第二讲多属性决策分析+物元

多属性决策分析多目标决策与多属性决策的划分多目标决策(multi-objectivedecisionmaking)

决策变量是连续型的（即备选方案有无限多个），求解这类问题的关键是向量优化，即数学规划问题。多属性决策(multi-attributedecisionmaking)

。 决策变量是离散型的（即备选方案数量为有限多个），求解这类问题的核心是对各备选方案进行评价后排定各方案的优劣次序，再从中择优。多属性决策指标体系多属性多指标综合评价有两个显著特点:指标间的不可公度性 即多属性指标之间没有统一量纲，难用同一标准进行评价。指标之间的矛盾性 提高了这个指标值，可能损害另一指标值。问题： 如何解决指标间的不可公度性和矛盾性？多属性决策指标体系指标体系的基本概念多属性决策的指标体系

由多个相互联系、相互依存的评价指标，按照一定层次结构组合而成，具有特定评价功能的有机整体。 单一的评价指标只能反映社会经济系统的某一具体特征，要全面、准确地评价一个系统，首先要构建合理的指标体系。社会经济系统常用的评价指标

经济性指标

社会经济系统常用的评价指标

社会性指标

技术性指标

资源性指标

政策性指标

基础设施指标

其他指标产值、收入、成本、税金、投资额、投资回收期、固定资产等等人员素质、社会福利、生态环境、就业机会等产品性能、可靠性、工艺水平、人员素质等矿产资源、水源、土地、人力等国家和地方的政策、法令、计划等交通、供水、供电等特定决策系统的特有指标，如净现值多属性决策指标体系指标体系设置的原则系统性原则指标体系应反映系统的整体性能和综合情况，指标体系的整体评价功能应大于各指标的简单总和。指标体系应层次清晰，结构合理，相互关联，协调一致。应抓住主要因素，既能反映直接效果，又能反映间接效果，保证决策的全面性和可信度。多属性决策指标体系指标体系设置的原则可比性原则决策指标和评价标准的制定应客观实际，便于比较。指标间应避免显见的包含关系，隐含的相关关系应以适当的方法加以消除。不同量纲的指标应按特定的规则作标准化处理，化为无量纲指标，以便于整体综合评价。指标处理中应保持同趋势化，以保证指标间的可比性。多属性决策指标体系指标体系设置的原则科学性原则定性分析与定量分析相结合。定量指标应注意绝对量和相对量的结合使用。实用性原则指标应涵义明确，数据规范，口径一致，资料收集可靠。指标设计应符合国家和地方的政策法规，口径和计算应与通用的会计、统计、业务核算协调一致，便于统计和计算。多属性决策指标体系决策指标的标准化

将不同量纲的指标，通过适当的变换，化为无量纲的标准化指标。决策指标的变化方向效益型（正向）指标：越大越优成本型（逆向）指标：越小越优中立型指标：在某中间点最优 （如人的体重）多属性决策指标体系决策指标的标准化

设有 n个决策指标fj（1≤j≤n）

m个可行方案ai（1≤i≤m）m个方案n个指标构成决策矩阵：多属性决策指标体系决策指标的标准化

向量归一化法

令：称矩阵Y＝(yij)m×n为向量归一标准化矩阵。矩阵Y的列向量模等于1，即注：向量归一标准化后

①0≤yij≤1； ②正、逆向指标的方向没有发生变化。决策指标的标准化

线性比例变换法在决策矩阵X中，对于正向指标fj，取：令：对于负向指标fj，取：令：称矩阵Y＝(yij)m×n为线性比例标准化矩阵。注：经线性比例变换后①0≤yij≤1；②所有指标均化为正向指标；③最优值为1。决策指标的标准化

极差变换法在决策矩阵X中，对于正向指标fj，取：对于负向指标fj，取：令：称矩阵Y＝(yij)m×n为极差变换标准化矩阵。注：经极差变换后①0≤yij≤1；②所有指标均化为正向指标；③最优值为1，最劣值为0。决策指标的标准化

标准样本变换法在决策矩阵X中，令：其中：称矩阵Y＝(yij)m×n为标准样本变换矩阵。注：经标准样本变换后标准化矩阵的样本均值为0，方差为1。决策指标的标准化定性指标量化处理方法

将定性指标依问题的性质划分为若干级别，每一级别分别赋以不同的量值。如：分五级赋以分值等级指标很低低一般高很高正向指标13579逆向指标97531分值【例1】某航空公司欲购买飞机

按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这6个指标是，最大速度(f1)、最大范围(f2)、最大负载(f3)、价格(f4)、可靠性(f5)、灵敏度(f6)。现有4种型号的飞机可供选择，具体指标值如下表：

指标(fj)机型(ai)

