第2章 逻辑代数基础(完整版)

1CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013第二章逻辑代数基础1概述3逻辑代数的公式6逻辑函数的化简方法公式化简法卡诺图化简法2逻辑代数中的三种基本运算5逻辑函数及其表示方法4逻辑代数的定理2CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013主要问题：1、三种基本逻辑运算2、与、或门的封锁与选通方法3、逻辑问题的真值表、函数式、逻辑图等表示方法4、逻辑代数基本定律及常用公式5、卡诺图及其化简函数表达式的方法重点：三种基本逻辑运算，逻辑问题的真值表、函数式、逻辑图等表示方法难点：函数表达式的化简3CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013逻辑代数:

逻辑变量:是一种二值变量。仅取0

和1两种逻辑值，表示两种对立的逻辑状态。0矛盾的否定面、反面1矛盾的肯定面、正面三种基本运算是：与、或、非（反）。1概述

又称布尔代数，开关代数。是一个由逻辑变量真假（或取值0，1）、以及用“与”、“或”、“非”3种基本运算构成的代数系统。4CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013与运算或运算非运算三种基本运算2逻辑代数中的三种基本运算描述方法5CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013(1)

与运算(与逻辑)仅当决定事件Y发生的所有条件（A,B,C,…）均满足时，事件Y才能发生。Ｙ＝Ａ.Ｂ.Ｃ=ABC例如:用电路图表示开关A，B串联控制灯泡Y功能表2逻辑代数中的三种基本运算定义：表达式：6CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013设：开关（条件）合为逻辑“1”，开关断为逻辑“0”；

灯亮（事件发生）为逻辑“1”，灯灭为逻辑“0”Ｙ＝Ａ.Ｂ=AB（ANDgate)真值表逻辑表达式为：与门的逻辑符号：YAB&ABY特点：若有0出0；

若全1出1

7CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013(2)

或运算（或逻辑）决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，

只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。

例如:用电路图表示开关A，B并联控制灯泡YＹ＝Ａ＋Ｂ定义：表达式8CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013真值表:逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+ＢORGATE或门的逻辑符号：YAB≥1YAB特点：若有1出1；

若全0出0

9CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013(3)非运算（非逻辑）

当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足时，事件反而发生。例如:用电路图表示开关A控制灯泡YY＝AY＝A＇定义：表达式10CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013非门的逻辑符号逻辑表达式为：YA1YA真值表:11CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013a.与非运算

(NAND)b.或非运算

(NOR)111000011011AB&1000(4)几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2的真值表AB≥112CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013c.与或非运算

(AND–OR–INVERT)AB&CD≥1(输入有几种可能的组合)13CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013d.异或运算(Exclusive—OR)e.同或运算(Exclusive—NOR)AB=1011000011011AB=1=A⊙BABY4100100011011ABY5相同为0，不同为1相同为1，不同为014CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013(5)逻辑符号的说明曾用符号美国符号ABYABYABYAAY国标符号AB&A1ABYAB≥115CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013国标符号曾用符号美国符号AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB≥116CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013(6)逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是1

就是0。逻辑函数：如果输入逻辑变量A、B、C

∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y

的值也被唯一确定，则称Y

是A、B、C

∙∙∙的逻辑函数。并记作原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：17CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013试建立下图所示用双联开关控制楼道照明的开关电路的逻辑函数图双联开关控制的开关电路

两个单刀双掷开关A和B分别安装在楼上和楼下。上楼前在楼下开灯，上楼后关灯；反之下楼前，在楼上开灯，下楼后关灯。以1表示开关上拨，0表示开关下拨；以1表示灯亮，以0表示灯灭，则灯Y是开关A、B的二值逻辑函数，真值表ABY0

00

11

0111001表示灯亮的逻辑函数式为：逻辑函数的建立18CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0

全1出10110011000110011Y2Y3

相同出

0

相异出

119CopyRight@安阳师范学院物电学院_20133/4逻辑代数的公式和定理逻辑代数的公式和定理的讲述方式：常量之间的关系基本公式（0/1律互补律等幂律双重否定律）基本运算规律（交换律结合律分配律）定理：代入定理、反演定理、对偶定理推出：得摩根定律吸收定律及一些常用公式定理的证明20CopyRight@安阳师范学院物电学院_20133/4逻辑代数的公式和定理(1)、逻辑代数的基本公式1）常量之间的关系2）基本公式21CopyRight@安阳师范学院物电学院_20133）基本运算规则反演律(摩根定理）：缓一缓22CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013(2)逻辑代数的基本定理摩根定理是反演定理的特例。

