第五讲波动理论

波动理论（浅水运动中的平面波）1一平面波的基本概念频散关系相速度和群速度频散波和非频散波2频散关系频散关系是指波动的频率和波数之间的关系，它代表了某种波动的特征，任何一种特定的波动都有其特定的频散关系，因而频散关系也是确定波动性质的非常有效的工具。3相速度和群速度CgC4频散波和非频散波如果一种波动的相速度和群速度一样，就称为非频散波；如果一种波动的相速度和群速度不一样，就称为频散波。5频散波和非频散波的特点非频散波频散波6二浅水运动中的小振幅波动运动方程f=0（无旋转）下平面无限等深流体内的波动——浅水重力波f=C（f平面）下平面无限等深流体内的波动——Poincare（邦加莱）波f=C（f平面）下水平有界等深流体内的波动——Kelvin（开尔文）波f不为常数下的波动——Rossby（罗斯贝）波71运动方程浅水中的线性化方程，非线性平流项已经去掉，由上述方程组消去u，v，就可以得到水位方程8水位方程9定常运动如果运动为定常的浅水小振幅运动即为地转流10非定常运动——波动对波动而言波动的主控动力学方程是相同的，不同主要是边界条件的不同，不同的边界条件（强迫）决定了不同的波动的频散关系（频散关系即频率和波数之间的关系，它决定波动的特性），也就决定了不同性质的波动．下面我们就在不同的边界条件下讨论不同性质的波动

112f=0（无旋转）下平面无限等深流体内的波动

浅水重力波是二列方向相反，频率大小相同的波动，这是一种非频散波。12浅水重力波x0u=(g/H)1/2=0Cott=0t=t1t=t213浅水重力波x0t=0u=0,=0t=t3t=t20/2wavewakewavefrontt=t10/2143f=C（f平面）下平面无限等深流体内的波动

无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同的波动。在海洋上这种长波称为邦加莱波（Poincare）。在气象上，这种长波称为惯性重力波，即在地球旋转影响下的重力波。旋转（地转）使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运动频率。

15邦加莱波特点其中R为Rossby变形半径=C0/f

短波：旋转的影响相对于重力的影响是次要的

长波：惯性振荡，重力的影响是次要的

164f=C（f平面）下水平有界等深流体内的波动

考虑一个平行于x轴的宽度为L的通道。引入边界条件：y=0，l时，v=0，代入动力方程。17频散关系离散的邦加莱波Kelvin波惯性震荡地转流18离散的邦加莱波此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波，亦是向正，反两个方向传播的，不同之处在于y方向的波数l只是特定的值，l不可能任意取值，这恰恰是由边界条件的特性决定波动的特性，只有特定频率的波才满足一定的边界条件。此波也是Poincare波，是一种特定条件下离散的Poincare波。

19Kelvin波波动传播的x方向满足地转平衡，由于y方向存在边界限制，波动在y方向不满足地转平衡，整个波动是非地转的。由于y方向存在边界限制，只有y方向上有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减。开尔文波的传播方向和边界位置有关，对于一个面向波转播方向的观察者来说，在北半球，边界位于其右侧，而在南半球，边界位于其左侧。

20特殊的Kelvin波——赤道Kelvin波Kelvin波作为一种边界波，需要边界的存在。科氏参数f在赤道为0，形成了一种特殊的边界，产生了赤道Kelvin波。21惯性振荡和地转流惯性震荡的解代入原式求解，解也为开尔文波。等深渠道中波解的完全谱包括Poincare波，kelvin波，地转流。225f不为常数下的波动——Rossby（罗斯贝）波如果绝对涡度的梯度不为0，即存在行星涡度梯度和环境涡度梯度，就会产生一种特殊的波动Rossby波，这是一种低频的缓慢的波动，与前述的快波不同。23三准地转Rossby波Rossby波是大洋调整中最重要的波动，是大洋中信息的携带者。本节将重点讲解有关Rossby波的知识。241Rossby波的动力方程——准地转位涡方程Rossby波的产生和位涡密切相关，位涡梯度的存在是Rossby波的恢复机制。25考虑基本流和地形作用26位涡方程变形为27定常情况有地形存在而不存在行星涡度梯度下，流动沿等深线；不存在地形而存在行星涡度梯度下，流动沿纬线。28非定常情况——Rossby波此时可以发现地形、海面起伏（环境涡度梯度）和科氏参数变化（行星涡度梯度）是等价的，即如果只存在地形的话就可以产生地形Rossby波；只存在行星涡度梯度的话也可以产生Rossby波。292Rossby波的频散关系Rossby波的频率及相速度都依赖于波数，因此是频散波。