最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a491800200005.0一般一般【例1】写出决策矩阵，并进行标准化处理。解：第一步，划分各类指标 正向指标：f1、f2、f3；负向指标：f4； 定性指标：f5、f6。第二步，将定性指标化为定量指标，得到如下决策矩阵:【例1】解：第三步，进行标准化处理向量归一化法

令：【例1】解：第三步，进行标准化处理线性比例变换法极差变换法决策指标的标准化

极差变换法的改进在决策矩阵X中，对于正向指标fj，取：对于负向指标fj，取：令：变换后①1≤yij≤100；②所有指标均化为正向指标；③最优值为100，最劣值为1。多属性决策指标体系决策指标权重的确定指标权重

表示各指标相对于决策目标的重要性程度，或表示一种效益替换另一种效益的比例系数。确定指标权重的方法

主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种特定法则测算出指标权重的方法。客观赋权法：依据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某种特定法则测算出指标权重的方法。决策指标权重的确定几种常用的确定指标权重的方法1.

相对比较法（属于主观赋权法）

将所有指标按三级比例标度两两相对比较评分，三级比例标度的含义是：显然：注意：评分时应满足比较的传递性，即若f1比f2重要，f2又比f3重要，则f1比f3重要。决策指标权重的确定几种常用的确定指标权重的方法1.

相对比较法（属于主观赋权法）

指标fi的权重系数为确定例1中6个指标的权重解：1.

相对比较法

指标fi指标fi

f1f2f3f4f5f6评分总计权重wif10.51110.50f200.50.50.500f300.50.50.500f400.50.50.500f50.51110.50f6111110.5评分值41.51.51.545.5∑：182/91/121/121/122/911/36几种常用的确定指标权重的方法2.

连环比率法（属于主观赋权法）

将所有指标以任意顺序排列，不妨设为：f1,f2,…,fn。从前到后，依次赋以相邻两指标相对重要程度的比率值。指标fi与fi＋1比较，赋以指标fi以比率值ri

（i=1，2，…，n-1）并赋以rn=1。几种常用的确定指标权重的方法2.

连环比率法（属于主观赋权法）

计算各指标的修正评分值。赋以fn的修正评分值kn＝1，根据比率值ri计算各指标的修正评分值：ki＝ri·ki+1 （i=1，2，…，n-1）归一化处理，求出各指标的权重系数值。即【例3】确定例1中6个指标的权重解：2.

连环比率法

指标fi

比率值修正评分值指标权重wif13f21f31f41/3f51/2f61∑11/21/61/61/61/25/21/51/151/151/151/52/5几种常用的确定指标权重的方法3.

熵值法（属于客观赋值法）利用指标熵值确定权重，熵越大，权重越小。

对决策矩阵X=(xij)m×n用线性比例变换法作标准化处理，得到标准化矩阵Y=(yij)m×n

，并进行归一化处理，得:计算第j个指标的熵值，其中，k＞0，ej≥0几种常用的确定指标权重的方法3.

熵值法（属于客观赋值法）

计算第j个指标的差异系数确定指标权重。第j个指标的权重为【例3】确定例1中6个指标的权重解：3.

熵值法

归一化处理得：【例3】确定例1中6个指标的权重解：计算第j个指标的熵值（取k＝0.5）

得：差异系数：指标权重为：几种常用的确定指标权重的方法4.专家咨询法(Delphi法)

（属于主观赋值法）设有n个决策指标f1,f2,…,fn，组织m个专家咨询，每个专家确定一组指标权重估计值对m个专家给出的权重估计值平均，得到平均估计值计算估计值和平均估计值的偏差几种常用的确定指标权重的方法4.专家咨询法(Delphi法)

（属于主观赋值法）对偏差△ij较大的第j个指标的权重估计值，再请专家i重新估计第j个指标的权重。反复进行以上步骤，直至偏差满足一定要求为止。这样就得到一组权重指标的平均估计修正值。多指标决策方法简单线性加权法根据实际情况，先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的线性加权指标平均值，并以此作为各可行方案排序的判据。注意

标准化处理时，应当使所有的指标正向化。简单线性加权法简单线性加权法的基本步骤用适当的方法确定各决策指标的权重，设权重向量为：

决策矩阵X=(xij)m×n标准化得Y=(yij)m×n，要求标准化之后的指标均为正向指标；

求出各方案的线 性加权指标值：

选择ui最大者为最 满意方案，即：【例4】

用简单线性加权法对例1的购机问题进行决策解：①用适当的方法确定各决策指标的权重为：

用线性比例法将决策矩阵

X=(xij)m×n标准化得Y=(yij)m×n；

求出各方案的线性加权指标值ui：

ui最大者为0.851，故满意方案为方案4。多指标决策方法理想解法（TOPSIS）通过构造多指标问题的理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离负理想解两个基准，作为评价各可行方案的判据。理想解 是设想各指标属性都达到最满意值的解。负理想解 是设想各指标属性都达到最不满意值的解。 又称双基点法，逼近理想解的排序方法。理想解与负理想解

