是正负离子。2电流的方向一、电流、电流密度3电流强度（电流）单位：安培(A)，库仑/秒单位时间内通过导体某一截面的电荷量，叫做电流强度。它是表示电流强弱的物理量(标量)，用I

表示。电流强度也是国际单位制的基本量。4电流密度矢量S1和S2的电流强度一样吗？比I更精确描述电流的分布。S1和S2的电流密度一样吗？电流密度矢量：方向为该点处电流的方向；大小等于通过该点垂直于电流方向的单位面积的电流强度（单位时间内通过单位垂面的电荷量）。

电流密度在各点分布不同，构成电流场，可以用电流线描述，电流线上任意一点的切向方向为该点方向，疏密程度反映电流密度的大小。5电流强度与电流密度已知电流密度j，求过某面积元dS的电流dI怎么解？求出通过某一面元dS的电流dI，就可以求得通过总截面的总电流.积分得到：即：通过某一曲面的电流强度等于通过该曲面的电流密度通量。二、电流密度与载流子漂移速度的关系

漂移速度是指载流子平均的定向移动速度。它是无规则热运动与定向电场驱动与固体晶格阻碍的平衡效果。可以简单认为电子做匀速运动。vdtq.P电流密度为：写成矢量式子假定导体中载流子的数密度n;每个载流子的电量为q，漂移速度为v。考虑dt时间间隔内，P点附近的电流：注意：与方向一致q为正,与同向，q为负，与反向。此式可作为电流密度的定义式。三、电流连续性方程电流场的一个重要性质就是其连续性，其实质是电荷守恒定律。在电流场内任取闭合曲面S，则其电流密度通量应等于曲面内电荷的变化率，即：单位时间内通过闭合曲面S向外流出的净电荷等于单位时间内闭合曲面S内电荷的减少。对于稳恒电流，电流场不随时间变化的，意味着空间各处没有电荷增减，即：电流的稳恒条件稳恒电流指各处电流密度不随时间发生变化的的电流；§10.2磁场磁感应强度

历史上人们很早就发现天然磁石能够吸引铁、钴和镍等金属。1820年丹麦物理学家奥斯特(Osterd)在实验中最早发现了电流的磁效应：通电导线附近的小磁针会发生偏转。随着后续试验的发展，电流和磁场的关系得到了阐明。一、磁场电流磁场电流磁铁磁铁运动电荷运动电荷运动电荷在周围空间将同时产生电场与磁场，电场、磁场统称为电磁场。二、磁感应强度

与电场强度E的引入类似，对于磁场，采用磁感应强度B来描述。一个试验电荷q以速率v

通过磁场中某点时，受到的磁力与速度（方向、大小）有关：磁力总与速度垂直，且当速度方向变化时，磁力大小变化，有最大、最小磁力对应的特定方向。磁感应强度：描述磁场中某点磁场性质的基本物理量。单位：特斯拉T方向：三者互相垂直，且满足右手螺旋关系。磁感应强度的大小：三、运动电荷的磁场静电场理论告诉我们，一个电量为q的点电荷在空间中某一点P所激发的电场强度E为：理论和实验均可以证明，一个电量为q，以速度v

运动的点电荷在空间中某一点P所激发的磁感应强度B为：真空磁导率注意：

与、都垂直，磁感应线为以为轴的同心圆环。讨论磁场方向：练习：氢原子原子核处磁感应强度的大小和方向四、毕奥-萨伐尔定律1、电流元的引入在静电学中求电场强度的思路是：q→dq→dE→E。为了计算一根通电导线产生的磁场，我们遵循类似思路：I→Idl→dB→B。电流与线元之积称为电流元，这是一个矢量；电流元的方向—电流的方向。大小为Idl。2、定律内容毕奥－萨伐尔(Biot-Savart)根据电流磁作用的实验结果分析得出电流元产生磁场的规律——毕奥－萨伐尔定律。拉普拉斯后来用解析运算推导出了我们现在看到的公式。真空中电流元Idl

