第五章线性系统频率分析

第五章线性系统的频域分析§5.1频率特性的概念§5.2典型环节的频率特性§5.4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性§5.3系统的开环频率特性§5.5利用开环频率特性分析系统性能§5.6利用闭环频率特性分析系统性能本章重点开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)；乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的应用；对数频率特性和闭环系统性能的关系；开环频率特性指标；闭环频率特性指标。本章难点开环频率特性的绘制；乃奎斯特判据的原理及其应用；剪切频率及相角、幅值裕度的求取；二阶系统频率特性指标和时域指标的换算；典型二型系统频、时域指标的定性关系。时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域响应不易。正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。§5.1频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。AB相角问题①

稳态输出迟后于输入的角度为：②该角度与ω有BA360oφ=AB③该角度与初始关系∴为φ(ω),角度无关∴,…例：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：其拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：一、频率特性的定义

其稳态响应为：上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：—幅值频率特性—相角频率特性频率特性的定义：

线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。例题中输入信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：它们之比为：010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90幅频特性和相频特性数据频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。二、频率特性与传递函数的关系线性定常系统的传递函数表达式为输入为r(t)=Msin(ωt)，若无重极点，上式可写为若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：G(jω)是一复数，可写为得到线性系统的幅频特性和相频特性：频率特性和传递函数的关系为

系统的频率特性也是输入信号的氏变换和输出信号的傅氏变换之比。系统的单位脉冲响应为：其中经过傅氏反变换三、频率特性的几种图示方法1.幅相频率特性曲线

它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。系统的频率特性可表示为：对某一固定频率ω1在极坐标系中画出该向量。ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为Nyquist曲线。实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？惯性环节G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.052.对数频率特性曲线（Bode图）在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成。频率的对数分度半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程对数幅频特性：指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。对数相频特性：指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。即纵坐标L(ω)称为对数幅值，单位是dB(分贝)。纵坐标是的单位是“°”。采用线性刻度。采用对数坐标图的优点：（1）将低频段展开，将高频段压缩。（2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。…（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。（4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。3.对数幅相特性曲线（Nichols图)由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。§5.2典型环节的频率特性、典型环节的幅相频率特性步骤：（1）求环节或系统的传递函数G(s)；（2）令s=jω,求出频率特性表达式G(jω)（3）G(jω)分为实部P(ω)和虚部Q(ω)，若G(jω)的分母为复数和虚实需要做有理化处理。（4）求出幅频和相频特性A(ω)和的表达式，根据不同的值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。一、比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K=const

频率特性表达式为：返回ωL(ω)/dB0dBω0°φ(ω)20lgK比例环节的Bode图二、惯性环节惯性环节的传递函数为：频率特性表达式为：此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。

0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1惯性环节1G(jω)惯性环节的bode图采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。对数幅频特性为：在低频段，ω<<1/τ，即ωτ<<1，可略去ω2τ2。频率特性可近似为：L(ω)≈0dB在高频段，ω>>1/τ，即ωτ>>1，可略去1。频率特性可近似为：L(ω)≈-20lgωτω的频率增大10倍时ΔL(ω)=L(10ω1)-L(ω1)=-20(dB)高频渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为-20db/dec或[-20]。高频渐近线正好在ωτ＝1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。—低频渐近线—高频渐近线0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]8db返回惯性环节L(ω)三、积分环节积分环节的传递函数为：频率特性表达式为：ω＝1时，L(ω)＝-20lg1=0dBω＝10时，L(ω)＝-20lg10=-20dB0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[-20]返回积分环节L(ω)四、微分环节纯微分环节纯微分环节的传递函数为：频率特性表达式为：ω＝1时，L(ω)＝20lg1=0dBω＝10时，L(ω)＝20lg10=20dB0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]返回微分环节L(ω)

（2）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为：频率特性为：在低频段，即ωτ<<1，可略去ω2τ2。在高频段，即ωτ>>1，可略去1。0.10.21210201000db20db40db-20db--40dbL(ω)ω[+20]-8db返回一阶微分L(ω)

（3）二阶微分环节传递函数为：频率特性为：二阶微分j01幅相曲线对数幅频渐近曲线0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ξ<0.707时有峰值：0db20db40db-20db--40dbL(ω)ω返回0.1110100[40]二阶微分L(ω)

