第八章 平面应力问题有限单元法

船舶结构力学第八章平面应力问题的有限元法§8-1弹性体的应力、位移与应变2023/2/3基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力：体力、面力(1)体力——分布在物体体积内的力——体力分布集度（矢量）xyzO单位：N/m3kN/m3说明：f是坐标的连续分布函数；弹性力学中的几个基本概念p2023/2/3(2)面力——分布在物体表面的力——面力分布集度（矢量）xyzO单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：弹性力学中的几个基本概念是坐标的连续分布函数；p2023/2/32.应力(1)一点应力的概念ΔAΔF内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)P截面上P点的应力应力矢量.的极限方向应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——切应力单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布弹性力学中的几个基本概念2023/2/3(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：弹性力学中的几个基本概念2023/2/3用矩阵表示：其中，只有6个量独立。切应力互等定理应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。切应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO弹性力学中的几个基本概念2023/2/33.形变形变——物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCA——用线（正）应变ε度量——切应变γ度量（切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个平面内的切应变：(1)一点形变的度量应变的正负：线应变：伸长时为正，缩短时为负；切应变：以直角变小时为正，变大时为负；弹性力学中的几个基本概念2023/2/3(2)一点应变状态其中应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm弹性力学中的几个基本概念1.平面应力问题t/2t/2Oxyzy图6-1§8-2平面应力问题及其基本方程式

因为板面上(z=±t/2

)不受力，所以有应力分量

由于板很薄，故可以认为在整个薄板上所有各点上都有：

根据剪应力互等定律：

这样，板中任一点的九个应力分量就只剩下三个应力分量，即

因而这种问题称为平面应力问题。同时，由于板很薄，所以这三个应力分量，以及分析问题时须考虑的三个应变分量x

、y

、xy及和两个位移分量u，v，都可以认为沿厚度不变化。这就是说，它们只是坐标x和y的函数，不随坐标z的变化而变化。

在平面应力问题中，可用如下三个向量分别表板中任一点的应力、应变和位移；§8-2平面应力问题及其基本方程式

在船体结构中，很多问题可以简化为平面应力问题处理。例如甲板开口、舷侧、横梁开孔和肘板的强度问题等等。

2.基本方程式基本方程式包括平衡微分方程式、几何方程式和物理方程式，此外还有边界条件方程式。下面依次到处平面应力问题的这些方程式xyxyCXYxy(1)平衡微分方程式根据平衡条件导出的各应力分量之间的微分关系就是平衡微分方程式图8-6

首先以通过中心C，并平行于z轴的直线为矩轴，列力矩平衡方程Mc=0。

其次，以x轴为投影轴，列出力投影的平衡方程Fx=0：§8-2平面应力问题及其基本方程式

其次，以y轴为投影轴，列出力投影的平衡方程Fy=0：

由此，得到平面应力问题的平衡方程：(8-9)xy(2)几何方程式下面从平面应力问题的几何学方面，导出应变分量与位移分量之间的关系式，即几何方程式。O以上两个微分方程中包含三个未知数x、y、xy

=yx：因此，决定应力分量的问题是超静定，还必须考虑变形情况才能解决问题。

线段PA的正应变：

线段PB的正应变：(a)(b)

剪应变xy：

线段PA的转角为：

线段PB的转角为：

剪应变xy：

式(a)、(b)、(c)是应变分量与位移分量之间的关系式，现归纳为：称为平面应力问题的几何方程式，又称柯西方程式(c)(8-11)

由式（8-11）可见，当板内各点的位移分量u、v为已知函数时，就可确定各点的应变分量x、y、xy；反之，假定三个应变分量函数，那么按式（8-11）的前两个式子就可以求出位移函数u、v，若用此两个位移分量函数代入第三个方程式求xy，就会与假定的xy不同。这样就出现了矛盾。这一矛盾是因为板内任一点的应变分量之间有相互联系所造成的，如果在假定各应变分量函数时不反映出这种联系，那就将使变形不连续，即板变形将发生空隙或裂缝。从数学上讲，式（8-11）的应变分量是三个，而位移分量只有两个，因此三个应变分量不能相互独立，而必然有一定的联系，这个关系叫应变协调方程或应变相容条件。现推导如下：

应变相容方程或叫应变协调方程：

称为变形连续方程或圣维南方程(8-12)

（3）物理方程式

上面建立了二个平衡微分方程式和三个几何方程式，五个方程式中共有八个未知函数x、y

、xy、u、v、x、y、xy，尚需补充三个方程式才可能求解。这三个方程式就是应变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程式。物理方程式就是材料力学中广义虎克定律，平面应力状态下的广义虎克定律为：

或写成：(8-13)(8-14)

用矩阵形式表示为：

简记为：称为平面应力问题的弹性矩阵(8-16)(8-17)