设决策问题有m个可行方案a1,a2

,…,am，两个评价指标f1、f2，不妨设二指标均为正向指标。方案ai的二指标值记为xi1,xi2，于是方案ai可以用平面f1f2上的点Ai(xi1,xi2)表示。记：则： 理想解为A*(x*1,x*2)；

负理想解为A-(x-1,x-2)。理想解与负理想解f1f2OA1A2A3AmA*A-问题：如何表示各方案目标值靠近理想解和远离负理想解的程度？相对贴近度

设方案ai对应的点Ai到理想点A*和负理想点A-的距离分别为：定义方案ai与理想解、负理想解的相对贴近度为满足：0≤Ci*≤1；

理想点Ci*＝1，负理想点Ci*＝0；方案逼近理想解而远离负理想解时Ci*→1。理想解法的基本步骤用向量归一化法对决策矩阵进行标准化处理，得标准化矩阵Y=(yij)m×n；用适当的方法确定各决策指标的权重wj，计算加权标准化矩阵：

确定理想解和负理想解正向指标集负向指标集理想解法的基本步骤计算各方案到理想解和负理想解的距离

计算各方案的相对贴近度Ci*，相对贴近度大者为优，小者为劣。【例5】用理想解法对例1的购机问题进行决策解：①求决策矩阵的向量归一标准化矩阵Y适当的方法确定各决策指标的权重为：计算加权标准化矩阵：V=(wj·yij)m×n；正正 正 负！ 正 正【例5】解：③确定理想解和负理想解

计算各方案到理想解和负理想解的距离；

计算各方案的相对贴近度Ci*

：Ci*最大的方案最优，故满意方案为方案1。多指标决策方法改进的理想解法利用决策矩阵的信息，客观地赋以各指标的权重系数，并以各方案到理想点距离的加权平方和作为综合评价的判据，更简便实用。设权重向量（待定）为：最优的权重系数应满足：符号含义与理想解法相同改进的理想解法注意到：

vij=wj·yij用求解条件极值的拉格朗日乘数法，可以解得：改进的理想解法的基本步骤将决策矩阵进行标准化得Y=(yij)m×n确定标准化矩阵的理想解

按式（7.18）计算各指标的权重系数wj (j=1,2,…,n)

计算各方案到理想解的距离平方di，并按di对方案排序：di越小，方案越优。【例6】用改进的理想解法对例7.1的购机问题进行决策解：①求决策矩阵标准化矩阵Y（以极差变换标准化矩阵为例）正正 正 负！正 正

标准化矩阵Y的理想解为Y*={1,1,1,0,1,1}【例6】解：按式（18）计算各指标的权重系数wj

计算各方案到理想解的距离平方dj：得按dj对方案排序：di越小，方案越优。因此最优方案为方案1。多指标决策方法功效系数法将各决策指标的相异度量，转化为相应的无量纲的功效系数，再进行综合评价的多指标决策方法。功效系数的计算 设第j个指标的满意值为，不允许值为功效系数为：满意值的功效系数为100，不允许值的功效系数60。功效系数法功效系数法的基本步骤确定决策指标体系 设决策矩阵为X=(xij)m×n，用适当的方法确定指标的权重向量

计算各指标值的功效系数dij

计算各方案的总功效系数

以总功效系数为判据，对各方案进行排序。 功效系数越大，方案越优；功效系数越小，方案越劣。【例7】用功效系数法对例1的购机问题进行决策。解：①用适当的方法确定指标的权重向量为计算各指标值的功效系数dij负！【例7】解：计算各指标值的功效系数dij

