小学奥数工程问题综合教学总结

在日常生活中，某一件事，制造某种产品，完某项任务，完成某项工程等等，要涉及到工作量工作效率、工作时间这三个量它们之间的基本数量关系是——工量工效率×时.在小学数学中，讨这三个数量之间关系的应用，我们都叫做“工程问题.举一个简单例.：一件工作，做15天完成乙做10天完.问两合作几天可以完成？一件工作看成1个体因此可以把工作算作1.谓工作效率就是单时间内完成的工作量，我用的时间单位是“天天是一个位，再根据基本数量系式，得到工作效率×工作=工作总量=6（）答：两人合作需天.这是工程问题中基本的问题，这一讲介绍的许例子都是从这一问题发展产生的为了计算整数化尽可能用整数进行计算第讲例3和例8所用法把工作量多设份额还上题10与15最小公倍数是30。全部工作量为30份，么每天完成2份，每天完成3份，两人合作所需数是:30÷（2+3）=6（天）如果用数计算，方.3：2.者说“工作量固定，作效率与时间成反比例甲、乙工作效率的比是1015=2∶3工程问题方法总一：基本数量关：工效×时间工总量二：基本特点：设工作总量为“1效时间三：基本方法：算术方法、比例法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做想。五：类型与方法：分做合想合假法抓变化比例),4.假设法。：等量代换：方组的解法→代入法，加减法。：按劳分配思路每人每天工效→每人工作量→比例分配：休息请假：方法：分：分工作量2.假设法：假设不休息。五：休息与周期1.已条件的顺序：①先工效，再周期，②先周，再天数。2..数：①近似天数，②准确天数。3.列确定工作天数。：交替与周期：算周期，注意顺序！：注水与周期1.顺序2.中原来是否有水3.满或溢出。：工效变化。：比例1.分与连比2.一思想3.正反例的运用，4.假设法思周期。十：牛吃草问题1.新生草量，原草量，解决问题。工程问题.知道了两者工作率之比，从比例角度考虑问题也需时间是因此，在下面例的讲述中，不完全采用通常教书把工作量设为整1的做法，而偏重于整数化或从例角度出”，也会使我们的解题思路更灵活一两个人的问题标题上说的两个人，可以是两个组、两个队等等的两个集.例1一工作，甲做9天可以完成，乙6可以完成。现在先做天，余下的作由乙继续完成乙需要做几天可以完成全部工？解一：把这件工看1甲每天可完成这工作的九分之一，天完成的1。乙每天可完成这工作的六分之一1-1/3）（天）答：乙需要4天可完成全部工解二：与的最小公倍数是1设全部工作量是8份甲每天成2份，乙每天完成3.乙完成余下工作需时间是（2×3）3=（天）解三：甲与乙的作效率之比是6∶9=2∶3.甲做了天，相当于乙做天乙完成余下工作所需时间（天.例2一工作，甲、乙两人合天可以完成，共同做6天后，甲离开了，由乙继续做了0天才完成如这件工作由甲或乙单独成各需要多少天？解：共做了天后，原来，甲做天，乙做天，现在，甲做天，乙40=（24+16天.这说明原来4天做的工作，可由乙做1天来代因此甲的工作效率如果乙独做，所时间是50如果甲独做，所时间是75答：甲或乙独做需时间分别5天和50天.例3某程先由甲独做63天，再由乙单2天即可完成如果由甲、乙两人合作，需8天完成现甲先单独做42，然后再由乙来单独完成，那乙还需要做多少天？解：先对比如下甲做63，乙28天甲做48，乙48.就知道甲少（要多做（天此得出甲的甲先单独做2天，比6天少做6（天当于乙要做因此，乙还要做56（天）答：乙还需要做56天.例4一工程，甲队单独1天完成，乙单独30完现在两合作，其间甲队休息了天休了存在两队同一天休息开始完工共用了多少天时间？解一：甲队单独8，乙队单独做天，共完成工作量余下的工作量是队共同合作的，需要的天数是11天.答：从开始到完共用1.解二：设全部工量3份甲每天完3，乙每天完份在队单独做天，乙队单独做天之后，还需两队合作（3×8-）（）=（天）.解三：甲队1天相当于乙队做3天在甲队单独做8天后，还余下甲队）（）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）乙队单独做天后，还余下（乙队（天）工作.4=3+1，其中3可由甲1天成，因此两队只需再合1.解四：方法：分休合想题中说甲乙两队没有在一起休，我们就假设他们在一起休息)甲队每天工作量1为因为甲休天乙休了天为8，所以我们假设甲息两天时，乙也在休息。那么开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这天内甲自完成了这项工程的1/10×6=6/10，下的工作量1-6/10=4/10而这剩下的4/10为乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需甲乙合作：天所以从开始到完工共需天）例5一工程，甲队单独做0天完成，乙队单独30完成现在他们两队一起，其间甲队休息3乙休息了干从开始到完成共1天问队休息了多少天？解一：如果6天两队都不休息可以完成的工作量是（×16+1÷30）×16=4/3由于两队休息期未做的工作量4/3-1=1/3乙队休息期间未的工作量是1/3-1/20×3=11/60乙队休息的天数11/60÷(1/30)=11/2答：乙队休息5半解二：设全部工量份甲每天完3份乙每天完成份两队休息期间未的工作量是（3+2×16-60=（因此乙休息天数（3×3）2=5.5（天）解三：甲队2天，相当于乙队3天甲队休3天，相当于乙队休天如果甲16天都不休息，只余下甲4工作量，相当于天工作量，休息天数是（）例6有、乙两项工作，张独完成甲工作要天，单独完成乙工作要天；李单独完成甲工作要天独完成乙工作20天.