第十四章应变分析

第十四章

应变分析主要内容第一节位移与应变第二节质点的应变状态和应变张量第三节小应变几何方程、应变连续方程第四节有限变形第五节塑性变形体积不变条件第六节速度分量、位移增量、应变速率张量第七节对数应变第八节平面问题和轴对称问题小变形：物体在外力作用下产生变形，与本身几何尺寸相比是非常小的量（～），这种变形称作小变形。

在小变形分析中，变形量的二次微量可以忽略。

塑性加工中产生的塑性变形是大变形，分析大变形需要采用增量理论和有限变形，但小变形分析比较简单直观，而且大变形分析可以直接借用小变形分析的结果，

因此本章只讨论小变形分析第一节位移与应变图14-1受力物体内一点的位移及分量一、点的位移根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶偏导数，即（14-1）（14-2）

或例如，M与相邻质点M’(x+dx,y+dy,z+dz)在变形中产生位移矢量，即，和M相比，产生了位移增量，或M与M’之间相对位置变化量。如果，两质点间没有相对位移，MM’没有产生变形，仅仅产生了刚体移动。图14-2单元体在xy坐标平面内的变形二、应变

1、线应变

质点间产生的相对位移

设单元体平面PABC仅仅在xy坐标平面内发生了很小的拉变形，对于平行于坐标轴的线元分别有:

2、切应变

设：该单元体在xy平面内发生了角度的变化(切变形)，图14-2b，线元PC和PA所夹的直角缩小了，相当于C点在垂直于PC方向偏移了

，表明变形后两棱边PC和PA的夹角减小了

，称为工程切应变。图14-2b所示的

可以看成是由线元PA和PC同时向内偏移相同的角度

和

而成，如图14-2c所示，且（14-4）

把

和

定义为切应变。

表示x方向的线元向y方向偏转的角度。

图14-3单元体的变形第二节质点的应变状态和应变张量一、点的应变状态

（1）在x,y,z方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为（2）单元体分别在x面,y面和z面发生角度偏转，产生应变为二、应变张量

与一点的三个互相垂直的微分面上9个应力分量决定该点的应力状态一样，质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该点的应变状态。已知这九个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变，这表明对应不同坐标系应变分量之间有确定的变换关系。

应变张量也是二阶对称张量，可用表示为:或（1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用、、表示主应变，则主应变张量为（14-8）主应变可由应变状态特征方程求得。（14-9）三、应变张量的性质

对于塑性变形，由体积不变条件（14-10）

（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且

（3）在与主应变方向成45°方向上存在主切应变，其大小为（14-11）

若≥≥，则最大切应变为（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量式中，（14-12）为应变偏张量，表示变形单元体形状变化为应变球张量，表示变形单元体体积变化。为平均应变（5）存在应变张量的等效应变

=（14-13）等效应变的特点:是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变ε。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。

（6）与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。设已知主应变、、和的值、且>>，其摩尔圆为ε1

图14-4应变莫尔圆第三节小应变几何方程、应变连续方程一、小应变几何方程

图14-5位移分量与应变分量的关系

设单元体棱边长度为dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影为abdc，变形后的投影移至a1b1d1c1,a点变形后移到a1点后，所产生的位移分量为u、v，则b点和c点的位移增量为以及棱边ab（dy）在y方向的线应变

由图中的几何关系，可得根据图中的几何关系，可以求出棱边ac（dx）在x方向的线应变εx为因为，同理得则工程切应变为切应变为（14-14）（14-15）其值远小于1，所以有用角标符号可简记为（14-16）（14-17）同理

式（14-16）六个方程表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，又称柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。两式相加，得即（14-18）二、应变连续方程

由小应变几何方程可知，三个位移分量一经确定，六个应变分量也就确定，显然，它们不应是任意的。只有这六个应变分量之间满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。将式（14-16）中的、分别对y、x求导数，得同理可得另外两式，连同上式综合在一起可得（14-19）式（14-19）表明，在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。对式（14-16）中的三个切应变等式分别对x、y、z求偏导，得（14-20）将上面的前两式相加后减去第三式，得

再对上式两边对y求偏导数，得与另外两式组合得（14-21）式（14-21）表明，在物体的三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。

式（14-19）和式（14-21）统称变形连续方程或应变协调方程。变形连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。

同时还应指出，如果已知一点的位移分量ui，则由几何方程求得的应变分量εij自然满足连续方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。例设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为试求：点A(1，1，1)与点B(0.5，-1，0)的应变值。解由几何方程式（14-16）求得应变分量为将点A的坐标值(1，1，1)代入上式，得点A处的应变值将点B的坐标值(0.5，-1，0)代入上式，得点B处的应变值第四节有限变形前述在推导小应变几何方程时，假设位移及其导数是很小的，略去了二阶以上的量，推导出的方程都是非线性的，适用于小变形。但在实际的塑性加工时，往往都是变形量较大，属于有限变形。此时，应变与位移导数间不再是线性关系，平衡方程必须考虑变形前后坐标的差别。连续体的有限变形有两种表述方法：1、拉格朗日法，相对位移计算以变形前的坐标作为自变量2、欧拉法，相对位移计算以变形后的坐标作为自变量。一、拉格朗日法分析有限变形的应变a和b之间的相对位移ui沿ox、oy、oz轴的投影记为△u、△v、△w设变形前线段ab，长为r，a点的坐标为xi，则b点的坐标为xi+dxi。变形后线段ab变成a1b1，长为r+δr，a1点的坐标为（xi+ui），b1点的坐标为（xi+dxi+ui+δui），其中，xi三个坐标分量表示成x、y、z，ui三个坐标分量表示成u、v、w。（14-22）考虑到坐标的正交性，式（14-22）可改写为（14-23）记（14-23）（14-24）或（14-25）—为有限应变量有限应变量也是对称张量，即对于微小应变，在式（14-24）中，位移u、v、w、对坐标的导数是微小的，可省略去它们的平方和乘积相，则得用欧拉法表示有限应变分量，以变形后的坐标（x1，y1，z1）作为自变量，有限应变分量可写成（14-27）

