2017-2018版高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用。2.理解诱导公式的推导过程。3。能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角,则2kπ＋α，π＋α，－α,2kπ－α,π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系?思考22kπ＋α,π＋α，－α，2kπ－α,π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系?试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα （1。8）sin(－α）＝－sinα,cos(－α)＝cosα (1。9)sin（2π－α）＝－sinα,cos(2π－α)＝cosα （1.10）sin（π－α)＝sinα，cos（π－α）＝－cosα (1。11)sin(π＋α）＝－sinα,cos(π＋α)＝－cosα (1。12）公式1.8～1。12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．（1)cos210°；(2)sineq\f（11π，4)；（3)sin(－eq\f（43π,6）)；(4)cos(－1920°）．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角．(3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．（1)sin1320°；（2)coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(31π,6))）。类型二给值(式）求值问题例2（1)已知sin（π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________.（2)已知cos（eq\f(π，6)－α）＝eq\f（\r（2）,2)，则cos(eq\f（5π，6）＋α)＝________.反思与感悟解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用．跟踪训练2已知coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)＋θ）)＝eq\f(\r（3)，3)，则coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5π,6)－θ))＝________。类型三利用诱导公式化简例3化简下列各式．(1）eq\f(sin－2π－αcos6π－α，cosα－πsin5π－α）；（2)eq\f（\r(1＋2sin290°cos430°),sin250°＋cos790°）。引申探究若本例（1）改为：eq\f(sinnπ－αcosnπ－α,cos［α－n＋1π]·sin[n＋1π－α])（n∈Z），请化简．反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化,最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3化简:eq\f（cosπ＋α·sin2π＋α，sin－α－π·cos－π－α)。1．sin585°的值为（）A．－eq\f(\r(2）,2)B.eq\f(\r(2）,2)C．－eq\f(\r(3）,2）D。eq\f(\r（3）,2）2．cos(－eq\f(16π，3)）＋sin(－eq\f（16π，3））的值为（）A．－eq\f(1＋\r（3),2) B。eq\f(1－\r（3）,2）C。eq\f(\r(3)－1，2） D。eq\f（\r（3)＋1，2）3．如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是（）A．cosα＝cosβ B．cosα＝－cosβC．sinα＝－sinβ D．sinα＝cosβ4．sin750°＝________.5．化简:eq\f(cos180°＋αsinα＋360°,sin－α－180°cos－180°－α）。1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8将角转化为0～2π之间的角求值公式1.12将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式1.9将负角转化为正角求值公式1.11将角转化为0~eq\f(π,2)之间的角求值2。诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限"．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角,只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

答案精析问题导学知识点思考1它们的对应关系如表:相关角终边之间的对称关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称思考2它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2kπ＋α与α重合π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称,所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α）＝－sinα，cos(－α）＝cosα。梳理函数名不变，符号看象限一致锐角题型探究例1解(1）cos210°＝cos（180°＋30°）＝－cos30°＝－eq\f（\r（3),2）.（2)sineq\f(11π,4）＝sin(2π＋eq\f（3π,4）)＝sineq\f（3π，4）＝sin（π－eq\f（π,4))＝sineq\f(π,4）＝eq\f(\r（2)，2）.(3)sin（－eq\f(43π,6））＝－sin（6π＋eq\f(7π,6))＝－sineq\f（7π,6）＝－sin(π＋eq\f(π，6)）＝sineq\f(π,6）＝eq\f（1，2）.（4)cos（－1920°）＝cos1920°＝cos（5×360°＋120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－eq\f(1，2）。跟踪训练1解(1)方法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f（\r(3），2）.方法二sin1320°＝sin（4×360°－120°)＝sin（－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f（\r(3),2）.(2)方法一coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（31π，6)））＝coseq\f(31π,6）＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(4π＋\f（7π,6）))＝cos（π＋eq\f（π,6）)＝－coseq\f(π，6）＝－eq\f（\r（3),2)。方法二coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（31π,6)））＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（π－\f（π，6）））＝－coseq\f（π，6）＝－eq\f(\r(3),2）。例2(1）－0。3(2）－eq\f(\r(2)，2）跟踪训练2－eq\f(\r(3),3）例3解（1）原式＝eq\f(sin－αcos－α，cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(－sinαcosα,－cosαsinα)＝1。（2)原式＝eq\f（\r（1＋2sin360°－70°cos360°＋70°）,sin180°＋70°＋cos720°＋70°)＝eq\f(\r（1－2sin70°cos70°）,－sin70°＋cos70°）＝eq\f（｜cos70°－sin70°|，cos70°－sin70°）＝eq\f(sin70°－cos70°,cos70°－sin70°）＝－1。引申探究解当n＝2k时,原式＝eq\f(－sinα·cosα，－cosα·sinα）＝1；当n＝2k＋1时,原式＝eq\f(sinα·－cosα,cosα·－sinα）＝1。综上，原式＝1.跟踪训练3解原式＝eq\f(－cosα·sinα，－sinπ＋α·cosπ＋α）＝eq\f(cosα·sinα,sinα·cosα）＝1。当堂训练1．A2.C3.B4.eq\f(1,2)5．解原式＝eq\f（－c