在某点产生的磁场强度的大小，与电流元的大小成正比，与电流元到P点的距离平方成反比，且与电流元和（电流元到P点的）矢径间的夹角的正弦成正比一个运动的点电荷的磁场为:电流元中载流子数目电流元产生磁场：推导过程如下：3、说明1B-S定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接证明（电流元无法单独存在），但是由该定律出发得出的一些结果能很好地与实验符合。2dB的方向由Idl与矢径确定，即用右手螺旋法则确定；3B-S定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律与磁场叠加原理，原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。五、毕奥-萨伐尔定律的应用解题步骤1.选取合适的电流元——根据已知电流的分布与待求场点的位置；2.选取合适的坐标系——要根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取坐标系，其目的是要使数学运算简单；3.写出电流元产生的磁感应强度——根据毕奥－萨伐尔定律；4.计算磁感应强度的分布——叠加原理；5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取合适的积分变量，来统一积分变量。由于所有电流元和相应的位矢总是在xoy平面内，所以，所有电流元激发的磁场方向相同，垂直屏面向里。总磁感应强度的大小为:统一积分变量为θ例1．求有限长载流直导线激发的磁场。电流为I,P点到导线的距离为a。解：取图示电流元，以过场点P、且垂直于导线水平向右为x轴，沿导线竖直向上为y轴。由B—S定律有:B的方向----与电流方向成右手螺旋关系ABCDABCD半无限长载流直导线端面上一点的磁感应强度：长载流直导线延长线上某点的磁感应强度：无限长载流直导线的磁感应强度：例2(10.18)．电流均匀流过宽为2a的无限长平面导体薄板，电流为I，通过板的中线并与板面垂直的平面上有一点P，P到板的垂直距离为x，设板厚可忽略，P的磁感应强度B的大小。由对称性可知，总磁场方向应平行于电流板。细长条的电流为：细长条在P点的磁感应强度为：细长条在P点的磁感应强度的//分量为：几何关系：整个导板在P点的磁感应强度的为：例3：有一半径为R的载流圆环，通有电流为I，求圆环轴线上一点P的磁感应强度B。解：建立图示坐标系，整个载流圆环在轴线上一点的磁感应强度沿x轴方向。电流元产生的磁感应强度为：

载流圆环对圆心处的磁感应强度

轴上一点磁场公式可改写m为线圈磁矩：右手螺旋定则

某段圆弧对圆心产生磁感应强度B的方向沿轴线与线圈中电流的方向成右手螺旋关系。例4：计算图示载流导体在O点的磁感应强度。解：o点磁场B由三段载流导体产生，其中cd段的延长线过场点o，无磁场，所以规定向里为正向，解：取细圆环，该细圆环所带电量为：例5：一内外半径分别为R1和R2的圆环均匀带正电，电荷面密度为，以角速度绕通过环心且垂直于环面的轴转动，求环心处的磁场。该细圆环等效电流为：该细圆环在环心处的磁场：整个圆环在环心处的磁场：解：长度为dl内的各匝圆线圈的总效果，是一匝圆电流线圈的ndl倍。例6

求半径为R，总长度为L，单位长度上的匝数为n的密绕螺线管在其轴线上一点的磁场。在管端口处，磁感应强度等于内部的一半。无限长直螺线管（或长直螺线管中部附近）的磁感应强度：半无限长直螺线管端口处的磁感应强度：或一、磁通量磁场的高斯定理1、磁感应线规定:磁感应线上任意一点的切线方向表示该点磁感应强度的方向；磁感应线的疏密程度反映磁感应强度的大小。§10.3安培环路定理磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线。磁感应线不相交。磁感应线方向与电流方向成右手螺旋定则关系。观察磁感应线，总结特点如下：ISNISNII2、磁通量磁通量描述通过磁场中某一曲面的磁感线数目。穿过某一曲面的磁通量单位：韦伯，Wb对于闭合曲面，由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，所以穿入、穿出的磁感应线条数相等，则对任意闭合曲面的磁通量为零。3.磁场的高斯定理稳恒磁场与静电场规律对比二、安培环路定理Ampere’sLaw1.表述安培环路定理：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B

