2017-2018版高中数学第一章三角函数7正切函数学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE15学必求其心得，业必贵于专精PAGE7正切函数学习目标1.理解任意角的正切函数的定义.2。能画出y＝tanx（x∈R，x≠eq\f（π,2)＋kπ，k∈Z）的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间（－eq\f(π，2),eq\f(π，2））内的单调性.4。正切函数诱导公式的推导及应用．知识点一正切函数的定义思考1设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么eq\f（b,a）何时有意义？思考2正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？梳理(1）任意角的正切函数如果角α满足：α∈R，α≠eq\f（π，2）＋kπ（k∈Z),那么,角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值________,我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝________,其中α∈R，α≠eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z.（2）正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tanα＝________（α∈R，α≠eq\f(π,2）＋kπ，k∈Z）．(3）正切值在各象限的符号根据定义知，当角在第____和第____象限时,其正切函数值为正；当角在第____和第____象限时,其值为负．知识点二正切线思考正切线是过单位圆上哪一点作出的？梳理如图所示，线段____为角α的正切线．知识点三正切函数的图像与性质思考1正切函数的定义域是什么？思考2能否说正切函数在整个定义域内是增函数？梳理解析式y＝tanx图像定义域{x｜x∈R,x≠kπ＋eq\f（π，2）,k∈Z｝值域R周期最小正周期是π奇偶性____函数对称中心单调性在开区间eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2）＋kπ,\f（π,2)＋kπ)）（k∈Z)上是增加的知识点四正切函数的诱导公式思考前面我们学习过π±α，－α，eq\f（π，2)±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限"的记忆口诀．对正切函数能适用吗？梳理函数角y＝tanx记忆口诀kπ＋αtanα函数名不变,符号看象限2π＋αtanα－α－tanαπ－α－tanαπ＋αtanαeq\f(π,2）＋α－cotα函数名改变，符号看象限eq\f(π,2）－αcotα类型一正切函数的概念例1若角θ的终边经过点A(－eq\f(4,5），m)，且tanθ＝eq\f(3，4），则m＝________.反思与感悟(1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tanα＝eq\f(b，a）.（2）已知角终边上的一点M（a，b)（a≠0），求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．跟踪训练1已知点P（－2a，3a)(a≠0）是角θ终边上的一点,求tanθ的值．类型二正切函数的图像及性质例2画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．反思与感悟（1)作出函数y＝｜f（x)|的图像一般利用图像变换方法,具体步骤是:①保留函数y＝f（x)图像在x轴上方的部分；②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．（2）若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性,延拓到定义域上即可．跟踪训练2将本例中的函数y＝|tanx｜改为y＝tan｜x|,回答同样的问题，结果怎样？类型三正切函数诱导公式的应用例3求下列各式的值．（1)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(2）eq\f（tan225°＋tan750°,tan－30°－tan－45°)。反思与感悟(1）熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．跟踪训练3化简:eq\f（sinπ＋α·cosπ－α·tan\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3π，2）－α)),tan\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2)＋α))·cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2）＋α)）).

1．函数y＝tan（2x＋eq\f（π,6))的最小正周期是（)A．πB．2πC。eq\f(π,2）D。eq\f（π,6)2．函数f（x）＝tan（x＋eq\f(π，4)）的递增区间为（）A．(kπ－eq\f(π，2），kπ＋eq\f(π，2））,k∈ZB．（kπ，(k＋1)π)，k∈ZC．(kπ－eq\f（3π，4),kπ＋eq\f(π,4)），k∈ZD．(kπ－eq\f（π，4），kπ＋eq\f(3π，4)),k∈Z3．在下列函数中同时满足：①在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2))）上递增;②以2π为周期；③是奇函数的是（）A．y＝tanx B．y＝cosxC．y＝taneq\f（x,2） D．y＝－tanx4．taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π，2)＋α))等于(）A．－cotα B．cotαC．tanα D．－tanα5．比较大小:tan1________tan4.1．正切函数的图像正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq\f（π，2），k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且是增加的．2．正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是｛x|x≠kπ＋eq\f(π,2）,k∈Z}，值域是R。(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan（ωx＋φ）(A，ω≠0)的周期为T＝eq\f（π,|ω｜)。(3）正切函数在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ)）（k∈Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间．

答案精析问题导学知识点一思考1当a≠0时，eq\f（b,a)有意义．思考2tanα＝eq\f(sinα,cosα）(α∈R，α≠eq\f（π,2）＋kπ，k∈Z）．梳理（1)eq\f(b，a)tanα（2）eq\f(sinα，cosα）（3)一三二四知识点二思考过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1，0)．梳理AT知识点三思考1{x|x∈R，x≠eq\f(π，2)＋kπ，k∈Z｝．思考2不能．正切函数y＝tanx在每段区间eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f（π，2)，kπ＋\f（π,2）））（k∈Z）上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．梳理奇eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2），0)），k∈Z知识点四思考因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)（α≠kπ＋eq\f（π,2）），所以口诀对正切函数依然适用．题型探究例1－eq\f(3，5）跟踪训练1解由于a≠0，∴tanθ＝eq\f(3a,－2a）＝－eq\f（3，2)。例2解由y＝｜tanx|，得y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(tanx，kπ≤x〈kπ＋\f（π,2）k∈Z，,－tanx,－\f（π，2）＋kπ〈x<kπk∈Z,）)其图像如图所示．由图像可知，函数y＝|tanx｜是偶函数，递增区间为eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f（π,2））)（k∈Z)，递减区间为eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z），周期为π.跟踪训练2解由于y＝tan｜x|＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(tanxx≥0，,tan－xx<0。）)其图像如下：由图像可知，函数y＝tan｜x｜是偶函数，递增区间为［0,eq\f（π，2）)，(kπ－eq\f(π，2),kπ＋eq\f(π,2))(k为正整数)，递减区间为(kπ－eq\f（π，2），kπ＋eq\f(π，2)）（k为负整数）和(－eq\f(π，2),0），不是周期函数．例3解(1）原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin（180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°）＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3×1＋1＝－2。(2)原式＝eq\f(tan180°＋45°＋tan2×360°＋30°,－tan30°＋tan45°）＝eq\f(tan45°＋tan30°,tan45°－tan30°）＝eq\f(1＋\f（\r(3)，3