第二章过程特性及其数学模型

自动化控制系统结构：4自动化控制系统特点：2PID图：A\F\T\P\LC\I\R安装位置过渡过程？过渡过程评价指标：基本5内容回顾*1第二章过程特性及其数学模型第二章过程特性及其数学模型内容提要化工过程的特点及其描述方法对象数学模型的建立建模目的机理建模实验建模描述对象特性的参数放大系数Κ时间常数Τ滞后时间τ*3第二章过程特性及其数学模型第一节化工对象的特点及其描述方法化工对象（过程）:需要控制其参数的设备或装置。一.化工对象特点：1.差异性：设备和装置类型不同(换热器、反应器、塔设备、流体输送设备)，尺寸不同，内部物料不同；需要控制的参数也各不相同(L、T、P、F)。2.实际情况：操作情况，环境差异。3.能动性：根据对对象特性的了解可以采取相应的措施，以达到最佳操作条件。所以，在控制系统的的设计和投运过程中，都离不开对对象特性的研究。二.对象特性：

用数学方法描述对象的输出量随输入量及时间变化关系。三.数学模型的分类：

静态模型：

动态模型：四.数学模型的表达方式：1.对象特性：用数学方法描述对象的输入量与输出量及时间变化关系。输入量(输入参数):

干扰作用和控制作用。输出量(输出参数):

被控变量对象干扰控制作用输入输入输出y干扰通道：干扰输出的关系控制通道：控制作用输出的关系不同的通道函数关系不同。（差异性）通道:

由对象的输入参数至被控变量的信号联系。2.对象特性的描述方法1.机理法:根据对象或生产过程的内部机理，列出相关的平衡方程。

物料平衡、能量平衡、物性方程、设备特性微分方程等。2.测试法:在所研究的对象上，对生产过程施加特定输入作用，然后测取输出量；得到一系列的实验数据,来分析系统的数学描述模型。三.数学模型的分类：静态模型：输入→输出的传递函数关系。（设备、流程设计的基础）

精馏塔：QF、QD、QW、TF、P

换热器：F入、T出、F、T动态模型：输入变化→输出随时间的变化关系。（控制系统设计的基础）△x→y（t）对于控制系统，动态模型更重要静态数学模型描述的是对象在静态时的输入量与输出量之间的关系。动态模型描述的时对象在输入量改变以后输出量的变化情况。静态数学模型是对象在达到平衡状态时的动态数学模型的一个特例。静态数学模型动态数学模型基础特例*9第二章过程特性及其数学模型一般是在工艺流程和设备尺寸等都确定的情况，研究对象的输入变量是如何影响输出变量的。研究的目的是为了使所设计的控制系统达到更好的控制效果。

在产品规格和产量已确定的情况下，通过模型计算，确定设备的结构、尺寸、工艺流程和某些工艺条件。

（a）（b）（c）用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学模型（c）不完全相同。4*10第二章过程特性及其数学模型四.数学模型的表达方式：1.非参量模型：用曲线、表格表达数学模型。输入量0t0时间t2.参量模型：用数学方程式来描述数学模型。

普遍形式：

any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y'(t)+any(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+…+b1x'(t)+bnx(t)

多数情况：

any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y'(t)+any(t)=x(t)一阶对象：a1y'(t)+ay(t)=x(t)输出量0t0时间t第二节对象数学模型的建立一、建模目的（1）控制系统的方案设计

（2）控制系统的调试和控制器参数的确定

（3）制定工业过程操作优化方案

（4）新型控制方案及控制算法的确定

（5）计算机仿真与过程培训系统

（6）设计工业过程的故障检测与诊断系统

*12第二章过程特性及其数学模型二.机理建模根据对象或生产过程的内部机理，列出相关的平衡方程。

物料平衡、能量平衡、物性方程、设备特性方程等。是对象特性的理论描述，有明确的物理意义，通用性好，便于模型参数的调整。缺点：建模过程复杂，有些对象无法建立模型；而且在建模过程中往往需要一些近似，使得模型对对象的描述不准确。二.机理建模1.一阶对象：物料平衡:

Q1≠Q2

(Q1－Q2)dt＝Adh

h1Q12Q2T:时间常数、K:放大系数h→Q1（t）二.机理建模2.积分对象：物料平衡:h→Q1（t）

Q1≠Q2

(Q1－Q2)dt＝Adh

Q2不变h1Q1Q2RC电路eie0RC根据基尔霍夫定律*16第二章过程特性及其数学模型典型的微分方程

典型的阶跃响应函数

一阶对象：*17第二章过程特性及其数学模型二.机理建模3.二阶对象：

物料平衡:h2→Q1（t）

(Q1－Q12)dt＝Adh1

①(Q12－Q2)dt＝Adh2

②

h11Q1h2R1Q12R2Q2·二阶线性对象（总结）典型的微分方程典型的阶跃响应函数*19第二章过程特性及其数学模型理论推导：

1.微分方程阶数很高

2.假设因素很多

3.假设的次要因素可能在一定程度上成为主要因素

(数据不太可靠)

