第4章正弦交流电

第4章正弦交流电路和相量法知识点正弦交流电的三要素相量法的基本概念基尔霍夫定律的相量形式元件伏安关系的相量形式阻抗、导纳与二端网络的性质正弦电路的分析及功率的计算重点和难点正弦交流电的基本概念、基本规律用相量法分析和计算正弦交流电路要求理解在正弦电源作用下，交流电路的基本概念、基本规律。能够用相量法分析和计算正弦交流电路的电压、电流、功率和能量。相量法分析和计算正弦交流电路。第3节基尔霍夫定律的相量形式★第4节三种基本元件伏安关系的相量形式★第5节阻抗、导纳与串并联电路★第6节正弦电路的相量分析与计算★第7节正弦电路的功率★第1节正弦交流的基本概念★第2节相量法★第1节正弦交流的基本概念★

一、正弦交流电的三要素

直流电路中，电路的基本特点是电压、电流大小和方向不随时间变化。但是，在许多实际情况下，电路中的电压、电流大小和方向都随时间变化。如图所示。图(a)波形的大小随时间无规则变化；图(b)波形在大小和方向上都随时间无规则变化；图(c)，(d)波形大小和方向都随时间进行周期性变化，并且在一个周期内平均值为零，这种波形称为交流电。图(d)称为正弦交流电。

正弦交流电可用正弦函数表示，也可用余弦函数表示。图(a)用正弦函数描述为

图中采用两种横坐标ωt和t，以资比较。两者差别仅在ω，ω称为角频率，定义为弧度/秒(rad/s)。当时间由t=0变化到T时，相角相当于变化2π个弧度，故得

2π=ωT,即

T称为周期，单位为秒(s)。T的倒数f称为频率，单位为赫兹Hz，即

一般情况坐标起点不一定恰好选在正弦交流波形由负到正的过零处，坐标起点不同函数表达式不同。波形的过零处（由负到正）发生在坐标起点之前，也可以发生在坐标起点之后。如图所示。正弦交流电的三要素：一个正弦量应该由三个参数确定，即：最大值、频率和初相角。其中ω又可表示为

两个同频率正弦量相位之差可概括为以下五种情况（如图）(1)超前(2)滞后(3)同相(4)反相(5)正交

二、正弦交流电的相位差和有效值

1．相位差

在对若干个同频率的正弦量进行分析计算时，常常关心它们之间的相位之差，即所谓超前、滞后、同相、反相和正交的概念。以两个正弦电压为例加以说明，设有所谓相位差是指两个同频率正弦量的相位角之差，即结论：两个同频率正弦量的相位差等于其初相角之差。当直流电流I通过另一电阻R，同样的时间T内消耗的电能为，即

2.有效值

设有两个相同的电阻R，分别通过周期电流i和直流电流I，如图4-4当周期电流i通过电阻R时，在一个周期T内所消耗的电能为，即当直流电流I通过另一电阻R，同样的时间T内消耗的电能为，即如果W1=W2,则规定这个直流电流I为周期电流i的有效值。可求得（上式为有效值定义式，又称方均根值。适用于任何周期性电流、电压波形。）设代入得类似地有引入有效值后，正弦电压还可写作第2节相量法★一、复数和复数的四则运算1.复数如果一个数包含实数和虚数两个部分，则这个数称为复数。其中称为虚数单位。例如复数n个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加或相减。例如：2.复数的直角坐标形式和加减运算设有一复数A，a1和a2分别表示A的实部和虚部，则A=a1+ja2称为复数的直角坐标形式。如图所示。3.复数的极坐标形式和乘除运算直角坐标形式的复数还可以用极坐标参数(a,θ)表示，即

直角坐标形式转换为极坐标形式极坐标形式转换为直角坐标形式【例4-1】将下列两个复数分别进行两种复数形式的相互转换。(1)(2)