（4）边界条件

上述式（8-9）、（8-11）、（8-13）或（8-14）一共有八个基本方程式。这八个基本方程式中包含八个未知函数（坐标x,y的函数）；三个应力分量；三个应变分量；两个位移分量。方程的数目恰好等于未知函数的数目。因此，在适当的边界条件下，由上述方程式求解未知函数是可能的。

根据边界条件的不同，平面应力问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。

（4）边界条件

在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是在全部边界上有：式中，us和vs在边界上是坐标的已知函数。这就是平面应力问题的位移边界条件。(6-11)

（4）边界条件

在应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，也就是说，面力分量X和Y在全部边界上是坐标的已知函数。根据面力分量与边界上应力分量之间的关系，可以把面力已知条件转换为应力已知的条件，这就是所谓应力边界条件，推导如下：xNXYYX

在物体边界上取直角三角形的微块PAB，它的斜面AB与物体边界面重合，如图6-4所示。用N表示边界面的外法线法向，其方向余弦为：xNXYYX

设该边界面AB

的长度为ds，则截面PA和PB的长度分别为lds和mds，另设微块的厚度为1。由微块的平衡条件Fx=0，得

同理由微块的平衡条件FY=0，得另外一方程式。这两个方程式为：

式（8-10）就是平面应力问题的应力边界条件。如果考虑第三个平衡条件FM=0，则可以再写出一个方程式，但是在ds趋近于零时，设一方程式将成为剪应力互等方程式。(8-10)1.解题方法简介

传统的弹性力学解题方法有三种：位移法，应力法和混合法。

当平面应力问题按位移法求解时，以位移分量u、v为基本未知函数。将几何方程式（8-11）代入物理方程式（8-14），得应力分量与位移分量之间的关系式，再将所得关系式代入平衡微分方程式（8-9）和应力边界条件（8-11），简化后得到：§8.2解题方法及有限单元法概念

和：

当平面应力问题按应力法求解时，以应力分量为基本未知函数。用物理方程式（8-14）将应变连续方程式（8-12）的应变化为应力，再加上两个静力平衡式（8-9）得应力分量，进而可用物理方程式求应变分量，几何方程式求位移分量，简化后得到：2023/2/3有限元单元法分析步骤（一）结构离散化

将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限元法分析的第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。节点编码。

注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。用有限元分析计算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。平面问题有限单元法基本概念2023/2/3有限单元法简介41有限单元法的常用术语：真实系统有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。定义2023/2/3有限单元法简介42节点和单元节点:

空间中的坐标位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。单元:

一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷2023/2/3有限单元法简介432、选择位移插值函数

为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布做出一定的假设，一般假定位移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移函数是有限单元法中的关键。

{f}—单元内任意点的位移列矩阵

[N]—

单元形函数矩阵

—

单元节点位移的列矩阵3、计算等效节点力作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。§8-4三角形单元的位移函数与刚度矩阵1.节点位移与节点力(平面应力问题)选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量mjFxiFyiiuv(x,y)oyx三角形三节点单元u1v12.位移函数可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元中做出位移插值函数）。三角形单元中，可以假定位移分量只是坐标的线性函数，即假定：

首先，我们要确定三角形单元内各点的位移变化规律。即当节点位移确定时，单元内各点的位移应如何插值？

设单元内任一点的位移是该点坐标（x,y)的线性函数。对于采用三角形单元的平面问题来说，当单元取得足够小时，取线性位移插值函数是合理的。（a)式中a1,a2...a6,是待定常数，它们可以由单元的边界条件，即节点的位移值来确定。为此，只要将节点的坐标值代入式（a)，就得到节点的位移值：

简写为：其中，节点的坐标值是已知的，令为三角形单元的面积。并将1、2、…6代入位移模式，经整理后得到：

解出若令这样，位移模式就可以写为（i,j,m轮换）简写为：其中是单元的节点位移列阵。是形态函数矩阵或形函数矩阵。

上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通过形函数插值求出单元内任意一点的位移。2023/2/3简写为：其中应变转换矩阵B可写成分块形式：

其子矩阵为：

3.单元应变和应力利用几何方程和物理方程，求出单元中的应变和应力，用节点位移表示：将位移函数(8-32)代入几何方程(8-11)，得出用节点位移表示单元应变。

求得应变之后，再将应变矩阵表达式式代入物理方程，便可推导出以结点位移表示的应力。即令则返回其中[S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有对于平面应力问题，弹性矩阵[D]为(i)所以，[S]的子矩阵可记为4.

