第四章摩擦问题

第四章摩擦

第一节工程中的摩擦问题现实生活中，绝对光滑的表面是不存在的，两物体之间具有相对运动或运动趋势时，接触面之间都有摩擦。特殊情况下，摩擦力可以不计。摩擦问题的两重性：有利：制动、传动、走路不利：产生阻力、消耗能量、降低效率

按照物体表面相对运动情况，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。滑动摩擦又分为：

动滑动摩擦：两接触面具有相对滑动。静滑动摩擦：两接触面具有相对滑动趋势。第七讲

第二节滑动摩擦1、定义：两个相互接触的物体，当它们之间产生了相对滑动或者有相对滑动的趋势，在接触面之间就产生了阻碍相对滑动的阻力，该阻力称为滑动摩擦力。2、滑动摩擦力的方向：与被研究对象相对滑动或滑动趋势的方向相反。⑴、有相对滑动趋势时-----静滑动摩擦力Fs：

两个相互接触的物体，所受的运动方向的外力较小，物体有相对滑动趋势，尚保持相对静止，此时接触面间产生的滑动摩擦力，称为静摩擦力（Fs).G摩擦力3、滑动摩擦力大小的三种情况（三种滑动运动状态）：x如何确定摩擦力的具体值？注意：

Fs的大小是个不定值，随着外力的变化而变化。其方向由外力系的合力方向决定，可以假设。

Fs=∑Fx且0≤Fs≤FmaxG摩擦力x⑵、临界平衡状态时-----最大静滑动摩擦力Fmax

：

当外力增加到某个值时，物体处于将动未动的临界平衡状态，这时静摩擦力达到最大值称为最大静摩擦力，以Fmax表示。静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与法向约束力成正比。Fmax=fsN

其中：fs

称为静摩擦系数⑶、有相对滑动时-----动滑动摩擦力Fd：

当物体接触面间有相对滑动时，出现的滑动摩擦力，称为动滑动摩擦力，它的方向与两物体间相对滑动的方向相反。

Fd=fN

其中：f

称为动滑动摩擦系数。一般情况，f

＜fs

，要求不高时，f

=fs。G摩擦力x第三节.带有摩擦的平衡问题

带有摩擦的平衡问题的解法与平面一般力系的解法基本相同,只是在分析受力时要考虑摩擦力,并正确地判断出摩擦力的方向,考虑临界状态并补充摩擦定律.①选取研究对象,作受力图②考察该物体可能的运动趋势,分别考虑每一运动趋势,画出对应的摩擦力,③建立适当的坐标系,列平衡方程.④在临界状态并补充摩擦定律Fmax=fsN

补充方程的数目应与未知摩擦力的数目相同

由于摩擦力具有一定的范围，有摩擦时平衡问题的解也有一定范围，而非一个确定的值例5-1在一个可调整倾角上放一物体重为W,接触面间的摩擦系数为f,试求物体刚开始下滑时可调整斜面的倾角

.

WxyoNFmaxα解:(1).选物体为研究对象.画受力图(2).列平衡方程.求未知量

根据题意此时摩擦力应为Fmax.选取坐标轴如图所示,列平衡方程(3).分析讨论

倾角仅仅与摩擦系数f有关,而与被测物体的重量无关.将物体放在斜面上,改变斜面倾角,记录下物体刚刚开始下滑时的角度,

那么tg就是物体与斜面间的摩擦系数.例5-2

在斜面上放一物体重为Q,接触面间的摩擦系数为f,斜面的倾斜角为

时,物体将向下运动.如此时在物体上加有水平力P,则能使物体在斜面上维持平衡,试求力P的值的范围。xyoF1maxαN1Q解:

如果力P太小,物体将向下滑动;但如力P太大,又使物体向上滑动.1、首先求出使物体不致下滑时所需的力P的最小值Pmin。由于物体有向下滑动的趋势，所以摩擦力应沿斜面向上。物体的受力图如图所示。Q设物体处于临界平衡状态,于是根据平衡方程和静滑动摩擦定律可列出:2、其次求出物体不致上滑时所需的力P