解题(1)复数转换为直角坐标形式，运用式(4-12)得

题(2)的复数转换为极坐标形式，运用式(4-15)得注意：求辐角θ时，要把a1和a2的符号分别留在分子、分母内，以便正确判断θ所在的象限。本例实部是+4，虚部为-3，故θ应在第4象限。即A=4－j3=5∠－36.9°【例4-2】已知A=2.78+j9.2=9.6∠73.2°

B=–5+j12=13∠112.6,计算

解二、相量法的基本概念

1.正弦量的相量表示根据欧拉公式令θ=ωt得到（该式将复指数函数和正弦函数联系一起。）Re表示取复指数函数的实部，Im表示取复指数函数的虚部，则故正弦电压可表示为其中将这种能够表征正弦电量有效值和初相的复数称为相量。结论：只要给定正弦函数的角频率ω，就可以用复数完全确定相应的正弦函数。称为振幅相量或最大值相量，称为有效值相量，两者之间差倍。将两式对照注意：正弦量并非是复数，所以相量不等于正弦量，相量只能表征或代表正弦量，例如2.相量图

相量是复数，我们把相量在复平面上的图示称为相量图。

相量（复数）在复平面上进行的加减运算符合平行四边形法则，如图所示。相量分别构成平行四边形的两个边，相量则是对角线。(平行四边形法则)

相量图不但可以反映相量模的相对大小，而且可以反映相量间相位关系。从相量图中可知超前的角度为例如：某电流某电压对应的相量分别为相量图(1)反映相量模的相对大小

(2)反映相量间相位关系3.用相量求同频正弦量的和

两个或多个同频正弦量的相加或相减，如果直接用三角函数运算，显然十分复杂。引入相量后将会变得十分简便。

关于多个同频正弦量求和问题，在理论上有两个可以遵循的基本规律：（1）任意个频率相同的正弦量的代数和，仍为一同频率的正弦量。（2）如果若干个同频率正弦量的代数和为零，则各正弦量所对应的相量的代数和也为零。即若有正弦量

，则相量为第3节基尔霍夫定律的相量形式★

基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，同样适用于正弦交流电路，即

表明，在正弦交流电路中，流出节点的电流相量代数和恒为零；在正弦交流电路中，沿任一闭合回路的电压降相量的代数和恒为零。注意：正弦电流、电压的有效值一般不满足基尔霍夫定律，即根据正弦量求和问题的基本规律，可知相量形式基尔霍夫定律也成立，即【例4-3】已知节点电流的工作频率为50Hz，i1的有效值为50mA,初相角为-30°,

i2的有效值为100mA,初相角为150°，求i3的瞬时表达式，并画出相量图。其中I3=50mA显然解根据KCL得正弦电流为相量图如图所示。【例4-4】已知电压

求，并画出向量图。

解：

根据KVL得正弦电压为其中显然相量图如图所示。第4节三种基本元件伏安关系的

相量形式★

一、电阻

1.电流与电压的关系设流过电阻R的正弦电流为选定关联参考方向,根据欧姆定律有可见，在正弦交流电路中，电阻元件的电流与电压是同频率的正弦波。u(t)的表达式通常记为比较以上两式得结论：电阻元件电压、电流有效值仍符合欧姆定律，且U、I同相位设θu=θi，可画出电压、电流波形如图所示。()

如果将式结合在一起，可写出相量的关系式，即

上式称为电阻元件相量形式的欧姆定律。它全面反映了电阻元件正弦电压、电流有效值关系及相位关系。相位关系用相量图表示如图所示。2.在电阻中消耗的功率

任何瞬时，施加在电阻电压和流过电阻上的电流的乘积称为瞬时功率。记为代入整理并化简得

瞬时功率P(t)是以二倍于电压或电流的频率而周期变化，并且其值大于零，表明电阻总是消耗功率。波形如图中实线所示。

瞬时功率随时间不断变化，一般没有实际意义。通常利用它在一个周期内的平均值P来衡量交流电功率的大小。P称为平均功率或有功功率，即单位：焦耳(J)。工程中通常用千瓦小时(KW.h)表示，将额定功率为1千瓦的电气设备经过1小时所消耗的电能量，简称为度。在电力系统中，经常要检测电阻在一段时间内所消耗的电能量，即经积分得【例4-5】有一幢五层建筑，每层20个房间，每间装有220V，60W白炽灯两盏，每天使用4小时。改用40W日光灯后，每房间只需要一盏。问每月节省多少电能?每月按30天计算。解