机理建模对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时，不能适用。具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大的适应性，便于对模型参数进行调整。

优点缺点*21第二章过程特性及其数学模型过程特性参数可以由过程的数学模型通过求解得到，但是在生产过程中，很多过程的数学模型是很难得到的。工程上一般用实验方法来测定过程特性参数。最简便的方法就是直接在原设备或机器中施加一定的扰动，通过该过程的输出变量进行测量和记录，然后通过分析整理得到过程特性参数。三、实验建模*22第二章过程特性及其数学模型对象特性的实验建模——在被控对象上人为加入输入量，记录表征对象特性的输出量随时间的变化规律。

被控对象输入量输出量系统辨识对象模型阶跃信号脉冲信号伪随机信号……表格数据响应曲线……阶跃输入t0At0A矩形脉冲t1应用对象的输入输出的实测数据来决定其模型的结构和参数----系统辨识*23第二章过程特性及其数学模型加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果；输入量/输出量的起始时间是相同的，起始时间是输入量的加入时间，输出量的响应曲线可能滞后于输入量的响应，其原因是纯滞后或容量滞后；操作要求：*24第二章过程特性及其数学模型在测试过程中尽可能排除其它干扰的影响，以提高测量精度；在相同条件下重复测试多次，以抽取其共性；在测试和记录的过程中，应持续到输出量达到新的稳态值；许多工业对象不是真正的线性对象，由于非线性关系，对象的放大倍数是可变的，所以作为测试对象的工作点应该选择正常的工作状态（一般要求运行在额定负荷、正常干扰等条件下）。*25第二章过程特性及其数学模型实验建模要求小结:*26条件正常工作状态生产平稳没有其他干扰操作输入输出同步新稳定状态多次第二章过程特性及其数学模型阶跃扰动法直观、简便易行、所以得到了广泛的应用。但是阶跃扰动时间较长、扰动因素较多的话，会影响测试精度；由于工艺条件的限制，阶跃扰动幅度不能太大，所以在实施扰动法时应该在系统相对稳定的情况下进行。一般所加输入作用的大小事取额定值的5~10%。1.阶跃扰动法：阶跃输入t0A*27简易但精度较差第二章过程特性及其数学模型矩形脉冲干扰法来测取对象特性时，由于加在对象的干扰，经过一段时间后即被去除，因此干扰的幅度可以取得比较大，以提高实验精度，对象的输出量又不至于长时间地偏离给定值，因而对正常生产影响较小。目前，这种方法也是测取对象动态特性地常用方法之一。t0A矩形脉冲t1*28幅值较大，实验精度较高第二章过程特性及其数学模型2.矩形脉冲扰动法在过程的输入端施加一系列频率不同的周期性扰动，一般以正弦波居多。由于正弦波扰动围绕在设定值上下波动，对工艺生产的影响较小，测试精度较高，可直接取得过程的频率特性，数据处理简单、直观。本法需要复杂的正弦波发生器，测试的工作量较大。*29第二章过程特性及其数学模型3.周期扰动法该法可直接利用正常运行所记录的数据进行统计分析，建立数学模型，进而获得过程特性参数。*30第二章过程特性及其数学模型4.统计分析法四、对象特性的混合建模

由于机理建模和实验建模各优特点，目前比较实用的方法是将二者结合起来，成为混合建模。混合建模的过程：先通过机理建模获取数学模型的结构形式，通过实验建模（辨识）来求取（估计）模型的参数。

在已知模型结构的基础上，通过实测数据来确定其中的某些参数---参数估计*31第二章过程特性及其数学模型

用特性方程来描述对象特性在实际操作中很不直观，故提取了3个参数来直接描述对象特性。下面研究前提，假定输入量是有一定幅值的阶跃作用。第三节描述对象特性的参数*32第二章过程特性及其数学模型一、放大系数K

对于前面介绍的水槽对象，当流入流量Q1有一定的阶跃变化后，液位h也会有相应的变化，但最后会稳定在某一数值上。如果我们将流量Q1的变化ΔQ1看作对象的输入，而液位h的变化Δh看作对象的输出，那么在稳定状态时，对象一定的输入就对应着一定的输出，这种特性称为对象的静态特性。*33第二章过程特性及其数学模型图2-12水槽液位的变化曲线或K在数值上等于对象重新稳定后的输出变化量与输入变化量之比。K越大，就表示对象的输入量有一定变化时，对输出量的影响越大，即被控变量对这个量的变化越灵敏。26举例以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被控变量K的影响

生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少，触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量，来间接地控制转换率和其他指标。图2-13一氧化碳变换过程示意图图2-14不同输入作用时的被控变量变化曲线*35第二章过程特性及其数学模型K对过渡过程的影响阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，称为静态增益（输出静态变化量与输入静态变化量之比）。u广义对象fyK其它参数不变控制通道放大系数