的最大值Pmax。由于物体有向上滑动的趋势，所以摩擦力应沿斜面向下。物体受力图如图所示，根据平衡方程和静滑动摩擦定律可列出:xyoαN2QF2max3、综上得出:要维持物体平衡时,力P的值应满足的条件是:其大小：

方向：第四节摩擦角与自锁现象GxφGxφf2、摩擦角φf:

随着摩擦力的增大，φ角逐渐增大，当摩擦力达到最大值Fmax时，全约束力FR作用线与接触面法线间的夹角φf称为摩擦角。摩擦角只与fS有关，它表示全约束力偏离接触面法线的最大角度1、全约束力FR：法向约束力FN与摩擦力Fs

的合力称为接触面对物体的全约束力。4、自锁现象：3、摩擦锥：Gxφf摩擦锥α自锁条件：α≤

φf

主动力的合力FA的作用线与接触面法线的夹角为α，当主动力的合力FA的作用线在摩擦角以内，则无论合力FA有多大，全约束力FR总能与之平衡，物体必定保持平衡，这种现象称为自锁现象。若物体沿接触面各个方向的静摩擦因数fs相等，则全约束力FR绕接触面法线方向旋转一周，形成一个以接触点为顶点、以φf

为半顶角的锥面。

例5-3

杆AB的A端置于光滑水平面上，AB与水平面夹角为20°，杆重为P=50KN。B处有摩擦。当杆在此处临界平衡时，试求摩擦角。解：以AB为研究对象，画受力图，N为B处的法向约束力。NNAxyFS例5-4图示一折叠梯放在地面上，与地面的夹角θ=60。脚端A与B和地面的摩擦因数分别为

。在折叠梯的AC侧的中点处有一重为G=500N的重物。不计折叠梯的重量，问它是否平衡？如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力。

处理此类问题时首先假定系统为平衡。由于系统不一定处于静摩擦的临界情况，可通过平衡方程求得这些未知的静摩擦力。所得的结果必须与极限静摩擦力进行比较，以确认上述系统平衡的假定是否成立。

解：⑴、以整体为对象，受力分析，画受力图，令等边三角形的边长为b，建立如图坐标系，列平衡方程：

⑵、以杆BC为对象，由于不计杆件的重量，该杆为二力杆，即摩擦力与法向约束力的合力与铰C的约束力均沿杆的轴线。由图B

的矢量几何，有：⑶、再以整体为对象，列平衡方程

⑷、判断系统是否处于静平衡：脚端A与B的最大静摩擦力分别为：

脚端A与B的实际摩擦力均小于最大静摩擦力，可见折梯处于平衡的假定成立。yxwP1αβA例5-5、匀质箱体A宽b=1m，高h=2m，重w=200KN，放在倾角α=20°的斜面上，摩擦系数f=0.2。在箱体上C点系一软绳，BC=a=1.8m，β=30°，绳上作用拉力p。试求箱体保持平衡时拉力p的大小。BCD解：⑴、设箱体在拉力p1作用下处于向下滑动趋势的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：分析：箱体在拉力p作用下，可能有四种运动趋势：向下滑动、向上滑动、绕右下角D点侧翻、绕左下角B点侧翻。NF补充方程：F=fN

解得：p1=40KN⑵、设箱体在拉力p2作用下处于向上滑动趋势的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：yxwP2αβABCDNF补充方程：F=fN

解得：P2=109.7KN⑶、设箱体在拉力P3作用下处于绕右下角D点向下侧翻的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：yxwP3αβABCDNF⑷、设箱体在拉力P4作用下处于绕左下角B点向上侧翻的临界平衡状态，画受力图，建立直角坐标系，列平衡方程：yxwP4αβABCDNF⑸、结论：由于软绳不能产生压力，故P3=-24KN的情况不存在。而当P2=109.7KN时，箱体已经发生侧翻。纵上分析，箱体平衡状态的条件：40KN≤P≤104.2KN第五节滚动摩擦

GOA1、滚动摩擦产生的原因：

使滚子滚动比使它滑动省力。圆柱体放在水平面上，受力如图，F与Ff形成一个力偶，即使F很小，也将使圆柱体发生滚动。当力F不太大时，圆柱体保持平衡，说明必有一个阻力矩Mf