小变形时，可以认为只有线应变引起边长和体积的变化，而切应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。因此变形后的单元体体积为第五节塑性变形体积不变条件设单元体的初始边长为，则变形前的体积为单元体体积的变化（单位体积变化率）（14-28）=在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积不发生变化，因此

式（14-28）称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和等于零,说明三个正应变分量不可能全部同号。（14-29）=第六节

速度分量和速度场、位移增量与应变增量、应变速率张量

反映的是单元体在某一变形过程或变形过程中的某个阶段结束时的变形大小，亦称全量应变。

塑性变形一般是大变形，前面讨论的应变公式在大变形中不能直接应用。然而，我们可以把大变形看成是由很多瞬间小变形累积而成的。考察大变形中的瞬间小变形的情况，需要引入速度场与应变增量的概念。

一、速度分量和速度场

位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数，故

简记为(x，y，z，t)

在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即二、位移增量和应变增量

在图14-6中，设质点P在dt内沿路径PP’P1从P‘移动无限小距离到达P“，位移矢量PP“与PP’之间的差即为位移增量，记为dui。这里d为增量符号，而不是微分符号。此时它的速度分量记为

物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生的位移改变量称为位移增量。图14-6位移矢量和增量dudtdwdtdvdt简记为

产生位移增量以后，变形体内各质点就有了相应的无限小应变增量，用dεij表示。

此时的位移增量分量为（14-31）在此，瞬时产生的变形当然可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，表示为

（14-32）

一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为简记为=（14-33）（14-34）

=

应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是一系列瞬时应变增量的积累。

三、应变速率张量

单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，用表示，单位为。设在时间间隔dt内产生的应变增量为，则应变速率为=

（14-35）

应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。与式（14-33）类似，应变速率===

一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量

应该注意，应变速率是应变增量对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。应变速率张量与应变增量张量相似，用来描述瞬时变形状态。

第七节

对数应变

设在单向拉伸时某试样的瞬时长度为l，在下一个瞬时试样长度又伸长了dl，则其应变增量为为了真实地反映瞬时的塑性变形过程，一般用对数应变来表示塑性变形的程度。

而试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过程中主轴不变，可沿拉伸方向对d∈进行积分，求出总应变d∈（14-38）

∈从上式可以看出对数应变∈和相对应变ε的关系，即只有当变形程度很小时，相对应变ε才近似等于对数应变∈。变形程度越大，误差也越大。这就是为什么相对应变适用于小变形的情况，对数应变适用于大变形的情况。一般认为，当变形程度超过10％时，就要用对数应变来表达。∈反映了物体变形的实际情况，称为对数应变或真实应变，它能真实地反映变形的累积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下应变增量的总和。在大塑性变形中，主要用对数应变来反映物体的变形程度。（14-39）∧∈1．叠加性设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到

l3，则总的对数应变为各分量对数应变之和，即:除此之外，对数应变还有以下两个性质：=显然，这表明，对数应变具有可叠加性，而相对应变不具有可叠加性。

对应的各阶段的相对应变为∈∈1＋∈2＋∈3负号表示应变方向相反。而用相对应变时，以上情况分别为2．可比性对数应变为可比应变，相对应变为不可比应变。假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。拉长一倍时∈+压缩一半时∈-因而，相对应变为不可比应变。

前面提到的体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体的原始长、宽、高分别为l0、b0、h0，变形后分别为l1、b1、h1，则体积不变条件表示为：=（14-40）∈1＋∈2＋∈3一、平面应力问题

图14-7平面应力状态平面应力状态假设变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上没有应力，且所有的应力分量与该坐标轴无关，如图14-7所示。工程中，薄壁容器承受内压、无压边的板料拉深、薄壁管扭转等，由于厚度方向的应力很小可以忽略，均可简化为平面应力状态。第八节平面问题和轴对称问题或由式（13-26）可得平面应力状态下的应力平衡微分方程为

（14-42）平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可从(13-27)、（13-28）、（13-29）各式中求得。由于，所以平面应力状态下的主切应力为（14-43）

纯切应力状态（即纯剪状态）是平面应力状态的特殊情况，见图14-8，纯切应力等于最大切应力，主轴与坐标轴成45°，切应力在数值上等于主应力，。因此，若两个主应力在数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。

平面应力状态中z方向虽然没有应力，但是有应变存在；只有在纯剪切时，没有应力的方向才没有应变。图14-8纯切应力状态及应力莫尔圆二、平面应变问题

如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属于平面变形或平面应变问题。

设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零，其余两个方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以，则平面应变状态的三个应变分量为、、，且满足以下几何方程=（14-44）根据体积不变条件有平面变形状态下的应力状态有如下特点：1）没有变形的z方向为主方向，该方向上的切应力为零，z平面为主平面，为中间主应力，在塑性状态下，等于平均应力，即2）由于应力分量、、沿z轴均匀分布，与z轴无关，所以平衡微分方程与平面应力问题相同。3）如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成

或

（14-45）三、轴对称问题

当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。塑