单元刚度矩阵

为了推导单元的结点力和结点位移之间的关系，可应用虚功原理对图中的单元e进行分析。单元e是在等效结点力的作用下处于平衡的，而这种结点力可采用列阵表示为：(a)假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个结点i、j、m

的虚位移为{}[][]TmmjjiiTTmTjTieYXYXYXFFFF==单元内的虚应变{

*}为于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为(d)(f)而单元内的应力在虚应变上所做的功为(g)根据虚功原理，弹性体处于平衡状态时，外力在虚位移上做的功等于应力在虚应变上所做的功。这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及上式代入上式，并将提到积分号的前面，则有根据虚功原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得记则有

上式就是表征单元的结点力和结点位移之间关系的刚度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵[D]中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当然单元的厚度也是常量时，所以上式可以简化为[k]e=[B]T[D][B]t

返回

将上式写成分块形式，即可得到平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵其中(r=i、j、m；s=i、j、m)

结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：——i结点的结点力列向量——围绕i结点所有单元的结点力的向量和——i结点的载荷列向量。§8-5整体刚度矩阵

每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件上面的公式求和得到，即：i＝1，2，……n

其中，[K]为结构整体刚度矩阵；为结构的结点位移列向量。

进而可得到整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：

同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。

作用在弹性体上的载荷不外乎是：

*体力（自重、惯性力）

*面力

*集中力

三种。

用有限元法解题时，既然全部问题都归结到节点来处理，那么，当单元上作用有外载荷时，也应把它们移置到节点上来，成为节点载荷。

这种移置必须按照静力等效原则进行§8-6外荷载处理

所谓“静力等效”，系指原载荷与移置后的节点载荷，在弹性体的任何虚位移过程中的虚功相等。

当插值函数已经确定时，这种移置的结果是唯一的。

在取线性位移插值时，符合刚体静力等效原则，即：

载荷与节点载荷在任一轴上投影之和相等，对任一轴的力矩之和也相等，也就是说，原载荷与节点载荷将具有相同的主矢和主矩。

通常，我们总将集中力的作用点取为节点，不需要移置。因此，下面只讨论：

体力和面力的移置(1)体力的移置以重力为例来说明这个问题。设有匀质、等厚度、编号为e的三角形单元，三个节点为i,j,m，重力作用在形心c上，如图右图所示。由初等几何知，

首先，我们求移置到i节点上的垂直节点载荷。为了便于计算虚功，假想该单元在节点i处沿y方向产生一个单位虚位移，而其它两点不动；这相当于在j点及m点安置了铰支座，在i点安置了水平连杆支座，如右图。

由于我们在三角形单元中采用的位移插值函数是线性的，所以任一条直线上各点位移都呈线性变化。

现在m点及j点的位移都等于0，所以在边上各点位移都等于0；

线上各点的垂直位移也按线性变化，在b点等于0，在i点为1。因此c点的垂直位移将为1/3。

按静力等效原则，体力载荷W的虚功应等于的虚功，即有：

或Yei=-W/3

负号表示Yei的方向与图上所画的方向相反。

用同样的方法可以得到

Yej=-W/3,Yem=-W/3

下面来求移置到节点i上的水平节点载荷Xei。与前面一样，在形心c处有W作用，假设节点i只沿x方向产生一个单位的虚位移，而其它两点不动。由右图可知，c点的垂直位移等于0，水平位移等于1/3。按静力等效原则，有：

故:

用同样的方法可以得到：

Xej=0,Xem=0写成分量形式:

由此可以得出如下结论：

对于匀质、等厚度的三角形单元，当考虑自重时，只需把1/3的重量移置到每个节点上，就完成了重力载荷的移置，而不必再去列出虚功相等的条件。这也完全符合对刚体的静力等效原则。

但必须指出：上述结果是由于我们采用线性位移插值函数造成的。如果位移插值函数是非线性的，例如是坐标的二次函数，那就不满足1/3的关系，也就不能按简单的刚体静力等效原则来处理，而必须用虚功方程来建立普遍的表达式。(2)面力的移置1）设等厚度的三角形单元e的三个节点为i,j,m其边界ij上受有垂直均匀分布的面力载荷。载荷集度（单位长度上的力）为q，如右图所示。仍然采用线性位移插值函数方法。则根据静力等效原则，将此均匀分布的面力载荷移置到两侧节点i,j上时，等效节点载荷为：

式中l为的边长，

Rei,Rej仍与原载荷平行，

故此时单元的节点载荷列阵为：

或:2)若ij边上受有三角形分布的面力载荷，

在i点上的载荷集度为,j点上为0，则其单元的节点载荷列阵是：

或

3）若ij边上受有垂直的梯形分布的面力载荷，在i,j点上载荷集度分别为和，则其等效节点载荷为：或写成分量形式：

式中分别是在x,y方向上的分量，其方向与x,y轴正向一致为正，反之为负。计算实例弹性模量为E，，不计自重。求各角点的位移及应力。

如图所示一块薄板，长度和宽度分别为2米、1米，厚度为t，一端固定，一端受均布拉力q，1、离散结构物

为了计算简单，划分为2个单元，单元号和节点编号如图所示。对节点进行编号时，应使同一单元内的节点编号间差值最小。

2、选择单元的位移模式因为采用的是三节点的三角形单元，位移模式已确定。

3、计算单元刚度矩阵r=i,j,m

s=i,j,m对于平面应力问题，三角形单元的刚度矩阵其中，—三角形单元的面积，=1/2*2*