五、振荡环节(0<ξ<0.707)0Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:返回振荡环节G(jω)振荡环节L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振荡环节再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]0＜ξ＜0.5ξ=0.50.5＜ξ＜1提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r五、滞后环节ω0dBω0°φ(ω)L(ω)/dB90°180°270°§5.3系统的开环频率特性、系统开环幅相频率特性的绘制例5.1设系统的开环频率特性为已知：K＝10，T1＝1，T2＝5，绘制开环幅相频率特性。可以得到开环幅相特性为：例5.2设某I型系统的开环频率特性为绘制开环幅相频率特性。ImReω→0-K(T1+T2)ω→∞0GH平面绘制开环极坐标图时应注意的特征ω→0时，低频段从何处出发？ω→∞时，高频段以何种姿态卷入原点？曲线在ω为何值时穿越实轴和虚轴？穿越的坐标值为多少？ω→0时，低频段的表达式为：幅频和相频表达式分别为：ω→∞时，高频段的幅频和相频特性为：n-m=1时，曲线沿负虚轴卷向原点；n-m=2时，曲线沿负实轴卷向原点；n-m=3时，曲线沿正虚轴卷向原点。试分析v=0、1、2时，曲线的起始点情况？N-m=1ReImω→0ω→0ω→0ω→∞0型

Ⅰ型

Ⅱ型

ReImGH平面极坐标的低频段极坐标的高频段N-m=2N-m=3GH平面0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例题1：绘制的幅相曲线。解：求交点：

曲线如图所示：返回开环幅相曲线的绘制二、系统开环幅相频率特性的绘制如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开环对数频率特性为：步骤—求出低频渐近线的斜率和位置。再确定转折频率和转折和的直线的斜率。由低频到高频绘出开环频率特性。1.低频渐近线的绘制ω→0时，G(jω)低频段表达式为：则幅频特性为：无论v为何值，ω=1时，总是L(ω)＝20lgK(dB)。特征：低频渐近线（或延长线）在ω=1处的高度为20lgK(dB)，K是开环传递系数。与0dB相交点的频率为K1/v。低频渐近线的斜率为－20v(dB/dec)，v是无差度的阶数。2.转折频率及转折后斜率变化量的确定经过ωi后，斜率变化量为+20dB/dec。经过ωk后，斜率变化量为+40dB/dec。经过ωj后，斜率变化量为-20dB/dec。经过ωl后，斜率变化量为-40dB/dec。相频特性的表达式为：定义：若L(ωc)＝0dB，则ωc称作剪切频率，也叫0dB频率。剪切频率下的相角为φ(ωc)。绘制L(ω)例题100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]ωc-剪切频率0.52812dB[-20][-40][-20][-60]三.最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统1.最小相位传递系统系统的传递函数G(s)的全部极点位于s平面的左半部，没有零点落在s的右半平面。2.非最小相位系统

系统传递函数G(s)有一个或多个零点或极点落在右半s平面上，则这种函数称为非最小相位传递函数。3.开环不稳定系统：系统传递函数G(s)有一个或多个极点落在s平面的右半部。最小相位系统—在具有相同幅频特性的一类系统中，当ω从0变至∞时，最小相位系统的相角变化范围最小。例：最小相位系统的特点：（1）最小相位系统的幅频特性和相频特性是密切相关的。若L(ω)特性的斜率变得更负，则对数相频特性的相位也要朝着更负的方向变化；反之亦然。(2)对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性是一一对应的。对于最小相位系统一般只画出幅频特性就够了，而对于非最小相位系统，要同时画出幅频和相频特性。§5.4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性一、映射定理（幅角定理）设有一复变函数为：由复变函数的理论可知：如果函数F(s)在s平面的指定区域内是非奇异的，则对应于此区域上的任何一点d，都可以通过F(s)的映射关系在F(s)平面内找到对应的一个点d′(称d′为d的象)，对于s平面内任何一条不通过F(s)奇异点的封闭曲线Γ，也可以通过F(s)的映射关系在F(s)平面内找到一条与之相对应的封闭曲线Γ′(称Γ′为Γ的象)。复变函数的相角可以表示为：若在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1，其它的零极点都位于封闭曲线之外，则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z1)的相角变化－2π，其它各相量的相角变化为零，即这意味着在F(s)平面上映射的曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点。则在F(s)平面上映射的曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点Z周。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的P个极点。当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(s)平面上映射的曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点P周。映射定理(幅角定理)：设s平面上不通过F(s)任何奇异点的某条封闭曲线Γ，它包围了F(s)在s平面上的Z个零点和P个极点，当s以顺时针方向沿封闭曲线Γ移动一用时，则在F平面上相对应于封闭曲线Γ的像Γ′将以顺时针的方向围绕原点旋转N圈。N与Z、P的关系为N=Z－P。二、乃奎斯特稳定判据设系统的开环传递函数为构造辅助函数辅助函数F(s)具有以下特点：(1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。(2)F(s)的零极点数目相同，都为n。(3)F(s)与开环传递函数G(s)H(s)之间只差一个常量1，F(s)=1+G(s)H(s)的几何意义为：F平面的坐标原点就是GH平面的(-1,j0)点。

