第8章 组合变形

第八章组合变形时的强度计算

§8-1概述一、组合变形的概念1.组合变形：构件发生两种或两种以上基本变形的变形形式。水闸qPhg2.分类------①斜弯曲(两个平面弯曲的组合)②拉伸(或压缩)与弯曲的组合

③扭转与弯曲的组合

④扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合注:含弯曲的组合变形，一般以弯曲变形为主，不考虑剪切变形,其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲切应力。④根据材料和危险点的应力状态选用合适的强度准则，建立强度条件，进行强度计算。1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起的变形和内力不受彼此影响，可采用代数相加。二、基本解法(叠加法)2.基本分析步骤：①外力分析：分解或简化外力，使每一组力只产生一种基本变形，确定构件的变形形式。②内力分析分别计算各基本变形下的内力，绘制内力图，确定危险截面。③应力分析i.分析各基本变形的危险截面上的应力分布，确定危险点。将各基本变形危险点处应力进行叠加;ii.对危险点进行应力状态分析求出主应力（包括确定截面的几何性质）(s1≥s2≥s3)1.平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。2.斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称面内同时受横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向对称面内发生对称弯曲。杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与横向外力不共面。该弯曲称为斜弯曲。§8-2斜弯曲(skewbending)FqFAFB纵向对称面3.斜弯曲梁分析(二）梁任意横截面上的内力分析斜弯曲内力：My

=P1x；Mz=P2(x-a)。(一)外力分析梁发生斜弯曲

以图示椭圆截面悬臂梁为例，说明斜弯曲强度的计算方法。y、z轴为形心主惯性轴。(三)梁任意横截面上的应力分析

截面m—m上任意点C(y,z)的正应力为：

式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩；My和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩。在具体计算中，可不考虑弯矩My、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况，来判断上式右边两项的正负号。(四)横截面上中性轴方程

为确定横截面上最大正应力点的位置，应先求截面上的中性轴位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴的方程为：

由上式可见，梁发生斜弯曲时中性轴是一条通过横截面形心的直线。它与y轴的夹角θ为：

公式中角度

是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角.

横截面上合成弯矩M为：

讨论：（1）一般情况下，截面的IzIy,故中性轴与合成弯矩M所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。（2）对于圆形、正方形等Iy=Iz

的截面，有

=

，中性轴和合成弯矩M垂直，梁发生平面弯曲，正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算。(这样的截面不可能发生斜弯曲)(五)强度分析

在确定中性轴的位置后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面周边相切于D1、D2两点，该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。是危险点。

对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，而无需定出其中性轴。

在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处是单轴应力状态，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。至于横截面上的剪应力，一般因其数值都比较小，故在强度计算中可不必考虑。【例8-1】矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示。试确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。若将截面改为直径D=50mm的圆形，试确定危险点位置，并计算最大正应力。解:(1)外力分析此梁在P1力作用下将在XOY

平面内发生平面弯曲，在P2

力作用下将在XOZ

平面内发生平面弯曲,故此梁的变形为两个平面弯曲的组合—斜弯曲。内力分析分别绘出MZ(x)和MY(x)图，两个平面内的最大弯矩都发生在固定端A截面上，其值为MZ=1kN.m；MY=1kN.m由图中可以看出，A截面为梁的危险截面。（3）应力分析弯距MZ

引起的正应力的分布图弯距My引起的正应力的分布图（4）危险点应力（5）分析与讨论若将截面改为直径D=50mm的圆形，则截面的惯性矩梁将发生平面弯曲。危险点是e、f两点。合成弯矩为：小结1、两相互垂直平面内的弯曲又称作斜弯曲。其受力特征是：中性轴与外力所在平面不垂直；变形特征是：挠曲线与外力不共面。3、正应力计算公式

，4、强度计算

max[]2、中性轴方程§8-3拉伸(压缩)与弯曲

组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力,还有横向力，杆将发生拉伸(压缩)与弯曲组合。以上图为例分析拉弯组合变形构件横截面上的正应力：1.轴力跨中截面是杆的危险截面,弯矩：2.与轴力对应的拉伸正应力

与弯矩对应的最大弯曲正应力

杆危险截面下边缘各点处的上的拉应力为：内力分析应力分析＋可能有3种结果拉或压与弯曲组合变形时，横截面上的中性轴不过横截面形心。四.强度条件

由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态，故其强度条件为：

当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、压强度条件。【例8-2】悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积A=35.5cm2，总荷载P=34kN，横梁材料的许用应力[]=12.5MPa。校核横梁AB的强度。解:(1)外力分析

AB的受力分析如图示：NAB=PRA=0.5PHA=0.866P所以

可知：AB发生平面弯曲与压缩的组合变形(2)内力分析轴力：0.866P;最大弯矩：0.6P可知：中间截面为危险截面。(3)应力分析最大压应力发生在该截面的上边缘。压缩正应力最大弯曲正应力强度校核所以，强度满足要求偏心拉伸（压缩)与截面核心

一.偏心拉伸（压缩）

1.定义：作用在直杆上的外力，当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将同时引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。2.举例以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力F为例.偏心距为e，作用点坐标为（zp，yp）。(1)将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶)只产生一种基本变形形式。F

使杆发生拉伸变形;my

使杆发生XZ平面内的平面弯曲变形（y为中性轴);mz使杆发生XY平面内的平面弯曲变形（z为中性轴），故杆件发生拉伸与弯曲的组合变形。轴向拉力：F；两附加力偶：my，mz：(2)任意横截面n-n上的内力分析轴力FN=F，弯矩(3)任意横截面n-n上C点的应力分析由FN产生的正应力由my

