第五章空间形态

第五章空间形态一、长度1、数字线状物体的长度空间物体抽象为点、线、面、体等，除点以外的空间物体都具有形态特征。§5－1线状物体的形态分析1）算法缺陷：计算的长度小于实际长度2）改变计算精度的途径：通过合理的选择曲线坐标点串来改善精度。（较好）适当的加密坐标点对，但加大了数据量。1）华罗庚直线外推法:对地图上曲线以两脚规按不同的脚距（d1和d2，假设d1>d2）分别量测曲线，相应地将得到曲线长度l1和l2，由于d1>d2，故l2>l1，且l2更接近于曲线长度真值。在x，y直角坐标系中，作平行于x轴地直线段，长度分别为l1和l2，过两线段顶点作一直线相交x轴于x，则有：X的值就是直线外推法计算所得的曲线长度，它是基于两次量测的结果。2、模拟线状物体2）伏尔科夫曲线外推法：基于抛物线的曲线外推法，由n个两脚规距di与n个长度量测值li所构成的曲线是一条抛物线l0是曲线实际长度，l为量测值，d为量测脚距，为系数据上式用二次量测值即可求出l0，即3、栅格情况下线状物体的长度用栅格表示的空间数据，线状物体的长度直接一地物的骨架线延伸通过的栅格数目来计算。要求骨架线是八方向连接。432501678栅格1，3，5，7与栅格0以边相邻，而栅格2，4，6，8则与栅格以顶点相邻。四方向连接：定义以边相邻的栅格是连接的。八方向连接：定义以边相邻和以角相邻的栅格都是连接的。四方向八方向线状地物长度根据八方向连接的骨架线计算：D为栅格边长，Nd为骨架线中以边相邻的栅格对数，Ni为以角相邻的栅格对数。二、分数维数1、整数维数与分数维数

1）整数维：根据欧氏理论，用整数表示几何物体的维数。0、1、2、3维等。

整数表示的维数往往不能充分反映几何物体的某些特性，如形态和空间延展特性。Peano曲线Koch曲线2）分数维“英国海岸线有多长？”——Mandelbrot——“当量测曲线的尺子越小时，曲线长度就越长，不同的曲线，随着尺子的变化，其总长亦发生变化。”分数维：用分数表示几何物体的几何形态特征，一般的曲线的维数为：1<Df<2。分数维的大小描述了物体的复杂程度。步长变化——曲线长度——变化率不等2、分维数的尺度

1）曲线量测长度L与量测尺度D之间的关系2）量测面积S与周长P的关系3）曲线分数维长度L与量测尺度（脚距）d之间的关系

4）曲线量测长度L与比例尺分母m之间的关系。根据分数维理论，分数维测度与相应的尺度之间有下述关系。3、分数维特征

1）相似性：整体与局部的相似，这种相似可以是形态、空间、时间、功能等方面的相似。——小范围内的地理现象的变化模式－－比例缩放－－较大范围内的变化模式2）可以是规则与确定性的，也可以是随机与统计性的。——前者严格满足自相似原则，是纯数学的。——后者仅指在概率分布和统计规律上满足自相似原则三、曲率和弯曲度1、曲率：曲线切线方向角相对于弧长的转动率，是描述曲线的局部弯曲特征。2、弯曲度：是曲线长度与曲线两端点定义的线段长度之比值，描述曲线整体弯曲特征：弯曲程度及曲线的迂回特性。Ll弯曲度S=L/l弯曲度的大小可以衡量交通的便利性。一、定义曲线插值：根据线状物体的离散点来确定描述出一条连续曲线，该曲线必须通过已知的离散点。曲线光滑：指所生成的曲线不但要连续，且至少一阶可导，甚至高阶也可连续。二、为什么要插值、光滑1）采样点为离散点，连接时为折线2）内插格网后，所求得的插值也需光滑。3）压缩后，点变稀疏，必须插值使其光滑。三、基本要求：1）曲线必须严格通过已知数据点2）在两点之间插值的曲线保持一定的松紧度3）同一结点两侧两段曲线在该结点上保持一阶可导、二阶可导4）光滑曲线不能自身相交§5－2曲线插值与光滑四、插值与光滑方法1、线性插值在离散点的相邻两点之间，用直线段进行连接，其直线方程为：