为了确定辅助函数F(s)位于右半s平面内的所有零点和极点数，将封闭曲线Γ扩展展为整个右平面。为此，Γ曲线由以下3段所组成：Ⅰ.正虚轴s=jω，ω从0变化到+∞；Ⅱ.半径为无限大的右半圆，s=Rejθ，R→∞，θ由π/2变化到-π/2；Ⅲ.负虚轴s=jω，ω从-∞变化到0。ⅠⅡⅢRejθR→∞乃奎斯特回线ReIm奈氏曲线肯定包围了F(s)位于s平面右半部的所有零点和极点。

根据映射定理，当s沿着平面上的奈奎斯特曲线移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N=P-Z。设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。闭环系统稳定的充要条件是：F(s)在s平面的右半部无零点，即Z=0。如果在s平面上，s沿着奈奎斯特曲线顺时针移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线Γ′围绕坐标原点按逆时针方向旋转N=P周，则系统是稳定的。G(s)H(s)=F(s)-1，这意味着F(s)的映射曲线Γ′围绕原点的运动情况，相当于G(s)H(s)围绕着(-1,j0)点的运动情况。奈奎斯特稳定判据—闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当ω从-∞变化到+∞时，系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时针方向包围(-1,j0)点P周，P为位于s平面右半部的开环极点的数目。若开环系统是稳定的，即位于s平面右半部的开环极点的数目为零，则闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当ω从-∞变化到+∞时，系统的开环频率特性不包含(-1,j0)点。例5.4.1设系统的开环频率特性为用乃氏判据判别系统的稳定性。系统的乃氏曲线见P43页。系统的右半平面的开环极点数P＝0系统的开环频率特性不包含(-1,j0)点。N＝0。N＝P－Z所以P＝0，则闭环系统稳定。例5.4.2设系统的开环频率特性为ω=0时，P(ω)=5.2;ω=2.5时，P(ω)=0；Q(ω)=-5.06；ω=3时，P(ω)=2；Q(ω)=0；ω=∞，终止在原点。N=-2，N=P-Z，P=0，Z=2，F(s)有两个不稳定的零点，闭环系统有两个不稳定的极点。判断何时系统稳定？例2判断系统的稳定性并讨论K值对稳定性的影响。K<1时，不包含(-1,j0)点，N=0，而P=1，所以Z=P-N=1，系统不稳定。K>1时，逆时针包含(-1,j0)点一周，N=1，所以Z=P-N=0，系统稳定。三、奈氏判据在Ⅰ型和Ⅱ型系统中的应用按照幅角定理的规定，在s平面的奈氏曲线不能通过F(s)的奇异点。重新定义乃氏曲线如下：Ⅰ.正虚轴s=jω，ω从0+变化到+∞；Ⅱ.半径为无限大的右半圆，s=Rejθ，R→∞，θ由π/2变化到-π/2。Ⅲ.负虚轴s=jω，ω从-∞变化到0-；IV．半径为无穷小的右半圆，s=εejθ，ε→0，θ由-π/2变化到π/2。ⅠⅡⅢRejθR→∞修改的乃奎斯特回线ImⅣcbdeaε→0jεjR当s沿着小半圆移动时若开环特性中含有积分环节，当s→0时其特性近似为ω从0-→0+时，θ从-π/2→π/2。G(S)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从vπ/2→-vπ/2。Imcbdeaε→0Res平面K/ε→∞ReImω=0-ω=0+ω=0-a1b1c1d1e1ω=0+ω=0ReImGH平面K/ε→∞ω=0ω=0-ω=0+b2c2d2e2a2Ⅰ型系统对小半圆路径的映射曲线Ⅱ型系统对小半圆路径的映射曲线小半圆路径例某I型系统的开环频率特性如图所示，没有开环不稳定极点，判断系统的闭环稳定性。N=0，P=0，Z=P-N=0没有闭环不稳定极点。闭环稳定。若频率特只画出ω从0+→∞部分，则有若闭环系统稳定，则Z=0，从而有正负穿越随着ω的增大，若频率特性曲线GH(jω)以逆时针方向包围(-1，j0)点一圈，则GH(jω)曲线的正半段必然从上至下穿过G(s)平面负实轴的(-∞，-1)区段一次。这种穿越伴随着相角的增加而穿越的，故称为正穿越。反之叫负穿越。若曲线从(-∞，-1)上出发，则相应的穿越次数只能算半次。四、根据伯德图判别系统的稳定性-1ImRe+_ω∞+_ωωL(ω)φ00dB例：见69页。采用伯德图时乃奎斯特判据的表述如下：闭环系统稳定的充要条件时：当ω从0变化到∞时，在开环对数幅频特性L(ω)≥0的频段内，相频特性φ(ω)穿越-π线的次数(正穿越和负穿越之差)为P/2。P为s平面右半部开环极点的数目。例：见54页五、系统的相对稳定性和稳定裕度稳定裕度的定义