用白炽灯时，每月消耗电能改装日光灯后每月节省电能为二、电感

1．电流与电压的关系设流过电感L的电流为根据伏安关系得(在正弦交流电路中，电感的电压与电流是同频率的正弦波)u(t)的表达式通常记为

两式相比较得将它们结合一起，可写出相量形式的伏安关系为（乘数j又称为旋转因子，它表示一个+90°角，表明电感电压相位超前电流90°）(1)当在电感中通过正弦电流时，其端电压亦为同频正弦电压，但电压的相位超前于电流90°。(2)电压、电流的有效值关系不仅与L有关，而且与角频率ω有关。当L值一定时，对一定的I来说，ω越高则U越大；ω越低U越小。当ω=0(相当于电感通以直流电流)时，U=0，电感相当于短路。正弦电压、电流相位关系，如图(a)(b)所示。重要结论：表明了两个信息。2．电感的功率和磁场能量设流过电感的电流为在关联参考方向下电感电压为因此，电感的瞬时功率为瞬时功率的波形如图中实线所示。电感储存的磁场瞬时能量为

电感储存磁场能量的平均值为平均功率为（电感不消耗功率）

（电感是储能元件）

上式表明，电感的无功功率等于其吸收能量平均值的2ω倍。储能越多，能量每秒往返的次数越多，交换的规模也越大。

电感吸收能量又释放能量，表明电感不断在与外电路(电源)进行能量交换。为了衡量这种能量交换的规模，引入电感的无功功率。电感瞬时功率的最大值定义为无功功率，用Q表示，即无功功率的单位用乏(var)表示。★【例4-6】已知某电感L=40mH,电源电压为

，求在关联参考方向下的

i(t),Q(t)和WL(t)，以及当电源频率提高一倍时它们是多大?

解电源频率为时，由电感元件相量形式的伏安关系式得故无功功率为平均储能电源频率为

(角频率由ω=

314rad/s变为ω=628rad/s）三、电容

设施加在电容两端的电压为

选定电流与电压为关联参考方向。根据伏安关系

（在正弦电路中，电容的电压和电流为同频率的正弦波）与i(t)的表达式则相比较得1．电流与电压的关系类似于电感的伏安关系，可以证明当在这里再一次看到有效值关系及相位关系为即（+j表示+90°，表明电容电流在相位上超前电压90°）则电容元件相量形式的伏安关系为为便于分析问题，可画出正弦电压、电流波形图及相量图如图

所示。

重要结论：

表明了两个信息。（1）当在电容两端施加正弦电压时，其流过的电流亦为同频正弦电流，但电流的相位超前于电压90°。（2）电压、电流有效值关系不仅与C有关，而且与角频率ω有关。当C值一定时，对一定的U来说，ω越高则I越大；ω越低I越小。当ω=0(相当于直流电流)时，I=0,电容相当于开路，因此，电容具有隔直通交作用。2.电容的功率和电场能量

与电感元件相同，电容元件的瞬时功率为与电感相同，电容也是储能元件，储存的电场瞬时能量为

储存的电场平均能量为

电容元件虽然没有能量消耗，但同样存在与外电路(电源)的能量交换。如同衡量电感能量交换规模一样，引入电容的无功功率QC

,即

说明：电容是储存电场能的元件；电感是贮存磁能的元件。两者所涉及的储能性质不同，为了加以区分，人为地将电感的无功功率和电容的无功功率确定为一种为正，另一种为负。按通常的规定，取QL

