2017-2018版高中数学第一章统计5.1估计总体的分布5.2估计总体的数字特征学案3

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18学必求其心得，业必贵于专精PAGE5．1估计总体的分布5．2估计总体的数字特征[学习目标]1.学会列频率分布表，会画频率分布直方图.2.会用频率分布表或频率分布直方图估计总体分布,并作出合理解释.3。在解决问题过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，认识统计的实际作用，初步经历收集数据到统计数据的全过程．知识点一频率分布表与频率分布直方图1．用样本估计总体的两种情况(1)用样本的频率分布估计总体的分布．（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征．2．作频率分布直方图的步骤（1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差;（2）决定组距与组数：将数据分组时,组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整"；③当样本容量不超过120时,按照数据的多少,通常分成5～12组．（3）将数据分组：按组距将数据分组，分组时,各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．(4）列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.(5）画频率分布直方图：画图时,应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×eq\f（频率,组距)＝频率．思考为什么要对样本数据进行分组？答不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率,从而估计总体的分布特征．知识点二频率折线图在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．随着样本量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线．题型一频率分布直方图的绘制例1调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位：cm)如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161（1）作出频率分布表；（2)画出频率分布直方图．解(1）最低身高151cm,最高身高180cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下:分组频数频率［149.5，153。5)10.025［153。5，157。5）30。075［157。5,161。5）60。15［161.5,165。5）90.225[165。5,169.5）140.35［169。5,173.5）30。075［173.5，177.5）30.075[177.5,181.5]10。025合计401（2)频率分布直方图如图所示．反思与感悟1.组数的决定方法是：设数据总数目为n，一般地,当n≤50，则分为5~8组；当50≤n≤120时，则分为8～12组较为合适．2．分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05,以此类推．3．画频率分布直方图小长方形高的方法是:假设频数为1的小长方形的高为h，则频数为k的小长方形高为kh.跟踪训练1美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901年就任,当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根,他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：57，61，57，57,58，57,61，54，68，51,49,64，50，48,65,52，56，46，54,49，51,47,55,55，54，42,51,56,55，51，54，51,60,62,43，55,56，61，52，69，64,46，54,48（1）将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．（2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．解(1）以4为组距，列表如下：分组频数频率[41.5，45。5）20.0455［45.5,49.5）70。1591[49.5,53.5）80.1818[53.5，57。5）160.3636［57。5，61.5）50。1136［61。5,65.5)40。0909[65.5，69。5］20.0455合计441。00（2）从频率分布表中可以看出60％左右的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．题型二频率分布直方图的应用例2为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示），图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12。(1）第二小组的频率是多少?样本容量是多少？（2)若次数在110以上(含110次）为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？解（1）频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为eq\f(4，2＋4＋17＋15＋9＋3）＝0.08。因为第二小组的频率＝eq\f(第二小组的频数，样本容量），所以样本容量＝eq\f(第二小组的频数，第二小组的频率）＝eq\f（12,0.08)＝150.（2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为eq\f(17＋15＋9＋3，2＋4＋17＋15＋9＋3)×100％＝88％.反思与感悟1。频率分布直方图的性质:(1)因为小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距）＝频率,所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．(2）在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1。（3）eq\f(频数，相应的频率)＝样本容量．2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．跟踪训练2如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15，18）内频数为8。（1)求样本在［15,18）内的频率；(2)求样本容量；(3)若在［12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33)内的频数．解由样本频率分布直方图可知组距为3.(1)由样本频率分布直方图得样本在［15，18）内的频率等于eq\f(4,75）×3＝eq\f（4,25)。(2)样本在[15，18)内频数为8，由（1）可知,样本容量为eq\f（8,\f(4，25））＝8×eq\f（25,4)＝50。（3）∵在[12，15)内的小矩形面积为0。06，∴样本在[12,15）内的频率为0.06，故样本在[15，33）内的频数为50×（1－0。06)＝47,又在[15,18）内频数为8，故在[18,33）内的频数为47－8＝39.题型三频率分布与数字特征的综合应用例3已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1）填写下面的频率分布表：分组频数频率［121，123）[123,125）［125，127)［127，129）［129，131]合计（2)作出频率分布直方图;(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．解（1)分组频数频率[121,123)20。1［123,125）30。15[125，127）80。4[127,129）40。2［129,131］30.15合计201（2）（3)在[125,127）中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上,众数的精确值为125.（2)图中虚线对应的数据是125＋2×eq\f(5，8)＝126。25，事实上中位数为125。5.使用“组中值"求平均数：eq\x\to(x）＝122×0.1＋124×0.15＋126×0。4＋128×0。2＋130×0.15＝126。3，平均数的精确值为eq\x\to（x）＝125。75.反思与感悟1。利用频率分布直方图估计数字特征:(1)众数是最高的矩形的底边的中点；（2）中位数左右两侧小矩形的面积相等；(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与实际数据可能不一致．跟踪训练3某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0。40、0。15、0。10、0。05。求:（1)高一参赛学生成绩的众数、中位数．(2）高一参赛学生的平均成绩．解（1）由图可知众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0。3，∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0。5，得x＝5，∴中位数为60＋5＝65。（2)依题意,eq\x\to(x)＝55×0.3＋65×0。4＋75×0.15＋85×0。1＋95×0.05＝67，∴平均成绩约为67分．1．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是(）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小,估计越精确答案C解析由用样本估计总体的性质可得．2．频率分布直方图中，小矩形的面积等于(）A．组距 B．频率C．组数 D．频数答案B解析根据小矩形的宽及高的意义，可知小矩形的面积为一组样本数据的频率．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17。5，30］,样本数据分组为[17.5,20），[20，22.5），[22.5，25），［25，27.5），[27。5，30］．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(）A．56 B．60C．120 D．140答案D解析设所求人数为N,则N＝2.5×（0.16＋0.08＋0.04）×200＝140，故选D.4．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分）．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组,绘制成频率分布直方图如下图所示．已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0。30、0.15、0.10、0。05，而第二小组的频数是40,则参赛的人数是________，成绩优秀的频率是________．答案1000。15解析设参赛的人数为n,第二小组的频率为1－(0.30＋0。15＋0.10＋0。05)＝0.4，依题意eq\f（40，n）＝0.4,∴n＝100，优秀的频率是0.10＋0.05＝0。15.1。频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大