计算各方案的总功效系数di

以总功效系数为判据，对各方案进行排序。 功效系数越大，方案越优；功效系数越小，方案越劣。因此方案3最优。物元分析法物元分析是研究解决不相容问题的规律和方法的新兴学科，是思维科学、系统科学、数学三者的交叉边缘学科。它的中心是研究“出点子、想办法”的规律、理论和方法。它的数学工具是建基于可拓集合基础上的可拓数学。物元分析本身不是数学的一个分支，在它的数学描述系统中还需要保留一定的开放环节。在这些环节中，人脑思维与客观实际要在这里发挥作用。它是在经典数学、模糊数学基础上发展起来而又有别于它们的新学科。物元决策方法物元分析和矛盾问题现实世界存在各式各样的矛盾，物元分析研究处理矛盾问题的理论和方法。物元分析的数学基础是可拓集合论经典数学的基础是经典集合论。在经典集合中，一个元素与某个集合的关系，要么属于它，要么不属于它，二者必居其一。模糊数学的基础是模糊集合论。在模糊集合论中，一个元素与某个集合的关系，或者属于它，或者不属于它，或者在一定程度上属于它，三者必居其一。物元分析和矛盾问题物元分析的数学基础是可拓集合论 事物是处于不断的运动和变化中的，经典集合论不能描述事物及其性质的可变性。可拓集合研究不属于某集合但又能够转化为属于该集合的元素及其变换性质。经典案例：曹冲称象、转换桥、空城计物元决策方法物元和可拓集合的基本概念人、事统称事物。事物各具不同的特征，事物的特征又由相应的量值所规定。名称、特征和量值是事物的三要素。定义1（物元） 设事物的名称为N，关于特征C的量值为V，则三元有序组 R＝（N,C,V） 称为事物的基本元，简称物元。N，C，V称为物元的三要素。物元和可拓集合的基本概念

若某事物有多个(n个)特征记作c1,c2,…,cn，相应量值记作v1,v2,…,vn，则物元记为称为n维物元，简记为R＝（N,C,V），其中：物元和可拓集合的基本概念定义2（物元变换）

使物元R0=(N0,C0,V0)变换为物元R=(N,C,V)或若干个物元Ri=(Ni,Ci,Vi)，i=1,2,…,n

称为物元R0的变换，记作

TR0=R

或 TR0={R1,R2,…,Rn}

物元变换可以是对事物的特征、量值或它们组合的变换。物元和可拓集合的基本概念物元变换的基本运算

设有物元R1,R2,R3积变换 若T1R1=R2，T2R2=R3，称使R1变为R3的变换为变换T2与T1的积变换。记作：

T=T2T1逆变换 若T1R1=R2，称使R2变为R1的变换为变换T的逆变换，记作T-1。有：

T-1(T1R1)=T-1R2=R1物元和可拓集合的基本概念物元变换的基本运算

设有物元R1,R2,R3或变换 若T1R1=R2，T2R1=R3，称使R1变为R2或R3的变换为变换T1与T2的或变换。记作：

T=T1∨T2与变换 若T1R1=R2，T2R1=R3，称使R1变为R2和R3的变换为变换T1与T2的与变换。记作：

T=T1∧T2物元和可拓集合的基本概念定义3（关联度、关联函数）

设Ã是论域U上的一个可拓子集，若对任意u∈U，都对应一个实数则称为元素u对Ã的关联度。实值函数称为可拓子集Ã

的关联函数，简记为K(u)。物元和可拓集合的基本概念定义4（经典域、可拓域、非域）

称 A＝{u|u∈U,K(u)≥0}

为可拓子集Ã的经典域；

称 ＝{u|u∈U,-1≤K(u)＜0}

为可拓子集Ã的可拓域；

称 ＝{u|u∈U,K(u)＜-1}

为可拓子集Ã的非域。物元和可拓集合的基本概念定义5（点与区间的距）点x0

与区间X＝[a,b]的距离称为点与区间的距，记作：点与区间的距对于开区间、半开半闭区间同样适用。物元和可拓集合的基本概念定理1

设X0,X是实数域上的两个区间，X⊃X0

，且无公共端点，令关联函数则

x∈X0

的充要条件是：K(x)≥0；

x∈X－X0

的充要条件是：-1≤K(x)＜0；

x

∉

X的充要条件是：K(x)＜-1

。物元和可拓集合的基本概念定义6（节域） 设有物元R=(N,C,V)，事物N关于特征C的允许取值范围为V，子集V0⊂V。若在某限制条件下，对任意的x,y∈V0，x变为y，事物N不变；而对任意的x∈V0，y

∉V0，x变成y，事物N变为超出限制条件的另一事物，则称V0为该限制条件下N关于C的节域。物元和可拓集合的基本概念定义7（问题） 给定物元R和实现它的条件物元r，则称他们构成问题P，记作：P=R*r定义8（相容问题）

给定问题P=R*r，r=(N,C,V),K(x)是N关于C取值范围V上的关联函数。如果物元R要实现，N关于C必须取值V0(R)，则K(V0(R))

称为问题P=R*r的相容度，简记为Kr(R)

。 当Kr(R)≥0时，问题R*r称为相容问题；否则，称为不相容问题。物元决策方法及其应用物元决策模型的建模步骤：建立物元矩阵

确定评价产品质量的经典域和节域物元矩阵，并确定待评价产品的物元矩阵。确定经典域物元矩阵其中N0

表示标准产品，ci

(i=1,2,···,n)表示产品评价指标，X0i=[a0i,b0i](i=1,2,···,