为正,QC为负。点击查看QL

【例4-7】电路如图，，求电流i

及无功功率QL、QC，并画出相量图。

由相量形式的KCL得因此解由C元件相量形式伏安关系得由L元件相量形式伏安关系得电容的无功功率为根据电压、电流相量画出相量图如图所示。电感的无功功率为第5节阻抗、导纳与串并联电路★一、阻抗与导纳R、L、C三种元件相量形式的伏安关系为阻抗用Z表示，定义为R、L、C三种元件阻抗分别记为其中XL、XC分别称为感抗和容抗。XL=ωL,XC=–1/ωC导纳用Y表示，定义为单位为西门子。R、L、C三种元件导纳分别为其中BL、BC分别称为感纳和容纳。BL=―1/ωL

,

BC=ωC二、用相量法分析无源二端网络的等效阻抗

相量模型——在正弦交流电路分析中用

替代i(t),u(t)；用ZR,ZL,ZC或YR,YL,YC替代R，L，C的电路模型。

建立相量模型后直流电路中使用的公式和分析方法也可以应用到正弦电路中。以此推论，n个阻抗串联的等效阻抗为n个导纳并联的等效导纳为两个阻抗并联的等效阻抗为n个阻抗串联分压公式为n个导纳并联分流公式为两个阻抗并联分流公式为解：首先将图(a)转换为相量模型(b)。(1)对应时等效阻抗为(2)对应时等效阻抗为【例4-8】RLC串联电路如图(a)，外施正弦电压角频率

求电路等效阻抗Z。若电源角频率改为，再求阻抗Z。【例4-9】电路如图，，求二端电路等效导纳及各支路电流。解首先求出电阻电感支路及电容支路的等效导纳Y1和Y2。则二端电路的等效导纳为端钮电压为支路电流为【例4-10】电路如图（a），求ab端的阻抗及端电压与端电流的有效值比和相位差。已知。解

首先将电路图转换为相量模型，如图（b）所示。利用阻抗的串并联公式得由阻抗的定义式，上式可写成端电压与端电流的有效值之比为51，相位差为11.31°概念：求取二端网络的阻抗有着重要的意义，通过阻抗的模和辐角可以获得二端网络更多的信息。（）无源二端网络的等效阻抗一般可以写成阻抗的模和辐角为1、θZ

=0，即θu=θi,电压、电流同相位，二端网络为纯R电路。2、θZ

=±90°，二端网络为纯电抗性电路。θZ=+90°，定有X>0,

且R=0。二端网络纯L电路；θZ=-90°，定有X<0,且R=0。二端网络纯C电路。

3、0<θZ

<90°

，定有X>0,

R>0。二端网络为L性电路。

4、当-90°<θZ

<0，定有X<0,

R>0。二端网络为C性电路。关于无源二端网络几点讨论：（例题4-10中θz=+

11.31°

表明电路为L性电路电路。）以RLC串联电路为例，列写的二端网络等效阻抗为

由上分析，电路参数R、L、C的改变，使θz改变

，二端网络将体现不同的电性质。事实上，二端网络的电性质不仅与电路参数有关，而且与电源施加的频率ω(f)有关。因为阻抗是频率的函数Z(ω)，因此，当施加于二端网络的电源频率改变时，网络所呈现的电性质同样会发生改变。例题4-8中ω=1000rad/s和ω=500rad/s时，Z=5+j3Ω和Z=5-j6Ω分别表明电路为L性电路和C性电路。说明：

若改变的电源频率ω,使ωL=1/ωC，即X=0，电路为纯R电路。若ωL>1/ωC,即X>0，电路为L性电路。若ωL<1/ωC，即X<0，电路为C性电路。

一般对任一无源二端网络可以用等效阻抗Z表示，也可以用等效导纳Y表示。于是就有两种结构不同的等效电路，即串联和并联形式。依据两种等效相量模型：

即若已知Z=R+jX，可变换为Y=G+jB。相当于用G和B并联代替R和X串联。同理，也可以进行相反的等效互换。【例4-11】电路如图，已知。试分别画出该电路的两元件并联及两元件串联的等效电路。解首先建立相量模型，由二端电路求得等效导纳为依据Y画出两元件并联等效电路如图所示。依据Z画出两元件串联等效电路如所示。