对任一逻辑式Y，若将其中所有的

·

+/01/原变量

反变量，得到Y’。

P24式8式181）反演定理：。与的非变或、或的非变与！23CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013求例1:已知求，。注意：

1.需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序;2.不属于单个变量上的非号应保留不变。例2:若24CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013式（17）A+BC=(A+B)(A+C) A+B(CD)=(A+B)(A+CD) =(A+B)(A+C)(A+D)例2:已知(A+B)’=A’·B’，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律：例1:在任何一个包含变量A（假设某变量）的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。2）代入定理：25CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。

对偶式:对任一逻辑式Y,若将其中的“·”

“+”,“0”

“1”,而变量保持不变,则得到一个新的逻辑式YD

，YD称为Y的对偶式。例:试用对偶定理证明下式：3）对偶定理：

由Y求Y’：对任一逻辑式Y，若将其中所有的

·

+/01/原变量

反变量，得到Y’。

比较：26CopyRight@安阳师范学院物电学院_201327CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013[例1]证明公式[解]方法一：公式法(4)证明和例题方法二：真值表法28CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013方法二：真值表法将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中ABC0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等29CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013AB0001101100011110110010101110011110001000相等相等[例2]用真值表法证明德摩根定理30CopyRight@安阳师范学院物电学院_20131.原变量的吸收：A+AB=A2.反变量的吸收：推广（一个乘积项是另一个乘积项的因子）（一个乘积项的反变量是另一个乘积项的因子）(5)若干常用公式31CopyRight@安阳师范学院物电学院_20133.冗余率:推论：两个乘积项，一个乘积项包含一个因子的原变量，另一项包含其反变量，而这两个乘积项中其余的因子是第三个乘积项的因子）4.5.6.常用公式练习33CopyRight@安阳师范学院物电学院_20135逻辑函数及其表示方法逻辑函数:YABCE

举重裁判电路任何一件具体的因果关系都可用一个逻辑函数描述。34CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013如果输入逻辑变量A、B、C

∙∙∙的取值确定之后，输出逻辑变量Y

的值也被唯一确定，则称Y

是A、B、C

∙∙∙的逻辑函数。并记作逻辑函数定义:逻辑函数表达形式:35CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013以上面的举重裁判电路为例

ABCY00000010010001101000101111011111举重裁判的真值表逻辑真值表逻辑函数式把输入、输出关系写成与、或、非等运算的组合式，即逻辑代数式，称为逻辑函数式。举重裁判逻辑函数式为：逻辑图AYBC由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。④波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。38CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013各种方法间的相互转换真值表函数式逻辑图1）从真值表写出逻辑函数式：一般方法：找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合。每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写入反变量。将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。波形图39CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013例1:已知一个奇偶判别函数的真值表，试写出它的逻辑函数。ABCY00000010010001111000101111011110A=0,B=1,C=1使

A’BC=1A=1,B=0,C=1使AB’C=1A=1,B=1,C=0使

ABC’=1逻辑函数Y=1的各种组合，写出对应的“乘积项”Y=A’BC+AB’C+ABC’将这些“乘积项”相加，即得Y的逻辑函数式各种方法间的相互转换练习各种方法间的相互转换练习例1由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：A’BCAB’CABC’ABC41CopyRight@安阳师范学院物电学院_20132）从逻辑式列出真值表例：求它对应的真值表ABC000001010011100101110111000101011000001101001001Y各种方法间的相互转换42CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013四输入变量真值表(16种组合)ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111各种方法间的相互转换练习43CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。YABA’C各种方法间的相互转换5）波形图到真值表的转换P344）从逻辑图写逻辑式

3）从逻辑式画逻辑图44CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的最小项最小项之和形式最大项之积形式（1）概念：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的最小项。（2）最小项的个数：（3）最小项的性质：①每一个最小项只有一组变量取值使其值为1。②任意两个不同的最小项之积，其值恒为0。③全部最小项之和，值恒为1。（4）最小项的编号：mi（i：最小项变量赋值得到的二进制数对应的十进制数，

0≤i≤2n-1）n个变量有2n个最小项45CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013最小项举例：两变量A,B的最小项三变量A,B,C的最小项46CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为“1”，反变量记为“0”，按顺序排列成一个二进制数，这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。逻辑函数的最小项m77111ABCm66110ABC’m55101AB’Cm44100AB’C’m33011A’BCm22010A’BC’m11001A’B’Cm00000A’B’C’ABC编号对应十进制数使最小项为1的值最小项定义：如两个最小项只有一个变量不相同，则称之为逻辑相邻。47CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。A’B’CAB’C②任意两个不同的最小项的乘积必为0。

