工程随机数学

工程随机数学第一页，共三十三页，2022年，8月28日第八章假设检验关键词：

假设检验 正态总体参数假设检验

第二页，共三十三页，2022年，8月28日§1假设检验基本概念假设：对总体的概率特征（分布或参数）作出某种陈述，假设其可能正确或不正确假设检验：根据样本提供的信息，检验关于总体的概率特征的各种统计假设参数假设检验：检验关于总体的某种参数的假设，条件：总体分布已知非参数假设检验：检验实际分布与理论分布一致性的假设第三页，共三十三页，2022年，8月28日

例1

外地一良种小麦，667m2产量(单位：kg)服从正态分布N(400,252)，引入本地试种，收获时任取n=5块地，测得其667m2产量分别为400、425、390、450、410，假定引种后667m2产量X也服从正态分布，试问：（1）若方差不变，即X~N(,252)

，本地平均产量

与原产地的平均产量

0=400kg有无显著变化？（2）若X~N(,252)

，本地平均产量是否比原产地平均产量高（或低）？（3）本地引种后，667m2产量的波动情况与原产地667m2产量的波动情况有无显著不同？

第四页，共三十三页，2022年，8月28日例2

检查200箱食品，用X表示一箱食品中变质食品的数量（单位：包），n表示有X包变质食品的箱数，检验结果如下：X01234n132432032试问变质食品包数X是否服从泊松分布？第五页，共三十三页，2022年，8月28日假设检验的基本思想

在总体的分布参数未知情况下，为了推断总体的某些性质，提出某些关于总体分布参数的假设，并根据样本对所提假设作出判断：接受/拒绝1）根据实际问题对总体的某些参数提出假设；2）利用实测样本，通过一定手续对此假设进行检验；3）判断合理性，做出接受或拒绝的决定检验方法：带有概率特征的反证法。

第六页，共三十三页，2022年，8月28日

例1中，三个问题的假设分别表示为：

(1)H0：μ=μ0(=400)；H1：μ≠μ0(=400)(2)H0：μ=μ0(=400)；H1：μ>μ0(=400)

H0：μ=μ0(=400)；H1：μ<μ0(=400)(3)H0：2=02(=252)；H1：2≠02(=252)

例2的假设则可表示为：

H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布.

[1]假设第七页，共三十三页，2022年，8月28日[1]假设例3：一批枪弹，其初速度V～N（0，02），其中0，0为已知值，经过较长时间储存后，是否仍旧=0，=0，则和就是假设,记为H:=0，H:=0，例4：按规定，产品的废品率≤3%方可出厂，现从一大批中任取十件，发现其中三件废品，问这批产品是否可以出厂。则假设P≤3%，记为H:P≤3%第八页，共三十三页，2022年，8月28日[1]假设简单备择假设：

假定关于随机变量X有两个统计假设

H0和H1，且已知H0和H1必居其一，也称为择一假设，H0:为原（零）假设，

H1:

为备择假设例如：H0

：=0，H1：≠0H0

：p

=0.03，H1：p

＞

0.03注意：H0和H1

在假设检验中所承担的作用是不对称的！第九页，共三十三页，2022年，8月28日[1]假设复合备择假设：若H0

：=0，H1：＜

0，或H1：＞

0，称为双边备择假设→单边检验显著性假设检验：

只提出一个假设，统计检验的目的仅仅是为了判断假设是否成立而不研究其它假设。此时，直接取假设为零假设。第十页，共三十三页，2022年，8月28日[2]依据假设检验的理论基础：

实际推断原理⇒概率意义上的反证法如例2：设：A={抽取10件，其中3件废品}H0：P≤3%P{A/H0}=C1030.0330.977=0.0026根据实际推断原理，由假设推出的结论与实际结果相矛盾，可认为原假设不成立。第十一页，共三十三页，2022年，8月28日[3]风险▲

小概率事件≠不可能事件▲推翻或接受原假设有可能犯错误▲犯错误的概率很小两类错误（1）弃真：原假设正确，因为小概率事件发生而未被接受

——以真当假（2）存伪：原假设错误，因为小概率事件未发生而被接受

——以假当真第十二页，共三十三页，2022年，8月28日[3]风险犯第一类错误的概率为：犯第二类错误的概率为：讨论：1）对每个假设都有两个判断结论：接受或拒绝对每个结论都有两个可能：正确或错误2）当n确定时，与不能同时减少，一个小另一个必然大一般总是控制3）两类错误的影响不一样4）H0的提出常有先验知识，没有充分理由不能轻易推翻第十三页，共三十三页，2022年，8月28日[4]检验标准检验标准—显著性水平直观意义：

