高中数学高考二轮复习【全国一等奖】

2023年山东省日照市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出表示点的坐标得答案．【解析】：解：∵=，∴z的共扼复数为，它表示的点为，在第三象限．故选：C．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x||x|≤2}，则M∪N=（）A．（﹣2，4）B．[﹣2，4）C．（0，2）D．（0，2]【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：先求出集合M，N，再根据并集的定义求出即可．【解析】：解：集合M={x|x2﹣4x＜0}=（0，4），N={x||x|≤2}=[﹣]．∴M∪N=[﹣2，4），故选：B【点评】：本题考查了集合得并集运算，属于基础题．3．（5分）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．12B．13C．14D．15【考点】：系统抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751≤an≤1000求得正整数n的个数，即为所求．【解析】：解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=8+（n﹣1）20=20n﹣12．由751≤20n﹣12≤1000解得≤n≤．再由n为正整数可得39≤n≤50，且n∈Z，故做问卷C的人数为12，故选A．【点评】：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．4．（5分）函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断．【解析】：解：∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除A，B，∵＞0，故排除D，故选：C．【点评】：本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题．5．（5分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：分别根据复合命题真假之间的关系，含有量词的命题的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假命题，正确．B．命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．D．a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C【点评】：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29B．44C．52D．62【考点】：循环结构．【专题】：算法和程序框图．【分析】：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．【解析】：解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．【点评】：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．7．（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．【解析】：解：将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin（），由=+kπ，即+2kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：D．【点评】：本题主要考查三角函数的图象变换关系以及三角函数对称轴的计算，求出函数的解析式是解决本题的关键．8．（5分）变量xy、满足线性约束条件，则目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3B．k＞1C．﹣3＜k＜1D．﹣1＜k＜1【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数y=kx﹣z仅在点A（0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的下方，∴目标函数的斜率k满足﹣3＜k＜1，故选：C．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．9．（5分）函数y=的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为等比数列的公比的数是（）A．B．C．D．【考点】：等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】：由题意可知，函数图象为上半圆，根据图象可得圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8．根据等比数列的性质建立方程，可计算出公比的范围，从而判断出结论．【解析】：解：函数y=的等价于，表示圆心在（5，0），半径为3的上半圆（如图所示），圆上点到原点的最短距离为2（点2处），最大距离为8（点8处），若存在三点成等比数列，则最大的公比q应有8=2q2，即q2=4，q=2，最小的公比应满足2=8q2，即q2=，解得q=又不同的三点到原点的距离不相等，故q≠1，∴公比的取值范围为≤q≤2，且q≠1，故选：D【点评】：本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的定义，等比中项以及函数作图，属中档题．10．（5分）在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（）A．1或B．C．1或3D．1或2【考点】：函数与方程的综合运用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．【解析】：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]，此时当x=时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2．此时当x=3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2＜≤4，则f（x）=cf（）=c[1﹣（﹣3）2]，此时当x=6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴=，解得c=1或2．故选：D．【点评】：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为2．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用曲线的渐近线，推出a、b关系，然后求解离心率．【解析】：解：由题意双曲线的一条渐近线与直线平行，可知，可得，所以，，∴离心率e=．故答案为：2．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．12．（5分）已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a=．【考点】：二项式定理的应用；二项式系数的性质．【专题】：计算题．【分析】：分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可．【解析】：解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，∴10a2=5，即a2=，解得a=．故答案为：．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．13．（5分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解析】：解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】：本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解析】：解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】：本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．15．（5分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为（2）（3）（写出所有正确的）【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．【解析】：解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则，，y1=1，y2=5，则，φ（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，则kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．t•φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．【点评】：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）在△ABC中，已知，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】：正弦定理．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解析】：解：（1）∵，∴，又∵0＜A＜π，∴．∵，且0＜B＜π，∴．（2）由正弦定理得，∴，另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，解得c=8或c=﹣3（舍去），∴b=7，c=8．【点评】：本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．17．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点．（1）证明：DF⊥AE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（λ，0，1），所以•=0，即DF⊥AE；（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=，解出λ的值即可．【解析】：（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∵=（，，），=（，﹣1），∴，即，令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，∴|cos＜，＞|==，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．【点评】：本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：计算题．【分析】：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX．【解析】：解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==；P（X=1）==；P（X=2）==．∴X的分布列为：EX=0×+1×+2×=．【点评】：本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n，（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设集合A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=2an，n∈N*}，等差数列{cn}的任一项cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110＜c10＜115，求数列{cn}的通项公式．【考点】：数列的求和；交集及其运算．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法；集合．【分析】：（Ⅰ）利用an=Sn﹣Sn﹣1计算并验证即可；（Ⅱ）通过A、B间的包含关系可得c1=6，从而可得，利用110＜c10＜115，可得c10=114，根据等差数列的性质计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）∵．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1，当n=1时，a1=S1=3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an=2n+1；（Ⅱ）∵A={x|x=2n+2，n∈N*}，B={x|x=4n+2，n∈N*}，∴A∩B=B．又∵cn∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，∴c1=6，∵{cn}的公差是4的倍数，∴．又∵110＜c10＜115，解得m=27，所以c10=114，设等差数列的公差为d，则，∴cn=6+（n﹣1）12=12n﹣6，所以{cn}的通项公式为cn=12n﹣6．【点评】：本题考查数列的基本性质，通项公式，集合的交集及其运算，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M．证明：AB⊥MF；（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．【考点】：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：综合题；压轴题．【分析】：（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程可求．（2）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．再根据假设与已知条件去求M′坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积．【解析】：解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知条件，F（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1．所以椭E的方程为．（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1≠x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4．∵抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x，∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y﹣y1=x1（x﹣x1），y﹣y2=x2（x﹣x2）即y=x1x﹣，y=x2x﹣x22解得两条切线的交点M的坐标为（，﹣1）∴•=0∴AB⊥MF．（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=﹣1上，又直线y=﹣1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．﹣1），设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）：，其中点（x0，y0）为切点．令x=0，y=﹣1得，﹣1﹣x02=x0（0﹣x0），解得x0=2或x0=﹣2，故不妨取A′（﹣2，1）B′（2，1），即直线A′B′过点F．综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，﹣1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′（A′、B′为切点），能使直线A′B′