两个逻辑相邻的最小项之和可合并成一项，且消去一对因子。48CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。相邻：仅一个变量不同的最小项如逻辑函数最小项之和的形式：例：利用公式可将任何一个函数化为49CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013逻辑函数的最小项之和形式——标准与或式如果在一个与或表达式中，所有与项均为最小项，则称这种表达式为最小项表达式，或称为标准与或式、标准积之和式。例如：任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式：只要将真值表中使函数值为1的各个最小项相或，便可得出该函数的最小项表达式。由于任何一个函数的真值表是惟一的，因此其最小项表达式也是惟一的。形式1形式2惟一性50CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013从真值表可知，当A、B、C取值分别为001、010、100、111时，Y为1，因此最小项表达式由这四种组合所对应的最小项进行相或构成，即ABCY00000101001110010111011101101001函数Y的真值表如表所示求Y的最小项表达式例：51CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013逻辑函数的最小项之和形式——标准与或式例:例：乘积项最小项

补齐输入变量A+A=1最大项：M是相加项；包含n个因子。n个变量均以原变量和反变量的形式在M中出现一次。如：两变量A,B的最大项对于n变量函数2n个最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项的编号：最大项取值对应编号ABC十进制数1117M71106M61015M51004M40113M30102M20011M10000M056CopyRight@安阳师范学院物电学院_20136逻辑函数的化简57CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013

逻辑函数式有多种形式，如与或式，或与式，与非与非式，或非或非式等。1)逻辑函数的最简表达式

逻辑函数式中，包含的或运算的项最少；每一项中包含与运算的因子最少，则此函数式为最简函数式最简与或表达式最简或与表达式最简与非——与非表达式最简或非——或非表达式最简与或非表达式58CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013总结各种逻辑表达式的转换

最简与非—与非式最简与或式

最简或与式最简或非—或非式

最简与或非式①②④③59CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013最简与或式最简与非与非式两次取反，摩根定理去一个反号注意：单个变量上面的非号不算，只表示反变量。①将与-或式

转换成与非-与非式。≥1&YABCC&&&AB二输入四或门74LS32一片二输入四与门74LS10一片二输入四与非门74LS00一片60CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013②将或与式

转换成或非—或非式。最简或与式最简或非—或非式两次取反，摩根定理去1个反号最简或非—或非式最简与或非式摩根定理去小反号③将或非—或非转换成与或非式。61CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013④将与-或式

转换成或与式。最简与或式最简或与式对偶定理展开、再对偶证明：F=AB+A’C=(A+C)(A’+B)62CopyRight@安阳师范学院物电学院_20132)逻辑函数的公式化简法63CopyRight@安阳师范学院物电学院_20132)逻辑函数的公式化简法①、并项法公式化简法:运用逻辑代数的基本公式、定理和规则化简逻辑函数。

利用ＡB＋ＡB’＝A，消去B例：运用公式将两项合并为一项，消去一个变量。例：64CopyRight@安阳师范学院物电学院_20132)逻辑函数的公式化简法②、吸收法运用吸收律A+AB=A，消去多余的与项。例：65CopyRight@安阳师范学院物电学院_20132)逻辑函数的公式化简法③、消因子法例：运用吸收律消去多余因子。66CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013④、配项法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ’），为某项配上其所缺的变量（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。例：例：先通过乘以或加上，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。例：67CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013④、配项法68CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013⑤、消项法利用冗余律ＡＢ＋Ａ’Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ａ’Ｃ例：例：化简逻辑函数：

解：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）69CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013例化简逻辑函数：

解：（利用反演律）

（利用）

（利用A+AB=A）（配项法）

（利用A+AB=A）（利用）70CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013解法1

F=ABC+ABC+AB(吸收律1ABC+ABC=AB)=ABC+A（BC+B）（分配律）=ABC+A（C+B）（吸收律3）=ABC+AC+AB（分配律）=（AB+A）C+AB（分配律）=（B+A）C+AB（吸收律3）=BC+AC+AB（分配律）例71CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC（等幂律）

解法2=BC

+

+

（吸收律1）（ABC+ABC=BC，ABC+ABC=AC，ABC+ABC=AB）

此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干次，此例ABC项就反复用了三次ACAB例72CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。