果每项工作都可以由人合作么这两项工作都完成最需要多少天？解：很明显，李甲工作的工作效率高，张做乙作的工作效率因此让李先做甲张先做乙设乙的工作量6份（150的最小公倍数每天完成份，李天完3份.8天李就能完成工作.此张还余下乙工作（60-4×8）.张、李合作需要（）（）=4（天）.（天）答：这两项工作完成最少需2天例7一工程，甲独做0天，乙独做需5天，如果两人合作，他要8天完成这项工程两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程工作量0份，甲每天完3，乙每天完份两人合作，共完0.8+2×（份.因为两人合作天要尽可能少，独做的应是工作率较高的.因为要在8天完成，所以两人合作的数是（）（4.2-3）（天）很明显，最后转鸡兔同笼型问题例8甲乙合作一件工作，由于合得好，甲的工作效率比单做时快如果这件工作始由甲一人单独来做，需要多少时？解：乙小时单独工作完的工作量是乙每小时完成的作量是两人合6小时，甲完成的工作量甲单独做时每小完成的工作量甲单独做这件工需要的时间是答：甲单独完成件工作需要3小时这一节的多数例都进行“整数化的处理但是整数化并不能使所有工程问题的计算简便例就是如此.也可以整数，当求出乙每有一点方便，但处不不必多此一多人的工程问题我们说的多人，少3个人，当然多人问要人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不.例9一工作，甲、乙两人作36完成，乙、丙两人4天完成，甲丙两人合作要0天完成问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作工作量甲、乙、丙三人作每天完成减去乙、丙两人天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做0完成例可以整数化，设全部工作量为1份，甲、乙合作天完成份，乙、丙合作天完成份，甲、丙合作每天完份请一试，计算是否会方便些例10一件作，甲独做天，乙独做天，丙独做24天这件工作由甲先做了若干天，然后由接着做，乙做的天数是甲做的数的，再由丙接着做，做的天数是乙做的天数2，终于做完了这工问总共用了多少？解：甲1天，乙就做天，丙就3（天.说明甲做了天，乙做了2（天做2×6=12(天人一共做了（）.答：完成这项工用天本题整数化会带计算上的方便.1218这三数有一易求出的最小公倍数7可设全部工作量72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成.总共用了例11一项工程甲乙丙三人合作要3完.如果丙休息2天乙就多天，或者由甲、乙两合1.问这项工程由甲独需要多少天？解2天的工作量当天的工作.丙的工作效率是乙工作效率÷2=2（倍甲、乙合天，与乙天一样也就是甲天，相当于天，甲的工效率是乙的工作效率的倍他们共同做天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需2天事实上，当我们出甲、乙、丙三人工作效率之∶∶，就知甲做1天，相当于乙、丙合作天三人合作需13，其中乙、丙两人完的工作量，可转化为甲再做3天来完成.

例12某项工作，甲组人天能完成工作，组4人天也能完成工作甲组人和乙组人合作多少时间完成这项工作？解一：设这项工的工作量是1.组每人每天能完组每人每天能完甲组2和乙组人天能完成答：合3天能完成这项工作.解二：甲组8天完成，因此人12能完成；乙组47天能完成，因此74天完成现在已不需顾及数，问题转化为：甲组独天，乙组独4，问合作几天完成小学算术要充分用给出数据的特殊性解是比例灵活运用典型，如果你心算较好，很快就能得答例13制作批零件车1天完成果甲间与乙车间一起做天就能完成乙车间与丙车间一起做，需天才能完现在三个车间一做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零个问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工量.甲每天比乙多完因此这批零件的数是丙车间制作的零数目是答：丙车间制作200个零件解二：106最小公倍数0.设制作零件全部作量0份.甲每天完成份，甲、乙一起每天完5份，由此得出乙每天完份乙、丙一起8天完成乙完（份完（份知乙、丙工作效率比∶∶已知甲、乙工作效率比是∶128.综合一起，甲、、丙三人工作效率之比是12∶∶当三个车间一起时，丙制作的零件个数是（）4200（个）14搬一个仓库的货物，甲小时，乙需小时，丙需15时.有同样的仓库A和B甲在A仓、乙在B仓库同时开始运货物，丙开始帮助甲搬运，中又转向帮助乙搬.最后两个仓库货同时搬问丙帮助甲、乙多少时间？解设搬一个仓库的货物的工作量.现在当于三人共同完成工作2所时间是答：丙帮助甲搬小时，帮助乙搬小时.解本题的关键，先算出三人共同搬运两个仓库时本题计算当也可以整数化，设搬运一个仓库部工作量为每小时搬运乙每小时搬运5，每小时搬运4.三人共同搬完，要60×）（小时甲需丙帮助搬运（6×）4=（小时.乙需丙帮助搬运（5×）÷4=（小时三、水管问题从数学的内容来，水管问题与工程问题是一样水的注水或排相当于一项工程，注水量或排量就是工作量单位时里的注水量或排水量就是工作效至于又有注入又有排出的问不是工作量有加有罢.因水管问与工程问题的解题思路基本相同