沿任何形状闭合回路L的线积分（环流），等于穿过以该回路为边界的任意曲面内的电流代数和的μ0倍。法国物理学家安培在电磁学领域贡献卓越，成为电动力学的创始人。1符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关系的I为正，否则为负。如图所示，求环路L的环流说明：2安培定理直接反映了磁场线的闭合性质，说明磁场不是保守场，不能引入标量势。3重要说明：虽然回路外的电流对环流无贡献，但是，它要影响磁场，即空间各点的磁场仍由所有电流共同激发。2.安培环路定理的验证我们用无限长直通电导线产生的磁场来验证安培定理。选取积分方向与B绕行方向相同：闭合回路不包围电流：不包围电流包围电流在垂直于导线的平面内任取一包围导线的任意形状的闭合回路。三、用安培环路定理求磁场必须选择与磁场对称性相应的回路，使得（各段）回路上各点磁场大小相等，方向与回路方向一致或成90度，从而可以完成环流积分。解题步骤分析电流的分布和场的对称性；选取具有相应对称性的回路；并规定绕行方向；确定穿过以闭合回路内的电流的代数和；应用环路定理求磁感应强度。要求磁场具有高度的对称性，如无限长载流直导线（圆柱体或面）；无限大载流平面；无限长直密绕螺线管；密绕螺线环。有限电流的磁场不能用安培环路定理计算例1：求无限长载流圆柱体内、外的磁感应强度的分布。圆柱体半径为R，电流Ｉ在导体横载面上均匀分布。解：轴对称场特点：与圆柱体共轴的圆柱面上各点磁场大小相等，方向与电流流向成右手螺旋关系。因此，过柱体内、外场点选择共轴圆环回路，回路方向与电流流向成右手关系。１.圆柱体内各点（r<R区域）环路内电流代数和为：2.圆柱体外一点（r≥R区域）环路内电流代数和为：可见，圆柱体外的磁场分布等效于将全部电流集中于轴线上的无限长载流导线的激发的磁场。表面磁场是连续的。讨论：若无限长圆柱形载流直导线，电流沿轴向电流面密度j=j(r),能否用安培环路定理求B？

引申：无限长均匀载流薄圆筒的磁场无限长均匀载流厚圆筒

（内半径为R1，外半径为R2）的磁场

例2：无限大载流平板的磁场分布；已知电流均匀流过无限大平面导体薄板，电流面密度为j（即通过与电流方向垂直的单位长度的电流），求磁场分布。解：根据右手螺旋法则判断磁场的分布，在上板磁场水平向左，下板磁场水平向右，且大小关于导体板对称。作闭合环路abcda，ab平行于平板。环流为：表明无穷大平板两侧分别是均匀磁场。环路内的电流代数和为：例3：无限长直密绕载流螺线管（理想密绕螺线管）的磁场。电流为I，线圈密度为n。解：理想密绕螺线管，管内的磁场是均匀的，管外的磁场为很弱，可以忽略，管内磁场的方向由右手螺旋法则确定。作闭合环路abcda，ab平行于轴线。环流为：表明无限长螺线管内部是均匀磁场，外部磁场为零。能量集中在螺线管内部。环路内的电流代数和为：在管内作半径为r的环路：

例4：求载流密绕螺绕环内的磁场。匝数为N，内径为R1

，外径为R2

，通有电流I。理想螺绕环：环的半径远大于环的粗细（R2－R1）。解：轴对称的场特点：

同r处，B大小相等B方向与电流I成右手螺旋关系与长直螺管的结论一致。若为细环，则选取回路与B线重合§11.4洛沦兹力一、磁场对运动电荷的作用力在磁场B中的一点，带电量为q的粒子以速度v运动时所受磁场力为（由磁场定义导出）：Lorentz力——磁场对运动电荷的作用力洛伦兹力总是垂直与速度方向，所以不对电荷做功，只改变速度方向，不改变速度大小。洛伦兹力的方向根据右手螺旋定则判断。洛伦兹力的大小:二、带电粒子在均匀磁场中的运动带电粒子在均匀磁场中的运动轨迹与运动方向有关。2.速度垂直于磁场方向带电粒子所受洛仑兹力总是与运动速度方向垂直，所以带电粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力。1.速度平行磁场方向带电粒子不受Lorentz力，作匀速直线运动。上述公式表明:周期T（或频率）与粒子运动速度无关，速度大的粒子轨道半径大，走的路程长，速度小的粒子轨道半径小走的路程短，但周期都是相同的——回旋加速器的原理。回旋半径：