P（u）＝Pi（1－u）＋Pi＋1u支持线性插值的根据：（1）两相邻抽样点之间的曲线段总是近似与直线（2）直线可认为是一切曲线的“均值”缺陷：曲线以折线表示，不光滑，视觉效果差。2、分段三次多项式插值1）四型值点插值方法对离散点序列中的相邻两点（Xi，Yi），（Xi＋1，Yi＋1）之间的曲线，可以用一个三次多项式表示：

Y＝C0＋C1X+C2X2＋C3X3人为地设定各已知离散点（Xi，Yi

）上的导数Y’

i，Yi＝C0＋C1Xi+C2Xi2＋C3Xi3Y’i＝C1＋2C2Xi+3C3Xi2Yi＋1＝C0＋C1Xi＋1+C2Xi＋12＋C3Xi＋13Y’i＋1＝C1＋2C2Xi＋1+3C3Xi＋123、正轴抛物线加权平均法4、斜轴抛物线加权平均法5、三点求导分段三次多项式插值法6、五点求导分段三次多项式插值法7、一般样条函数插值法8、张力样条函数插值法五、基本步骤：1、确定相邻两点之间的插值函数2、求解插值函数的系数（用导数、已知点坐标）3）确定插值步长4）按步长求定插值点，连成光滑曲线一、面积和周长1、面积是面状物体的最基本的形态参数，其面积计算公式为：2、栅格数据表示的面状物体可直接通过栅格计数来获取。§5－3曲面物体的形态分析二、一维测度面状物体A为一平面连通闭集，在A上可定义一维测度：长轴LA,短轴WA和大地长度GA。长轴LA:设A的重心为C，A中相距直线距离最远的两点间连线记为L’A,沿L’A垂直方向平移L’A至C得LA.短轴WA：以LA为长边方向作A的外接矩形，WA为过C点并垂直于LA且长度等于矩形短边的直线段。大地距离Gd和大地长度GA：设X1，X2为A中任意相异两点，其间的大地距离为包含于A中的两点间通道的最短者，GA为A中任意点对间大地距离的最长者。在大多数情况下，LA和WA可以描述A的空间延展特性和走向。大地长度和距离反映了A中实地距离。二、最大内切圆、最小外接圆和最小凸包1、最大内切圆计算方法：对面状物体A进行栅格化处理，然后通过欧式距离变换方法。对A进行距离变换，具有最大值的栅格即为最大内切圆圆心，栅格的值为内切圆的半径。内切圆不是唯一的传染病医院的选址2、最小外接圆1）多边形的最小外接圆与多边形有两个或两个以上的交点，这些交点必为多边形的顶点。2）若多边形的一个外接圆与多边形具有两个以上的交点，且这些交点又分布于圆的某个半圆上，则此圆一定不是该多边形的最小外接圆。3）外接圆条件：具有两个以上交点，且这些交点分布于任一直线两侧。C14）最小外接圆求解过程：确定初始外接圆初始外接圆可以与多边形只有两个交点，然后即可以逐步移动圆心O的方法确定最小外接圆。判断交点是否位于某一直线的同侧对所有交点，所计算的圆弧角度均大于90，则所有交点位于某直径的同一侧，否则这些交点必可被一直径分为左右两个部分。将圆心O向O’移动找出C3逐一比较与O同一侧的所有顶点，找出使圆心在OO’之间，并使半径为最大的顶点，即是所求的C3。C23、最小凸包