Rossby波是低频波。Rossby波仅当有位涡梯度存在时才能发生，即位涡梯度是产生Rossby波的必要条件。

303Rossby波的形成机制位涡守恒和位涡梯度的存在是Rossby波形成的机制。xwestwardf,soy314Rossby波的相速度和群速度假定U=0，不存在基本流的作用，Rossby波的相速度都是向西的，反映了旋转的存在导致的东西不对称；Rossby波的群速度长波也都是向西的，短波可以向东。325纬向基本流中的Rossby波西向波东向波驻波以上体现了基本流的多普勒效应336长波的非多普勒效应长Rossby波的一个特殊性质就是非多普勒效应，产生这个情况的原因是平流的多普勒效应和平流产生的环境位涡梯度效应相互抵消，因而长Rossby波的波速是不变的，假定不考虑地形效应，长Rossby波的波速为34观测到的长Rossby波波速357Rossby波的能量传播图波矢必须位于k-l平面的一个圆上

圆心：半径：36能量传播图klCgK[/(-2),0](a,0)Wherea=/(-2)-[(/(-2))2-LD-2]1/237

8有界区域中的Rossby波反射、Rossby波的NormalMode由于边界的存在，波动的波数不再是连续的了，与前述离散的邦加莱波类似，此时的Rossby波的波数也只能取离散的特定值。38反射的示意图39在能量图中的表现40反射波形成的NormalModeK1CgK2CgIncidentwavereflectedwavelkK2K141Y方向NormalMode的推导42NormalMode的特点NormalMode是一个系统固有的本征的波动模态，在一个有边界条件约束的系统中，稳定波动状态下只有NormalMode存在。大洋Rossby波的NormalMode是大洋调整的波动周期，也是大洋记忆的一种表现434445469强迫Rossby波与自由波不同，强迫波的波数和频率已经由外强迫所确定，振幅未知。所得的解一般不满足初始条件。47共振的发生此时发生共振，一般情况下共振的发生都是在外强迫的频率和系统NormalMode的频率一致时发生的。48四斜压Rossby波的初步知识垂直方向的层结，相当于增加了垂直方向的边界，因而斜压Rossby波实际上就是垂直方向的边界产生的NormalMode波动，因而也将斜压Rossby波的各个模态称为BaroclinicMode。491一层半模式及第一斜压模Rossby波一层半模式又称为约化重力模式50一层半模式的一个重要结论：海面起伏和次表层温跃层起伏方向相反，量级相差3个左右。5152正压模和斜压模Atwo-ballsystem2“baroclinic”mode

1>

21,“barotropic”mode53第一斜压模在大洋中的例子5455第一斜压模波速的多普勒效应562两层半模式及第二斜压模Rossby波表现为温跃层厚度的变化，可以从温度异常信号的传播上发现该波动，这种波动和平流的方向基本一致，因而被称为平流模态。57581971-731974-761977-79北太平洋热异常信号（第二斜压模态Rossby波）的“潜沉”从北向南；从上向下；从东向西。斜压第二模态Rossby波不仅可以通过“内部通道”直接到达赤道太平洋（研究的成果很多），还可以通过向南、向西的传播，到达西边界（如何影响黑潮几乎没人研究）。温度和平均流50-300mZhangR-H等2001593连续层化模式及各个垂直模态

Rossby波60根据层结流体准地转位涡守恒方程其中将其线性化：61边界条件：侧向无界垂向：限于之内当z＝1时，（海面刚盖）当z=0时，（忽略地形加热底摩擦等）62设位涡方程的解为：其中为垂直结构函数将波解带入位涡方程，得到：其中63边界条件转化为：当z=0时(海底）当z=1时（海面）64假设海洋从上到下的密度是常数,那么代入边界条件解得:65密度为常数66差分格式：图示：j=1,2,……，M事实上海洋是有层结的67