2017-2018版高中数学第一章导数及其应用1.3.3导数的实际应用学案2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．3。3导数的实际应用明目标、知重点1.了解导数在解决实际问题中的作用.2。掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．导数在实际问题中的应用1．在经济生活中,为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．2．求实际问题的最大（小）值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）,然后再利用导数研究函数的最值．［情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具,本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模,细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f（x)．（2)确定定义域,一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3）求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．（4）下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为xdm，则版心的宽为eq\f(128,x)dm,此时四周空白面积为S(x)＝（x＋4）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（128,x)＋2）)－128＝2x＋eq\f（512，x）＋8，x>0。求导数，得S′(x）＝2－eq\f（512,x2)。令S′(x）＝2－eq\f（512,x2）＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为eq\f（128,x)＝eq\f（128，16)＝8.当x∈（0,16）时,S′（x)〈0；当x∈（16，＋∞)时，S′(x)>0.因此，x＝16是函数S（x）的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟（1）在求最值时,往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．（2）在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域．跟踪训练1如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案32,16解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为eq\f(512，x)米，因此新墙壁总长度L＝2x＋eq\f(512，x）(x〉0），则L′＝2－eq\f（512,x2）.令L′＝0，得x＝±16.∵x〉0，∴x＝16.当x＝16时，Lmin＝64,此时堆料场的长为eq\f(512,16)＝32(米)．探究点二利润最大问题例2某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r（单位:cm)是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?解由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r）＝0。2×eq\f(4，3)πr3－0.8πr2＝0.8πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(r3,3）－r2）)，0〈r≤6.令f′(r）＝0。8π（r2－2r）＝0.当r＝2时，f′（r)＝0.当r∈(0，2)时，f′(r）〈0；当r∈(2，6）时,f′(r）〉0。因此,当半径r>2时,f′（r）>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r〈2时，f′(r)<0，它表示f（r)单调递减，即半径越大,利润越低．∴半径为2cm时，利润最小，这时f（2）〈0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6cm时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有：(1）利润＝收入－成本；（2）利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位:千克)与销售价格x（单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3）＋10(x－6)2，其中3〈x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1）求a的值;（2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解（1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.（2）由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2，x－3)＋10（x－6）2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x)＝(x－3）［eq\f（2，x－3)＋10(x－6）2］＝2＋10（x－3）（x－6)2,3〈x〈6。从而,f′（x）＝10[(x－6）2＋2（x－3)(x－6)]＝30(x－4）(x－6）．于是，当x变化时，f′（x),f(x）的变化情况如下表：x（3,4）4（4，6）f′（x)＋0－f（x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间（3，6）内的极大值点,也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x）取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三费用（用材）最省问题例3已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h(8〈v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12km/h时，每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解设每小时的燃料费为y1，比例系数为k（k>0),则y1＝kv2，当v＝12时,y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5。设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·eq\f(200，v－8）＝eq\f（1000v2,v－8)，∴y′＝eq\f(2000vv－8－1000v2,v－82)＝eq\f（1000v2－16000v，v－82).令y′＝0,得v＝16,∴当v0≥16，即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000(元)；当v0〈16，即v∈(8,v0］时，y′〈0，即y在（8，v0］上为减函数，∴当v＝v0时，ymin＝eq\f(1000v\o\al(2，0），v0－8）（元)．综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省,为32000元;当v0〈16,即v＝v0时全程燃料费最省，为eq\f(1000v\o\al(2，0）,v0－8)元．反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3如图,有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r。计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形的面积为S.(1）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域;(2)求面积S的最大值．解(1）依题意，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系(如图所示),则点C的横坐标为x。设点C的纵坐标为y，则（x，y）满足方程eq\f（x2,r2)＋eq\f(y2，4r2）＝1(y〉0），解得y＝2eq\r（r2－x2)（0〈x〈r)．所以S＝eq\f（1,2)（2x＋2r)·2eq\r(r2－x2)＝2(x＋r)·eq\r（r2－x2）,其定义域为｛x｜0<x〈r}．(2）记f（x）＝4（x＋r)2(r2－x2），0〈x〈r，则f′（x)＝8(x＋r)2(r－2x）．令f′(x）＝0，得x＝eq\f(1，2）r，或x＝－r(舍去)．因为当0〈x〈eq\f(1，2)r时，f′（x）〉0；当eq\f（1,2)r<x<r时，f′(x)<0。所以f(eq\f（1，2)r)是f(x)的最大值．因此，当x＝eq\f（1，2)r时，S也取得最大值，最大值为eq\r（f\f（1,2)r)＝eq\f（3\r（3),2)r2，即梯形面积S的最大值为eq\f(3\r（3),2）r2。1．方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为（）A．4 B．6C．4。5 D．8答案A解析设底面边长为x，高为h,则V（x）＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2）,∴S（x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f（256,x2）＝x2＋eq\f（4×256,x），∴S′（x）＝2x－eq\f(4×256,x2）。令S′(x)＝0，解得x＝8,∴h＝eq\f（256,82)＝4。2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k〉0)．已知贷款的利率为0。0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486）,若使银行获得最大收益，则x的取值为(）A．0。0162 B．0.0324C．0.0243 D．0。0486答案B解析依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0。0486kx2，其中x∈（0，0.0486）．所以银行的收益是y＝0。0486kx2－kx3(0<x<0.0486）,则y′＝0.0972kx－3kx2(0〈x<0。0486）．令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0（舍去）．当0<x<0。0324时,y′〉0；当0.0324〈x<0。0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值,即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x(千米/时）的函数解析式可以表示为y＝eq\f（1，128000)x3－eq\f（3,80)x＋8(0〈x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f（100,x）小时，设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,128000）x3－\f(3，80）x＋8）)×eq\f（100,x）＝eq\f（1,1280）x2＋eq\f(800，x)－eq\f(15，4）（0<x≤120），h′（x)＝eq\f（x,640）－eq\f（800，x2)＝eq\f（x3－803,640x2）(0<x≤120)．令h′（x）＝0，得x＝80.因为x∈(0，80)时，h′(x)〈0,h（x)是减函数;x∈(80，120]时，h′（x)>0，h(x）是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h（80)＝11。25（升)．因为h（