相量图作为电路分析辅助工具的两个作用：（a）能看出各电压、电流的相位关系，由此了解电路的电性质。（b）直接求出未知相量。

求取过程一般遵循以下步骤：（1）选择参考相量，令该相量的初相为零。通常串联电路选择电流相量为参考相量，并联电路选择电压相量为参考相量。（2）从参考相量出发，利用元件电压、电流的相位关系以及KCL、KVL定性画出其它相量。（3）利用相量图表示的几何关系，求出所需电压、电流相量。三、相量图在电路分析中的辅助作用【例4-12】电路如图所示，用相量图表明各电流相量关系。

所在支路既有电容又有电阻，超前，但不是90°。由于元件参数及频率不定，超前相位不定，但应画在第一象限。解电路为并联形式，选端口电压为参考相量，设。因为所在支路为纯电阻，故与同相位。由KCL知,可画出总电流相量图如图所示。【例4-13】电路如图所示，已知

，用相量图表明电流及各电压相量关系，并说明电路的电性质。解选电流作为参考相量，即设

。根据元件电压、电流的相位关系分别画出。根据KVL

画出电压相量。(由于电压U超前电流I,电路呈电感性)由于相位相反，在相量图上实际是UL–UC。【例4-14】电路如图，已知U=100V,I=5A,且超前于相位53.1°,求R和X。解法一：用计算方法求解。设，则二端电路的等效阻抗为等效导纳为其中解法二：用相量图方法求解。因为电路为并联形式，可选端口电压为参考相量，即设可求出根据元件电压、电流的相位关系以及KCL,可画出电流相量图如图所示。由相量图可知第6节正弦电路的相量分析与计算★正弦电路除了有简单的串、并联电路，同样有复杂电路。复杂正弦电路的分析计算仍然使用相量法。

先将电路转换为相量模型，在此基础上，根据相量形式的KCL、KVL及元件的相量形式伏安关系，仿照直流电阻电路的分析方法进行计算。可应用网孔法、节点法，叠加定理和戴维南定理等。通过分析计算，解出待求量的相量形式，最后再反变换为以为变量的正弦电压或正弦电流，从而使正弦电路的电压和电流得以解出。概念：解相量模型如右图。电路有三个网孔，由于理想电流源在电路外沿上，网孔电流为已知。只需列二个方程。【例4-15】电路如图所示，求iL(t)和iC(t)。解得由KCL得相应的正弦电流为整理后得【例4-16】图示电路是正弦波发生器中常用的RC移相电路。当RC参数改变或输入频率改变时，每经过一节RC，输入与输出之间就会产生一定的相位移动。列出节点1，2，3的节点电压方程。

解选择节点4为参考点，列出节点方程为由KVL得解

(1)拆除10Ω电阻，求开路电压。由弥尔曼定理求U。【例4-17】用戴维南定理求电路10Ω电阻支路的电流

注意:与电流源串联的3Ω电阻和-j10Ω阻抗不应出现在方程中()(2)画出求等效阻抗电路，求Z0。(3)用戴维南等效电路求电流。第7节正弦电路的功率★

本节将在R，L，C元件功率基础上，讨论由这些元件混联组成的二端网络的功率问题。为了分析方便，选定二端网络的电压、电流为关联参考方向，并假设电压u(t)超前电流i(t)角θ

，即1．瞬时功率根据功率的定义，电路的瞬时功率为分析见图一、二端网络平均功率和功率因数2.平均功率

取瞬时功率在一个周期内的平均值即为平均功率：

平均功率反映电路能量消耗的情况。二端网络的平均功率也可以根据能量守恒定律计算。因为电容、电感元件不消耗功率，所以电路的平均功率就等于电路中所有电阻上所消耗的功率之和，可表示为经积分后得其中RK是电路中某一电阻的阻值，IK则是通过该电阻中的正弦电流的有效值。该式称为平均功率守恒。通常在电工技术中，将COSθ称为功率因数。记为λ，即3．功率因数当负载P一定及供电电压U一定时，负载的λ越低，电源供给负载的电流I越大。结果：增加输电线损耗，线路压降增大，影响供电质量，对节能和充分利用电源的生产能力不利。为此，必需采取措施提高功率因数。