例15甲、两管同时打开9分钟能注满水现在，打开甲管10钟后打开乙管，经3钟就注满了水已知甲管比管每分钟多注0.6立方米水，这个池的容积是多少立米？解：甲每分钟注水量是×3）÷10=1/15乙每分钟注入水是因此水池容积是（（立方米）答：水池容积2立米.例16有一些水管，它们每分钟注水都相现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的，把开的水管增加一倍，就能按定时间注满水池，如果开始时就开根水管，中途不开水管，也能按预定时间注满问开始打开了几根水管？分析：增开水管，有原来倍的水管，注水时是预定时间的1-1/3=2/32/3是的倍，因此增水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。设水容量是1，前后两段时间注水量之比为1：4，那么预定时间1/3（即前一段时间的注水量/（）。10根水管同时打开按预定时间注满水根水管的注水量1预定时1，每根水官的注水要注满水池，需要水管1（根）解：前后两段时的注水量之比为：1：[（1-1/3）÷1/32]=1：4前段时间注水量：1÷（）=1/5每根水管在预定1/3时间注水量为：1÷1/3=1/30开始时打开水管数：1/51/30=6根）答：开始时打开6水管。例17蓄池有甲、丙两条水管，和乙、丁两条排水要灌满一水，单开甲管需3小，开丙管需要5小.排光一池水，单开乙管需要小丁管需要小时，现在水池内有六分之的水，如按甲、乙、丙、丁、、…的顺序轮流打开1小，问多少时间后水开始出水池？分析：，否则开甲管的程中水池里的水就会溢出.以后（20小中的水已有此题与广为流传青蛙爬”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬尺才能到达井口时它总是爬3尺下2尺问只青蛙要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时往上爬3-2=1（爬了27时后，它再爬1小时，往上爬3尺已到达井口因此，答案是28小，而不小时例18一蓄水池，每分钟入方米如果打开5个水头小时半就把水池水放空，如果打8个水头，1小时半就把水池水放.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水空？解：先计算水龙头每分钟放出水.2小半1小半多60分，流入水4×60=240（方米）.时间都用分钟作位个水龙头每分钟放水量是240÷（150-×90=（立方米8个龙1个小时放出的水量是8×8×，其中分钟内流入水量是×，因此原来水池中存有水8×8×90-490=5400（立方米）打开个水龙头每分钟可以放出水8×13除去每分钟流入4，其余将放出原的水，放空原存的，需要5400（×4（分钟答：打开13个头，放水池要54钟.水池中的水，有部分，原存有水与新流入的水就需要分开考虑，解本题的关键先求出池中原存的.这在题目中却是含着的.例19一水池，地下水从壁渗入池中，每小时渗入水是固定开A管时可将满池水排，打开C12小可将满池水排空如果打开AB两4小可将水排空问打开B，两，要几时才能将满池水排空？解：设满水池的量为1.A管每时排出A管时排出因此，B，两齐开，每小时排水量是B，两管齐开，排光满水池水，所需时间是答：B两齐开要小时48分才满池水排完本题也要分开考，水池原有水（满池）和渗入由于知具体数量，像工程问题不知工作量的具数量一.里把两种水量分别设“但两种量要避免混.事实上，也可以整数化，原有水设为与12最小公倍数24.17世英国伟的科学家牛顿写过一《普遍术书中提出了一“牛吃问题，这是一道有趣味的算术.从本质上讲，与例和例19是类同的题目涉及三种数量：原有草、长出的草、牛吃掉的这与原有水量、渗水量、水管排出的水量，是完全类同的例20有片牧场，场上草得一样密，而且长得一草头牛9星期吃第二片牧场的草.问多少头牛星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量一牛每星吃草量×牛数×期数.根这一计算公式，可设定一牛每星期吃草”作为草的计量单.原有草星期长的=原有草+9期新长的草=由此可得出，每期新长的草是（）（9-4那么原有草是（或者12×4-3×4）对第三片牧场来，原有草和18期新长出草的总量这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃个星.答：36头牛个星期能吃完第三片牧场的.例20与19的法有一点不一样.例把新具体地求出有的与新长的两种量统一起来计事实上，如例19再一个条件，例如打开管时可以将满池水排.也可以求“新的与原有之间数量关但仅仅是例所求，是不需要加这一好好想一想你能明白其中的道理吗？“牛吃草一类型问题可以以种各样的面目出现.限篇幅，我们只再一个例子例21画9点门，但早有排队等候入.第一个观众来到时起每分钟来的观众人数一样多.如果开3个场口，9分不再有排队，如果开