把概率不超过

的时间当作再一次实验中不会发生的小概率事件。当选定

后，若小概率事件没有发生，则说明原假设是成立的。换言之：在H0

为真的条件下，当出现矛盾的结果时，认为原假设H0

不正确的概率不会超过第十四页，共三十三页，2022年，8月28日[4]检验标准关于1）控制，使之不超过给定的正数，且使尽量小，是建立检验法的原则2）

的大小视具体而定，不同的

有不同的结果3）假设检验结果与和n有关4）拒绝原假设的区域称为拒绝域，其边界点称为临近点反之称为接受域5）值越大，拒绝域越大第十五页，共三十三页，2022年，8月28日[5]检验统计量满足：1）在零假设条件下，其总体分布已知2）含待检测的估计量3）计算中各项均为已知，或根据样本可计算出4）在给定

后能查出其分位点5）用相应的样本统计量判断相应的未知参数第十六页，共三十三页，2022年，8月28日[6]检验统计的一般步骤1）根据问题建立假设2）选择检验统计量3）定临界点，求拒绝域4）计算检验统计量的数值5）统计决策：拒绝/接受第十七页，共三十三页，2022年，8月28日§2正态总体均值的假设检验（一）单个正态总体均值的假设检验2已知（U检验法）

设容量为n，对进行显著性检验1）假设：H0

：=0，H1：≠02）选择统计量3）定临界点求拒绝域设

=0.05，则有拒绝域为

表示和0在此区域的差异显著第十八页，共三十三页，2022年，8月28日查表：4）计算数值利用样本，求出而2，n已知,由此计算出5）统计决策若若第十九页，共三十三页，2022年，8月28日第二十页，共三十三页，2022年，8月28日关于的双边检验问题H0

：=0，H1：≠0第二十一页，共三十三页，2022年，8月28日如何求出k值第二十二页，共三十三页，2022年，8月28日关于的单边检验问题

H0

：=0

H1：＜0现在考虑，H0

：≥0

H1：＜0当=0

H0

的拒绝域为D=（-∞，-Z）当>0因为>0

为求出H0的拒绝域，只需对(1)求出一个小概率事件为此先求出的一个小概率事件当此小概率事件成立，则(1)也成立第二十三页，共三十三页，2022年，8月28日命题：对于正态总体参数的单边检验，将H0中的“=”

换成“≥”或“≤”，原假设的拒绝域不变。第二十四页，共三十三页，2022年，8月28日（一）单个正态总体均值的假设检验

2.2未知（t检验法）由于未知，注意到S是的无偏估计，选取统计量对于双边检验H0

：=0，H1：≠0则有由此定拒绝域第二十五页，共三十三页，2022年，8月28日（二）两个正态总体均值差的假设检验设X~N(1,12),Y~N(2,22)，X与Y独立1

、2未知，1

=2=

2，检验H0：1=

2，H1：1

≠

2，或1

-

2>0方法：利用样本均值差第二十六页，共三十三页，2022年，8月28日1

、2未知时，

1

=2=

2选取统计量（因为S2是2的无偏估计）第二十七页，共三十三页，2022年，8月28日注意（1）尽管方差未知，但要求两个方差相等，否则要进行方差齐性检验（2）t检验法适用于二总体相互独立情形第二十八页，共三十三页，2022年，8月28日§3正态总体方差的假设检验（一）单个总体方差的检验——

2检验法1）未知H0：

2=

02

H1：

2≠

02选取统计量拒绝域为曲线两侧第二十九页，共三十三页，2022年，8月28日2）已知选取统计量3）未知，2单边检验右边检验H0：2

≤

02

H1：2

＞

02拒绝域左边检验H0：2

≥

02

H1：2<

02拒绝域：第三十页，共三十三页，2022年，8月28日二、两个正态总体方差齐性的检验——F检验设

X~N(1,12),Y~N(2,22)，X与Y独立

1,12、

2,22均未知