λ的大小取决于端电压与端电流的相位差θ,θ越小,

COSθ(λ)越大；θ=0电路为纯电阻电路，COSθ=1。但在工业设备中大都是感性负载，如电动机等，相位差θ≤90°,功率因数会很低。

在电力系统中多数负载为感性，一般采用在负载上并联电容方法进行补偿，使总的功率因数提高。提高功率因数的方法：

让负载中的磁场能量增减与电容中的电场能量增减部分地相互补偿，从而降低整个负载与电源间的能量交换；换言之，利用电容发出的无功功率QC去补偿负载所需的无功功QL。物理意义:【例4-18】有一台20KW交流电动机接在50Hz，380V电源上，交流电动机的等效电路可看作由R与L串联组成。在正常工作时其功率因数为0.5。试计算(1)线路电流；(2)当并联一电容C＝580μF时，求负载功率、线路电流和整个电路的功率因数。因为故解

(1)设则（可见线路电流为105A，且滞后端电压60°）(2)并上电容后由于电容元件的平均功率PC=0，并且不变，所以总功率不变，P=20kW。

并联电容后使整个电路的功率因数提高，同时线路电流减小。电路总电流为整个电路的功率因数为结论：(为清楚地看出并联电容后的补偿作用和功率因数的提高，可画出相量图如图所示。)（可见线路电流已由105A减少至56.9A，滞后相位也由60°减少为22.6°）二、二端网络的无功功率由R，L，C组成的二端网络同样存在与电源的能量交换。衡量这种能量交换的规模，用无功功率公式表示：

无功功率守恒公式

U，I为二端网络端电压、端电流有效值，角θ为端电压与端电流相位差。若二端网络无源时θ=θZ,上式同时包括了R，L，C单个元件的无功功率公式。QK中电感取正，电容取负。注意：该式与平均功率守恒式同为正弦交流电路功率分析的重要关系式。

它们构成的直角三角形称为功率三角形，如图所示。视在功率S、平均功率P和无功功率Q三者在数值上的关系：视在功率

定义为

U，I为二端网络的端电压、端电流的有效值。视在功率S表示交流电源设备的额定容量，它等于电源设备的额定电压与额定电流的乘积。视在功率的单位为伏安(VA)。【例4-19】电路如图，已知端电压有效值为220V，求各负载及全电路的P,Q,S和功率因数COSθ

。Z1的P1,Q1,S1及COSθ1，分别为解

等效阻抗为设端电压相量为由相量形式的欧姆定律得全电路的P,Q,S及COSθ分别为Z2的P2,Q2,S2及COSθ2分别为由Z2=10-j5，可得(1/ωC)=5，则

用电压相量、电流相量计算平均功率和无功功率，就是复功率。

在关联参考方向下，若二端网络的电压相量和电流相量分别为三、复功率(显然，复功率的实部是平均功率，虚部是无功功率，而的模是视在功率s。)我们将复数称为复功率，用表示。即则电流相量的共轭复数应记为【例4-20】施加于二端网络的电压

输入电流电压、电流为关联参考方

向，求电路的平均功率、无功功率和视在功率。由此可知解复功率为【例4-21】求图所示电路中电源向电路提供的平均功率、无功功率、视在功率及功率因数。解法一:利用各功率定义式计算。从电源两端看去的等效阻抗为则电源提供的电流为由解法一已求得阻抗为Z=(22-j6)Ω,其中电阻分量R=22Ω,电抗分量为。等效电路如图所示。解法二:利用二端网络的阻抗性质计算故解法三:利用复功率计算则由前面推出的结果可知小结1.正弦量的基本概念

正弦量是以时间t为变量，按正弦规律变化的周期函数。正弦量的三个基本要素：振幅、角频率和初相角。为了解元