解法1：例化简逻辑函数：

（增加多余项）（消去一个多余项）（再消去一个多余项）

解法2：（增加多余项）

（消去一个多余项）（再消去一个多余项）1 无统一的模式2 需记大量的公式3 需要一定的技巧

4 难于判断结果是否最简为此出现一种既简便又直观的化简方法—

图形法化简，即卡诺图化简法。73CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013代数化简法的优点：不受变量数目的限制。

缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。74CopyRight@安阳师范学院物电学院_20133)逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法用卡诺图化简逻辑函数n变量最小项卡诺图：用卡诺图表示逻辑函数合并最小项的规律卡诺图化简法原则和规律卡诺图化简举例75CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013逻辑函数的卡诺图表示法（一）n变量最小项卡诺图：

定义：n变量的全体最小项（2n个）各用一个小格代替组成的几何图，特点是几何位置上相邻的最小项逻辑上也相邻。二变量ABCAB’CABC’A’BC’三变量3)逻辑函数的卡诺图化简法AB0101m0m1m2m3ABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m70A1m0m1一变量76CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013四变量ABCD0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15逻辑上也相邻77CopyRight@安阳师范学院物电学院_20131.已知真值表（二）用卡诺图表示逻辑函数a、将逻辑函数写成标准形式，即最小项表达式。

b、逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填1。

c、逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0。ABCY00000010010001101000101111011111例：举重裁判电路1010110100ABC00000111逻辑函数的卡诺图表示法78CopyRight@安阳师范学院物电学院_20132.已知函数式1010110100ABC111（二）用卡诺图表示逻辑函数ABCD000111100001111011111111例1：例2：11179CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013例：将逻辑式P=+

填入卡诺图。先填，这是B，这是；

这一与项处于第二、第三行和第一、第二列的交点处（二行二列）。再填，这是，这是。

这一与项处于第一、第四行和第一、第四列的交点处（二行二列）。练习：80CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013

与项不是最小项的形式，按邻接关系直接填入卡诺图。例如先填,这是CD;再填,这是AB，这是D。

所以处于第一第二行和第三列的交点上（二行一列）。所以ABD处于第三行和第二、第三列的交点上（一行二列）。这是,例4：与项不是最小项的形式81CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013例：写出下列卡诺图对应的函数表达式CDD

由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图中占的小格越多；

最小项在卡诺图中占1个小格；与最小项相比，少一个变量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个小格，…。82CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013二、用卡诺图化简逻辑函数（一）合并最小项的规律1011010010110100ABCD11111111在卡诺图上合并组成矩形的2m个小方格，得到的与项少m个变量。

注意：1.只能合并2n个小方格；2.边上方格的相邻性。1011010010110100ABCD1111111183CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013（二）卡诺图化简法卡诺图化简的原则：1.全部含有“1”的最小项必须全部圈入.2.圈应尽可能大,按2n规律来圈(与项因子数最小)3.所圈圈数最少(或项最少)4.圈可重复,每圈必须包含新的最小项.(无多余项)卡诺图化简法的步骤:1.将逻辑函数化成与或式，然后画出其卡诺图；2.按最简原则画出必要的圈；3.求出每个圈对应的与项，然后相加。84CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013例1：ABC0001111001Y1111B’CBC’Y

=B’C+BC’卡诺图已填好，将逻辑函数化简（三）卡诺图化简举例

化简逻辑函数时，将与或型逻辑函数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项的面貌出现在卡诺图中。然后，经过重新组合，将具有“1”的小格按照2i的规律尽可能大地圈成矩形带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。85CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013例2：1011010010110100ABCD11111111最简与或式为：Y=CD’+A’B’+ABD’1可重复使用要圈两个186CopyRight@安阳师范学院物电学院_20131011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB’+A’B+BC’+B’C111111Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111显然，红圈是多余的。避免画多余圈的方法：1.画完圈后注意检查；2.先圈只有一种方法可圈的1。例3：先填卡诺图，圈完再写最简式例4：红圈是多余的。或者，黄圈是多余的。87CopyRight@安阳师范学院物电学院_20138个相邻的最小项可以合并，消去3个取值不同的变量。2m个相邻的最小项可以合并，消去m个不同的变量。

C

A

B

D11111111111121个相邻的最小项可以合并，消去1个不同的变量:3变量项。22个合并，得到2变量的项。23个合并，得到1变量的项。24个合并，得到1。88CopyRight@安阳师范学院物电学院_2013

①关于覆盖之一

由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多，对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数，填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。

例如左图若把上面两个小方