(gyro-radius)回旋周期：(gyro-period)回旋频率：(gyro-frequency)洛伦兹力提供向心力：

将速度分解为平行于磁场和垂直于磁场的分量。粒子以平行于磁场的速度分量沿磁场方向做匀速直线运动；以垂直于磁场的速度分量做圆周运动。所以，其合运动为螺旋运动。螺旋线的半径:3.速度与磁场成任意夹角回旋周期：螺距——在一个周期内沿磁场方向行进的距离或相邻螺线间的距离：应用:磁聚焦三、经典霍尔效应HallEffect1.原因:是由于运动电荷在磁场中受Lorentz力的结果。设载流导体的宽为b，厚为d，通有电流I。1879年霍耳发现，如果给磁场中的导体（半导体）沿纵向通以电流，则在导体（半导体）横向两侧面出现一定的电势差，这种现象就叫霍尔效应，所产生的电势差称为霍尔电压。

载流导体（半导体）中的运动电荷在洛伦兹力的作用下，向上偏转，在导体的上表面积累了正电荷，下表面出现负电荷，在上下两面间形成电场E，出现Hall电压UH。带电粒子将受到向下的电场力Fe的作用。

当电场力与Lorentz力平衡时，上下表面出现稳定的电荷分布，UH

稳定。由有Hall系数由于导体内有大量的自由电荷，n较大，RH

较小，故导体的霍尔效应较弱。而半导体界于导体与绝缘体之间，其内的自由电荷较少，n较小，RH

较大，故半导体的霍尔效应显著。讨论3.Hall效应的应用测量半导体的性质

半导体根据掺杂不同，有空穴型（p型）半导体，和电子型（n型）半导体。P型半导体的主要载流子为正电荷，n型为负电荷；P型半导体：UH>0N型半导体：UH<0由UH的正负就可知道半导体的类型。一、安培力放置于磁场中的载流导线将会受到磁场的作用力，通常称为安培力。安培力本质上是导线中的载流子受到的洛伦兹力。电流元中共有载流子数为：电流元中所有载流子洛伦兹合力为:§11.5安培力如图所示，电流元Idl处于磁场B中，设载流子数密度为n，电流元的横截面为S，则电流元中任一载流子所受的洛伦兹力为:电流元所受安培力公式为：由于：和有限长载流导体所受安培力

计算一段电流在磁场中受到的安培力时，应先将其分割成无限多电流元，将所有电流元受到的安培力求矢量和——矢量积分。式中积分方向为电流流向，积分遍及电流所在空间。注意：Ampere力的大小：Ampere力的方向：由右手螺旋法则确定。例1：在无限长载流直导线I1

旁，垂直放置另一长为L的载流直导线I2,I2

导线左端距I1

为a，求导线I2

所受到的安培力。解：建立图示坐标系。距原点x处选择电流元I2dx。I1

电流在其右侧产生的磁场方向垂直屏幕向里，电流元受力方向竖直向上。方向垂直于I2，竖直向上。电流元所受安培力大小为：例题2、有一段弯曲导线ab

通有电流I，求此导线在如图所示均匀磁场中受的力？该力的方向垂直于纸面向外。均匀磁场中载流曲线导线所受的力结论1：均匀磁场中载流曲线导线所受的安培力，等于电流从起点流到终点的直线导线所受的安培力。结论2：均匀磁场中任意闭合载流导线所受安培力的合力为零。例3：在均匀磁场中，放置一半径为R、所通电流为I的半圆形导线，求载流导线所受的Ampere力。解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电流受到的Ampere力相当于沿直径电流受到的安培力。⊙电流

I1在电流

I2处所产生的磁场为：问题：两平行无限长直载流导线，相距为a

求：单位长度线段所受的磁力。导线2上电流元I2

dl2受力的大小为:aI2二、平行载流直导线间的相互作用导线2上单位长度导线所受的磁力为:1Bv§11.6载流导线在磁场中受到的磁力矩一、定轴转动磁力矩的一般计算

电流元对转轴的磁力矩为:根据叠加原理，一根导线在磁场中对转轴的力矩可以表示成为:

载流导线如果可以转动，我们就要考虑安培力的力矩，即磁力矩的计算，为了简单起见，下面我们只考虑定轴转动的情况。

转动平面磁力矩的大小为:例题1、有一半圆形导线ab置于均匀磁场B中，B与导线平面平行，设转轴cc’与导线圆心的距离为d，试求出导线所受到的对