高中数学人教A版1相似三角形的判定及有关性质学业分层测评4

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1­3­32，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为eq\f(1,4)，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()图1­3­32\f(9,2)，1 B．9,4\f(9,2)，8 \f(9,4)，16【解析】∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴EF綊eq\f(1,2)BC，DE綊eq\f(1,2)AC，DF綊eq\f(1,2)AB.∴△DFE∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝eq\f(1,4)，∴S△ABC＝1，故选A.【答案】A2．如图1­3­33，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是()图1­3­33A．5 B．C． D．【解析】由△CBF∽△CDE，得eq\f(BF,DE)＝eq\f(CB,CD)，又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，∴DE＝3，即eq\f(BF,3)＝eq\f(6,10)，∴BF＝.【答案】D3．如图1­3­34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为()图1­3­34A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，则所求两部分面积比为1∶15.【答案】C4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1­3­35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是()【导学号：07370017】图1­3­35A．50cm B．500cmC．60cm D．600cm【解析】设屏幕上小树的高度为xcm，则eq\f(10,x)＝eq\f(30,30＋150)，解得x＝60(cm)．【答案】C5．如图1­3­36，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则eq\f(S△ADE,S△ABC)＝()图1­3­36\f(1,4) \f(1,2)\f(2,3) \f(4,9)【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，由S△ADE＝2S△DCE，得eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9).【答案】D二、填空题6．如图1­3­37，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．图1­3­37【解析】∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴eq\f(BF,AE)＝eq\f(BG,GA)＝eq\f(3,1)，∵D为AC中点，∴eq\f(AE,CF)＝eq\f(AD,DC)＝1，∴AE＝CF，∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.【答案】57．如图1­3­38，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1­3­38【解析】因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则eq\f(PD,PE)＝eq\f(PE,PA)，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)8．(2023·湛江高三调研)如图1­3­39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则eq\f(AD,AB)＝________.图1­3­39【解析】∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,AB)))2＝eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(a2,9a2)＝eq\f(1,9)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)三、解答题9．如图1­3­40，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.图1­3­40(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．【解】(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴eq\f(S△ABC,S△FCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,CD)))2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，∴20＝eq\f(1,2)×10×AM，∴AM＝4.又∵DE∥AM，∴eq\f(DE,AM)＝eq\f(BD,BM).∵DM＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,4)BC＝eq\f(5,2)，BM＝BD＋DM，BD＝eq\f(1,2)BC＝5，∴eq\f(DE,4)＝eq\f(5,5＋\f(5,2))，∴DE＝eq\f(8,3).10．如图1­3­41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200mm，高AD＝300mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．图1­3­41【解】设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为xmm.∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴eq\f(AP,AD)＝eq\f(EH,BC)，∴eq\f(300－2x,300)＝eq\f(x,200)，解得x＝eq\f(600,7)(mm)，2x＝eq\f(1200,7)(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为eq\f(600,7)mm和eq\f(1200,7)mm.[能力提升]1．如图1­3­42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()图1­3­42A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3【解析】设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即eq\f(x,2)＝eq\f(1－x,1)，所以x＝eq\f(2,3)，于是eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2).【答案】C2．如图1­3­43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()图1­3­43A．10 B．12C．16 D．18【解析】∵AB∥EF∥CD，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(20,80)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(4,5)，∴EF＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×20＝16.【答案】C3．在△ABC中，如图1­3­44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________.【导学号：07370018】图1­3­44【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，∴S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,BC)))2＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,m)))2＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(\r(2),2)m.【答案】eq\f(\r(2),2)m4．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下两底分别为10cm、20cm的梯形空地上种植花木．(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(如图1­3­45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；图1­3­45(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？【解】(1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴eq\f(S△AMD,S△CMB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,BC)))2＝eq\f(1,4).∵种植△AMD地带花费160元，∴S△AMD＝eq\f(160,8)＝20(m2)，∴S△CMB＝80(m2)．∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．(2)设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h，∵S△AMD＝eq\f(1,2)×1