干扰通道放大系数

*36第二章过程特性及其数学模型K0

越大控制变量u对被控变量y的影响越灵敏控制能力强Kf

越大干扰f对被控变量y的影响越灵敏。在设计控制系统时，应合理地选择K0使之大些，抗干扰能力强，太大会引起系统振荡。

*37第二章过程特性及其数学模型二、时间常数T

从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后，被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才能达到新的稳态值。图1-15不同时间常数对象的反应曲线如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？

在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。

29*39第二章过程特性及其数学模型举例简单水槽为例由前面的推导可知假定Q1为阶跃作用，t<0时Q1=0；t>0或t=0时Q1=A，如左图。则函数表达式为（2-33）图2-16反应曲线*40第二章过程特性及其数学模型

从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被控变量就发生变化，当t→∞时，被控变量不再变化而达到了新的稳态值h（∞），这时上式可得：或

对于简单水槽对象，K=RS，即放大系数只与出水阀的阻力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。（2-34）*41第二章过程特性及其数学模型将t=T代入式（2-33），得（2-35）将式（2-34）代入式（2-35），得（2-36）

当对象受到阶跃输入后，被控变量达到新的稳态值的63.2％所需的时间，就是时间常数T，实际工作中，常用这种方法求取时间常数。显然，时间常数越大，被控变量的变化也越慢，达到新的稳定值所需的时间也越大。*42第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数图2-17不同时间常数下的反应曲线T1＜T2＜T3＜T4

说明时间常数大的对象（如T4)对输入的反应较慢，一般认为惯性较大。*43第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？将式（2-33）对t求导，得（2-37）当t=0（2-38）当t

→∞时，式（2-37）可得（2-39）*44第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数图2-18时间常数T的求法

由左下图所示，式（2-38）代表了曲线在起始点时切线的斜率，这条切线在新的稳定值h（∞）上截得的一段时间正好等于T。由式（2-33），当t=∞时，h=KA。当t=3T时，代入式（2-33）得（2-40）

从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部变化范围的95％，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变化过程所需要的时间的一个重要参数。

结论*45第二章过程特性及其数学模型T对过渡过程的影响

时间常数：在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变化量的63.2％所需要的时间。或者：当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态值所需要的时间就是时间常数。*46第二章过程特性及其数学模型时间常数T是反映响应变化快慢的重要参数。用T表示的响应变化，T大反应慢，难以控制；T小反应快。T（其它参数不变）*47第二章过程特性及其数学模型控制通道TO大

响应慢、控制不及时、过渡时间tp长、超调量大控制通道TO小

响应快、控制及时、过渡时间tp短、超调量小控制通道TO太小

响应过快、容易引起振荡、降低系统稳定性。干扰通道的时间常数对被控变量输出的影响也是相类似的。*48第二章过程特性及其数学模型一般情况希望TO小些，但不能太小，Tf大些。*49第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数三、滞后时间τ定义分类

对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。滞后性质传递滞后容量滞后

传递滞后又叫纯滞后，一般用τ0表示。τ0的产生一般是由于介质的输送需要一段时间而引起的。

对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值。*50第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数1.传递滞后显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L有如下关系：（2-41）溶解槽及其反应曲线纯滞后时间举例第三节描述对象特性的参数从测量方面来说，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等原因也会造成传递滞后。蒸汽直接加热器

当加热蒸汽量增大时，槽内温度升高，然而槽内溶液流到管道测温点处还要经过一段时间τ0。所以，相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度T要经过时间τ0后才开始变化。注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。*52第二章过程特性及其数学模型图2-21有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线x为输入量，y（t）、yτ（t）分别为无、有纯滞后时的输出量时或若无纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述（2-44）则有纯滞后的对象特性可以用下述方程式描述（2-45）第三节描述对象特性的参数*53第二章过程特性及其数学模型一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。

举例前面介绍过的两个水槽串联的二阶对象将输出量h2用y表示，输入量Q1用x表示，则方程式可写为假定输入作用为阶跃函数，其幅值为A。已知，二阶常系数微分方程式的解是（2-46）（2-47）2.容量滞后*54第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数由于对应的齐次方程式为其特征方程为求得特征根为故齐次方程式的通解为式中，C1、C2为决定于初始条件的待定系数。（2-48）（2-49）（2-50）*55第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数式（2-46）的一个特解可以认为是稳定解，由于输入x＝A，稳定时将式（2-51）及式（2-50）代入式（2-47）可得用初始条件y(0)=0，y(0)=0代入式（2-52）可分别解得图2-22具有容量滞后对象的反应曲线

（2-51）（2-52）（2-53）（2-54）*56第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数将上述两式代入式（2-52），可得

上式便是串联水槽对象的阶跃反应函数。由此式可知，在t=0时y（t）=0；在t=∞时，y（t）＝KA。y（t）是稳态值KA与两项衰减指数函数的代数和。说明：输入量在作阶跃变化的瞬间，输出量变化的速度等于零，以后随着t的增加，变化速度慢慢增大，但当t大于某一个t1值后，变化速度又慢慢减小，直至t→∞时，变化速度减少为零。

（2-55）*57第二章过程特性及其数学模型第三节描述对象特性的参数图2-23串联水槽的反应曲线容量