产生的正应力由mz

产生的正应力假设C点在第一象限内,根据杆件的变形可知,

均为拉应力，由叠加原理，即得C点处的正应力为：任意横截面n-n上的C点的正应力为式中：A为横截面面积；Iy,Iz

分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩。式中：iy,iz

分别为横截面对y轴和z轴的惯性半径。c所以(4)中性轴的确定

上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律变化。应力平面与横截面的交线（直线

=0）就是中性轴。令y0,z0

代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程。讨论:（ⅰ）在偏心拉伸（压缩）情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。（ⅱ）用

ay

和az

记中性轴在y,z两轴上的截距，则有（ⅲ）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。（ⅳ）中性轴将横截面上的应力区域分为拉应力区域和压应力区域。横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1,D2

两切点。（ⅴ）对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定。例如：横截面是矩形截面时，与各内力分量相对应的正应力变化规律分别如上图所示。最大拉应力

t,max

和最大压应力

c,min分别在截面的棱角处。无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可。

由于危险点处仍为单轴应力状态，因此，求得最大正应力后，建立的强度条件为(5)强度条件【例8-3】下图所示为一夹具。在夹紧零件时,夹具受到的外力为P=2kN。已知：外力作用线与夹具竖杆轴线间的距离为

e=60mm，竖杆横截面的尺寸为b=10mm，h=22mm,材料许用应力[]=170MPa。试校核此夹具竖杆的强度。解:(1)外力P向竖杆轴线平移，如图。可知竖杆发生拉弯组合变形。(2)竖杆任一横截面n-n上的内力轴力，弯矩(3)强度分析

竖杆的危险点在横截面的内侧边缘处，该处对应与轴力和弯矩的正应力同号，都是拉应力。危险点处的正应力为所以强度是安全【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合，P2作用在y轴上。已知，P1=P2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。解：1、将力P2向截面形心简化，梁上的外力有轴向压力：力偶矩2、轴力产生压应力：弯矩产生的最大正应力3、横截面上不产生拉应力的条件为解得：e=10cm二.截面核心由公式：；其中：为外力作用点的坐标

为中性轴的截距

由上式可知，力F的作用点越靠近坐标原点，中性轴离坐标原点越远。当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图形上将只有拉应力或只有压应力。

当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面，这个区域就称为截面核心。当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。1、截面核心定义2、作截面核心步骤：（1）作截面周边的任一切线①，将其看作中性轴，它在y,z

两个形心主惯性轴上的截距分别为和（2）

根据和可求得对应的外力作用点1，亦即截面核心边界上一个点的坐标（3）同理，分别作切线②、③、等，求得对应的截面核心边界上点

2、3、

等点的坐标。（4）连接1、2、3、

等点，得到的一条封闭曲线，该曲线所含面积，即为截面核心。结论：I、与z轴平行的中性轴所对应的外力作用点一定在y轴上。与y轴平行的中性轴所对应的外力作用点一定在z轴上。II、设B点的坐标为是这一系列中性轴所共有的，将其代入中性轴方程得：这是表示外力作用点坐标的直线方程。当中性轴绕B点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连结点1，2的直线。3、矩形截面的截面核心确定（1）作切线①，得两截距分别为矩形截面的对应的核心边界上点1的坐标为（2）分别作中性轴②、③、④，对应的截面核心边界上的点2、3、4的坐标依次为：

中性轴①绕B点到中性轴②。因此，相应的外力作用点的轨迹是一条连结点1、2的直线。同理，将1、2、3、4点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心。结论：I、对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心II、对于周边有凹进部分的截面（如T字形截面），不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线穿过横截面截面核心边界是一个以

o为圆心，以为半径的圆圆截面的截面核心【例8-5】试确定图示T字形截面的截面核心。图中y,z

两轴为截面的形心主惯性轴。（1）求截面的有关几何性质

（2）列表求出各值中性轴编号对应的截面核心边界上的点中性轴的截距（m）核心边界上点的坐标值(m)①10.45-0.1020②2-0.400.2③3-0.450.1020④4-0.451.080.102-0.074⑤50.60-0.133⑥60.451.08-0.102-0.074研究对象：圆截面杆受力特点：杆件同时承受外力偶矩和横向力作用。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。研究内容：杆件发生扭转和弯曲组合变形时的强度计算。§8–4扭转与弯曲1.外力分析

设一直径为

d

的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂，受力P作用。分析圆杆AB的强度。

将力P

向

AB杆右端截面的形心B简化得横向力P（引起平面弯曲），力偶矩m=Pa（引起扭转）。故AB杆发生弯扭组合变形。2.研究AB杆的内力画内力图如图示，可知固定端为危险截面。3.应力分析

危险截面上的最大弯曲正应力

发生在铅垂直径的上、下两端点C1

、C2

处。最大扭转剪应力

发生在截面周边上的各点处。危险点为C1

和C2。

对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的。可取任一点C1

来研究。C1

点处于平面应力状态如图，为平面复杂应力状态。：4.强度分析（1）主应力计算

（2）相当应力计算第三强度理论,

第四强度理论

（3）强度计算

讨论：

，

该公式适用于图示的平面应力状态。1.

是横截面上危险点的正应力，是横截面上危险点的切应力。且横截面不限于圆形截面。