1）定义：对简单的多边形P，Pc是包含P的最小凸多边形注：多边形的最小凸包与该多边形的顶点集合的最小凸包是一致的。2）计算方法硬币算法：（1）找出点集中的极限点，不失一般性，以y值最小的点为极限点，记作P0（2）以P0为原点，将其余的n－1个点按顺时针方向排序，（3）在点P0，P1,P2上分别设置一枚硬币，标记为“后”“中”“前”，则这三枚硬币构成一个“右拐”，即“前”位于从“后”到“中”方向上的右侧。（4）执行循环：如果“前”“中”“后”构成“右拐”或者三点共线，则：将后挪到序列中“前”的下一点，重新标记硬币：“后”记为“前”，“前”记为“中”，“中”记为“后”；否则（3枚硬币构成“左拐”）将“中”挪到“后‘的后一点（序列中的前一点）将“中”原先所在的点从序列中删除重新标记硬币：“中”记为“后”，后记为中；循环结束条件：“前”到达P并且3枚硬币构成“右拐”；5）依次连接序列中剩余的点，这些点依次相连则构成点集的凸包。§5－4曲面拟合为了完整地描述空间曲面，为了从抽样数据中导出空间曲面地其他信息，需要进行曲面拟合。曲面拟合地根本任务是根据已知的数据点拟合一个数学曲面来表示原空间曲面。二、基于三角形单元的分块插值对由P1，P2，P3三个数据点确定的三角形单元，拟合一平面如下：

Z＝f（x，y）＝a0＋a1x＋a2y三、基于正方形格网的分块插值1、双线性多项式曲面插值2、双三次多项式曲面插值一、分块插值和全局插值分块插值：将整个分析区域，根据数据格网剖分为若干个小单元，每个单元上独立地拟合一个小曲面片，若干个小曲面片连接起来构成整个空间曲面。全局插值：用一个统一的数学曲面来描述待插曲面，这个统一的曲面必须在全部抽样点上与抽样数据吻合。一、分数维1、空间曲线的分数维Df描述了空间曲线的复杂程度和空间占布能力。Df＝1，曲线非常平缓，可以用一个简单的多项式函数模拟。Df（1，2），曲线具有一定的模糊度，占有一定的空间。Df＝2，曲线拓展为面2、空间曲面的分数维Df值域为【2，3】，描述了空间曲面的复杂程度Df＝2，表现为一个平面。Df＝＝3，表现为一个非常复杂的曲面。二、表面积1、三角形格网的表面积：即格网上各三角形面片的面积和2、正方形格网的表面积，空间单值曲面Z＝f（x，y）的面积由重积分计算。§5－5空间曲面的形态参数地形表面是一个极不规则、复杂的曲面。在地学研究中，常用坡度、坡向、表面积、表面粗糙度、切割密度等多种地表形态描述擦秘书来描述地表形态的一种或多种特征及其地形表面的复杂程度。三、体积体积通常是指空间曲面与一基准，面之间的空间的体积。当体积为正时，工程中称为挖方，当体积为负时，工程中称为填方。空间曲面的坡度是点位的函数，除非曲面是一平面，否则曲面上不同位置的坡度是不相等的。给定点位的坡度是曲面上该点的法线方向n与垂直方向之间的夹角过格网单元所拟合的曲面片上某点的切平面的法线的正方向在平面上的投影与正北方向的夹角，即法方向水平投影向量的方位角五、坡向

四、坡度§5－6曲面结构线的计算空间曲面的形态主要受到结构线的控制，因此结构线的确定是曲面形态分析的重要内容。一、极值点计算谷线由连续的极小值点构成，而脊线是由连续的极大值点构成，因此按纵、横两个方向并按格网密度，以样条函数过格网高程点内插曲面的纵、横剖面线，逐剖面线计算出极大值点和极小值点，这些点就是生成结构线的任选点。二、谷线的跟踪1）找出具有最大高程值的尚未跟踪的极小值点；2）从此点开始寻找其后继点，以该点为中心定义一两倍于DTM格网边长的搜索窗口，位于该窗口内的某极小值点被确认为下一个谷线点，必须满足以下三个条件：3）检查确定的谷线点是否已被跟踪或是位于DTM边缘，如是，跟踪停止，启动一根新的谷线跟踪，否则转2）。三、脊线跟踪1、脊线线段的跟踪1）找出数值最小的尚未被跟踪的点作为脊线段的起点（该点）必位于格网边上；2）考察另外三边，寻找尚未被跟踪的极大值点且检查该点于当前点的连线是否与已生成的某条谷线相交；3）如不相交，则确认该点，继续跟踪，否则当前脊线段被跟踪完成，启动新的脊线段。2、脊线体系生成

