高中数学人教A版2第二章推理与证明直接证明与间接证明2

直接证明与间接证明综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．[知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2．必修五中基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)是怎样证明的？答要证eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，只需证a＋b≥2eq\r(ab)，只需证a＋b－2eq\r(ab)≥0，只需证(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0，因为(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0显然成立，所以原不等式成立．[预习导引]1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一综合法的应用例1在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②由①②，得B＝eq\f(π,3). ③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤由②③⑤，得A＝B＝C＝eq\f(π,3).所以△ABC为等边三角形．规律方法利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.证明法一∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥4.法二∵a，b是正数，∴a＋b≥2eq\r(ab)>0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))>0，∴(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4.又a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.法三eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．要点二分析法的应用例2设a，b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．证明当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a＋b))2，即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．规律方法用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2已知a，b是正实数，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).证明要证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只要证aeq\r(a)＋beq\r(b)≥eq\r(ab)·(eq\r(a)＋eq\r(b))．即证(a＋b－eq\r(ab))(eq\r(a)＋eq\r(b))≥eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))，因为a，b是正实数，即证a＋b－eq\r(ab)≥eq\r(ab)，也就是要证a＋b≥2eq\r(ab)，即(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.该式显然成立，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).要点三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1.求证：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.证明要证明：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2)·\f(a＋c,2)))<logx(abc)．由已知0<x<1，只需证明eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc.由公式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)>0，eq\f(b＋c,2)≥eq\r(bc)>0，eq\f(a＋c,2)≥eq\r(ac)>0，又∵a，b，c是不全相等的正数，∴eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>eq\r(a2b2c2)＝abc.即eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,2)>abc成立．∴logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc成立．规律方法综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．跟踪演练3设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.证明由已知条件得b2＝ac， ①2x＝a＋b,2y＝b＋c. ②要证eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2，只要证ay＋cx＝2xy，只要证2ay＋2cx＝4xy.由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y答案D解析∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，则eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8)，∴x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故选D.2．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2答案C解析根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，∴只需证：eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(6)＋eq\r(3)，只需证：(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2.3．求证：eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)<2.证明因为eq\f(1,logba)＝logab，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360<log19361＝2，所以eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)<2.4．已知eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．证明要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝3，只需证eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－eq\f(1,2)，∵eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－eq\f(1,2)显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．若a2>b2且ab>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)答案C解析对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,b<0))，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故C对；对于D：若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,b<0))，则D不成立．2．A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，又A、B为三角形的内角，∴sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．ab<1<eq\f(a2＋b2,2)C．ab<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<ab<1答案B解析因为a≠b，故eq\f(a2＋b2,2)>ab.又因为a＋b＝2>2eq\r(ab)，故ab<1，eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(a＋b2－2ab,2)＝2－ab>1，即eq\f(a2＋b2,2)>1>ab.5．要证明eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)，可选择的方法有很多，最合理的应为________．答案分析法6．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为________．答案a>c>b解析∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝4eq\r(3)－6＝eq\r(48)－eq\r(36)>0，∴a>c.∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))＞1，∴c＞b.7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab证明法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab法二要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2∴上式成立．二、能力提升8．设0<x<1，则a＝eq\r(2)x，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一个是()A．a B．bC．c D．不能确定答案C解析∵b－c＝(1＋x)－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2－1,1－x)＝－eq\f(x2,1－x)<0，∴b<c.又∵b＝1＋x>eq\r(2)x＝a，∴a<b<c.9．已知a，b为非零实数，则使不等式：eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．ab>0 B．ab<0C．a>0，b<0 D．a>0，b>0答案C解析∵eq\f(a,b)与eq\f(b,a)同号，由eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2，知eq\f(a,b)<0，eq\f(b,a)<0，即ab<0.又若ab<0，则eq\f(a,b)<0，eq\f(b,a)<0.∴eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a))))＝－2，综上，ab<0是eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的充要条件，∴a>0，b<0是eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的一个充分而不必要条件．10．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C11．已知a＞0，b＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1.求证：eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b)).证明要证eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b))成立，只需证1＋a＞eq\f(1,1－b)，只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，∴a－b＞ab，只需证：eq\f(a－b,ab)＞1，即eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1.由已知a＞0，eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＞1成立，∴eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b))成立．12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－eq\f(p,2)相切．证明如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|，由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，因此只需证|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－eq\f(p,2)相切．三、探究与创新13．(2023·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，eq\f(2Sn,n)＝an＋1－eq\f(1,3)n2－n－eq\f(2,3)，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有eq\f(1,a1)＋eq