2017-2018版高中数学第一章三角函数3弧度制学案4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE3弧度制学习目标1。理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换。2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3。掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中,1度的角是如何规定的?思考2在弧度制中,1弧度的角是如何规定的，如何表示?思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗?梳理（1)角度制和弧度制角度制用________作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的eq\f(1,360）弧度制在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作________．以________作为单位来度量角的单位制叫作弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长,则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝eq\f(l，r)。知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制,它们之间如何进行换算呢?梳理（1）角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝________rad2πrad＝________180°＝________radπrad＝________1°＝eq\f（π,180）rad≈________rad1rad＝eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（180°，π)）)≈________＝57°18′(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°60°120°150°180°360°弧度eq\f（π，180）eq\f（π，4）eq\f(π，2)eq\f（3π，4)πeq\f（3π,2）2π知识点三扇形的弧长及面积公式思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？梳理α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝eq\f（απr，180°)l＝αr扇形的面积S＝eq\f(απr2,360°）S＝eq\f（1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2类型一角度与弧度的互化例1将下列角度与弧度进行互化．（1)20°；(2)－15°；（3）eq\f(7π，12)；（4）－eq\f(11π，5)。反思与感悟将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后,牢记πrad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq\f(180°,π)即可．跟踪训练1（1)把112°30′化成弧度;（2)把－eq\f（5π,12)化成度．类型二用弧度制表示终边相同的角例2已知角α＝2010°.(1）将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限的角；(2）在区间［－5π，0）上找出与α终边相同的角．反思与感悟用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z）时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2（1)把－1480°写成α＋2kπ（k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π；（2）在［0°,720°］内找出与eq\f（2π，5）角终边相同的角．类型三扇形的弧长及面积公式的应用例3(1）若扇形的中心角为120°，半径为eq\r（3），则此扇形的面积为（）A．πB。eq\f（5π，4)C.eq\f(\r（3）π,3)D。eq\f(2\r(3)π,9)（2）如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为()A．2B.eq\f(2，sin1）C．2sin1D。eq\f(4,sin1)反思与感悟联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝eq\f(1，2）lr＝eq\f（1,2）｜α｜r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度,再计算．跟踪训练3一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f（1，360)，1rad的角是周角的eq\f（1,2π）C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关2．时针经过一小时，转过了()A.eq\f(π,6)rad B．－eq\f(π，6)radC.eq\f(π，12)rad D．－eq\f（π,12）rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在（)A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限4．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形圆心角的弧度数是（)A．1 B．4C．1或4 D．2或45．已知⊙O的一条弧eq\x\to(AE）的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝πrad”这一关系式．易知：度数×eq\f(π，180)rad＝弧度数，弧度数×eq\f(180°,π)＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．

答案精析问题导学知识点一思考1周角的eq\f（1，360)等于1度．思考2在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角,又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．梳理（1)度弧度弧度知识点二思考利用1°＝eq\f(π，180)rad和1rad＝eq\f(180°,π）进行弧度与角度的换算．梳理（1)2π360°π180°0。0174557．30°(2）45°90°135°270°0eq\f(π，6)eq\f（π，3)eq\f（2π,3）eq\f(5π，6)知识点三思考设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝eq\f(1，2）lr，l＝αr.题型探究例1解(1)20°＝eq\f（20π，180）＝eq\f（π，9）.(2)－15°＝－eq\f(15π,180)＝－eq\f（π，12).（3）eq\f（7π,12)＝eq\f(7,12)×180°＝105°.（4）－eq\f(11π,5)＝－eq\f（11,5)×180°＝－396°。跟踪训练1解(1)112°30′＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(225，2)）)°＝eq\f（225，2）×eq\f(π,180)＝eq\f（5π,8）。(2)－eq\f(5π,12）＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5π,12）×\f(180,π)）)°＝－75°.例2解（1)2010°＝2010×eq\f（π，180）＝eq\f(67π,6）＝5×2π＋eq\f(7π,6），又π〈eq\f（7π,6）〈eq\f（3π,2）,∴α与eq\f(7π，6）终边相同，是第三象限的角．(2）与α终边相同的角可以写成γ＝eq\f（7π,6）＋2kπ(k∈Z），又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－eq\f(29π,6）;当k＝－2时，γ＝－eq\f(17π，6）；当k＝－1时，γ＝－eq\f(5π，6).跟踪训练2解(1）∵－1480°＝－1480×eq\f（π，180）＝－eq\f(74π，9），而－eq\f(74π,9）＝－10π＋eq\f（16π，9），且0≤α≤2π，∴α＝eq\f（16π,9）.∴－1480°＝eq\f(16π,9)＋2×(－5）π。(2）∵eq\f(2π,5）＝eq\f(2π,5)×(eq\f(180,π））°＝72°，∴终边与eq\f（2π,5)角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°。∴在[0°,720°]内与eq\f（2π,5）角终边相同的角为72°，432°。例3(1)A(2)D跟踪训练3解设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝eq\f（1,2)lR，