1）选择具有最低值的端点的线段，其低值端点作为一条脊线的起点，另一端点作为当前连接点。2）考察所有其余的未被连结的线段，如果由任何线段具有与当前连接点可能连接的端点，则判断a.如有一条这样的线段，如果连接这两条线段不与谷线或其他已生成的脊线相交，则连接两线段，将新确认线段的另一端点作为新的当前连接点，继续搜索；b.如有多于一条这样的线段，则选择平均搞得最高的线段连接之，并作类似于a的处理，继续搜索，如果没有可与其连接的线段，则本脊线搜索完备，在启动另一条新脊线前，先检查以下有无已搜索完备的脊线通过当前连接点所在格网，如有则该脊线中与当前连接点最近的脊线点与当前连接点相连，形成脊线分之点。§5－7DEM分析一、DEM

和DTMDEM（DigitalElevationModel），是用一组有序数值阵列形式表示地面高程的一种实体地面模型，是数字地形模型(DigitalTerrainModel，简称DTM)的一个分支。DTM，描述包括高程在内的各种地貌因子，如坡度、坡向、坡度变化率等因子在内的线性和非线性组合的空间分布数据。

DEM用途广泛可用于如土方量计算、通视分析等；在防洪减灾方面，DEM是进行水文分析如汇水区分析、水系网络分析、降雨分析、蓄洪计算、淹没分析等;

在无线通讯上，可用于蜂窝电话的基站分析等。二、DEM的表示方法数学方法根据区域所有的高程点数据，用傅立叶级数和高次多项式拟合统一的地面高程曲面。（整体）将地表复杂表面分成正方形规则区域或面积大致相等的不规则区域进行分块搜索，根据有限个点进行拟合形成高程曲面。（局部）图形方法线模式表示等高线、山脊线、谷底线、海岸线等等点模式建立DEM的最常见方法按照规格格网采样按照不规格格网采样密度可以一致，可以不一致三、DEM的主要模型规格格网模型规则网格，通常是正方形，也可以是矩形、三角形等规则网格。规则网格将区域空间切分为规则的格网单元，每个格网单元对应一个数值。数学上可以表示为一个矩阵，在计算机实现中则是一个二维数组。每个格网单元或数组的一个元素，对应一个高程值。等高线模型等高线模型表示高程，高程值的集合是已知的，每一条等高线对应一个已知的高程值，这样一系列等高线集合和它们的高程值一起就构成了一种地面高程模型。

不规则三角网模型(TIN,TriangularIrregularNetwork)TIN模型根据区域有限个点集将区域划分为相连的三角面网络，区域中任意点落在三角面的顶点、边上或三角形内。如果点不在顶点上，该点的高程值通常通过线性插值的方法得到（在边上用边的两个顶点的高程，在三角形内则用三个顶点的高程）。层次模型层次地形模型（LayerofDetails，LOD）是一种表达多种不同精度水平的数字高程模型。大多数层次模型是基于不规则三角网模型的，通常不规则三角网的数据点越多精度越高，但数据点多则要求更多的计算资源。层次地形模型允许根据不同的任务要求选择不同精度的地形模型。存在的问题层次的数据必然导致数据冗余自动搜索的效率问题，三角网形状的优化问题模型可能允许根据地形的复杂程度采用不同详细层次的混合模型在表达地貌特征方面应该一致四、DEM的建立DEM数据采集地面测量现有地图数字化GPS结合雷达、激光测高仪等数字摄影测量数字摄影测量沿等高线采样