作用在物体上，与力偶（F，Ff）平衡。GOABGOA将这些力系向A点简化，得到一个主矢FR和一个主矩Mf，主矢FR分解成法向约束力N和滑动摩擦力Ff（此处Ff＜

Fmax).主矩Mf

称为滚动摩阻力偶矩，简称为滚阻力偶。

Mf从何而来？分析滚动摩擦，必须考虑变形的影响。物体接触面上受力情况较复杂。GOA2、滚动摩阻定律：最大滚动摩阻力偶矩Mmax与滚子半径无关，而与支承面的法向约束力N的大小成正比。

Mmax=δNδ称为滚动摩阻系数，其量纲为长度单位。将随主动力F的增大而增大，当力F增加到某个值时，滚子将处于将滚未滚得临界平衡状态，此时滚动摩阻力偶矩达到最大值，成为最大滚动摩阻力偶矩，记为Mmax

注意：滚动摩阻力偶矩Mf

的大小也是个不定值，随着主动力矩的变化而变化，其方向与滚动的趋势相反0≤Mf≤Mmax。3、运动状态分析：若力F要使滚子滑动，则F要达到最大静摩擦力值，即F=Fmax=fsN若力F要使滚子滚动，则需满足力F对A点的矩达到最大滚动摩阻力偶矩Fr=δN

GOA（1）滑动条件（2）滚动条件例5-6

轮胎半径为r=40cm，载重W=2000N，轴传来的推力为P，设滑动摩擦系数f=0.6，滚动摩阻系数δ=0.24cm，试求推动此轮胎前进的力P。解:(1)选轮子为研究对象,画出轮子的受力图.轮子受力有载重W、推力P、法向约束力N、滑动摩擦力F、滚动摩阻力偶矩M，这是一个平面力系。(2)列平衡方程,求未知量

轮子前进有两种可能:一.向前滚动二.向前滑动(a).分析向前滚动情况:轮子刚刚开始向前滚动时，滚动摩阻力偶矩为

M=Mmax=δN.列平衡方程:∑X=0P-F=0P=F∑Y=0N-W=0N=W

∑Ma=0M-Pr=0M=Pr→Pr=δ

N→P=δW/r=0.242000/40=12N

所以只要12N的力就可以使轮子向前滚动.(b).分析向前滑动情况:

轮子刚开始滑动，则摩擦力F=Fmax=fN,所以P=f

W=0.62000=1200N。而当推力P=12N时，轮子就已经向前滚动了.(3)分析讨论：此题说明滚动要比滑动省力得多，所以通常以滚动代替滑动。

例5-7、重为P1=980N，半径为r=10cm的滚子A与重P2=490N的板块B，通过绳索相连，板块B与滚子A以及斜面间的静滑动摩擦系数f=0.1，A与B间的滚动摩阻系数δ=0.05cm，斜面倾角α=30°，绳索与斜面平行。试求作用在板块B上、平行于斜面并能拉动B的拉力的最小值。问题：板块B运动时，滚子A在板块上是先滚动还是先滑动？解：⑴设滚子A在板块B上作纯滚动，此时，静摩擦力尚未达到最大值。⑵

取滚子A为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程：不是o点补充方程⑶取板块B为研究对象，画受力图，建立坐标系，列平衡方程：补充方程⑷、如果假设滚子在板块上先发生滑动，取滚子A为研究对象,受力如图所示补充方程⑷、取板块B为研究对象，画受力图：补充方程故⑴处假设是正确的。第七版.P127：4—2、21、27*.

以梯子AB为研究对象,受力如图所示,设人所能达到的最高点为C点当梯子刚滑动时,A、B点均达到最大静摩擦力，补充方程联立以上五个方程，解得4.2考虑滑动摩擦的平衡问题以杆ABD为研究对象，受力如图所示，列平衡方程解：当力偶矩较小时，圆柱可能的运动形式有两种，一种是在E点先滑动，一种是在B点先滑动，应分别研究。4.21考虑滑动摩擦的平衡问题再以圆柱为研究对象，受力如图所