若z=p-2N’中p=0,则G(jω)过(-1,j0)点时，系统临界稳定，见下图：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，G(jω)=1同时成立！特点：∠

G(jω)

=-180o0j1-1G(jω)j01ωcωgγG(jω)G(jωg)∠G(jωc)∠G(jωc)–γ=–180oG(jωg)Kg=1幅值裕度Kg=G(jωg)1相角裕度=180o+∠G(jωc)γ稳定裕度的定义续1-10dB-180ocωgωcg∠

G(jωc)20lg–γ–180o=γ=180+∠

G(jωc)相角裕度:幅值裕度:hdB=－20lg稳定裕度的定义续2§5.5利用开环频率特性分析系统性能一、L(ω)低频渐近线与系统稳态误差之间的关系。

开环传递函数中积分环节的数目(系统的型别)决定了低频渐近线的斜率。

低频渐近线的高度决定了开环传递系数(静态误差系数)。1.0型系统则低频渐近线为ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK2.Ⅰ型系统低频渐近线方程为ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-20][-40]ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-20][-40]ω=K时，L(ω)=0ω=1时，L(ω)=20lgK3.Ⅱ型系统低频渐近线方程为ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-40][-60]ω0dBL(ω)/dBω10dB20lgK1[-40][-60]

时，L(ω)=0ω=1时，L(ω)=20lgK二、L(ω)中频段斜率与系统稳定性之间的关系。中频段：剪切频率ωc附近的频率段。

在ωc处，L(ω)曲线的斜率对相角裕度γ的影响最大，远离ωc处的对数幅频特性对γ的影响很小。例：系统的开环频率特性为ω0dBL(ω)/dBω1=1/T10dBωcωc处的相角为ωc较小时，γ由低频段频率特性决定，如ωc

T1=0.001时，φ(ωc)=-179.94°,γ≈0.06°ωc较大时，γ由高频段频率特性决定，如ωc

T1=100时，φ(ωc)=-90.6°,γ=89.4°。在中频段，则同时受这两种曲线斜率影响。例：设系统的开环传递函数为ω0dBL(ω)/dBω1=1/T10dBωcω2=1/T2[-40][-20][-40]若ωc、ω2不变，ω1↓，γ↑；ω1↑，γ↓。若ωc、ω1不变，ω2↓，γ↓；ω2↑，γ↑。中频段的宽度越大，γ越大。若T1较大，ω1很小，斜率为[-40]的低频段对γ的影响可以忽略。若T2较小，ω2很大，斜率为[-40]的高频段对γ的影响可以忽略。若ω1、ω2不变，令ω2=hω1,h表示中频段的宽度。找出ωc变化为何值时，γ出现最大值。ωc在ω1、ω2的几何中心处，具有最大的相角裕度γm。此时h越大，γ也越大。三、开环频率特性和系统动态性能的关系开环频率特性的特征量(开环频域指标)：γ和ωc。系统动态性能的时域指标：σ%、ts。它们之间的关系是什么？1.二阶系统闭环传函为开环传函为开环频率特性为(1)γ与σ%的关系开环幅频和相频特性为：在ω=ωc处，A(ωc)=1，即解得：当ω=ωc时，相角裕度为：ζγγσ%γ越小(即ξ越小)σ%越大，γ越大，σ%就越小，通常为是使二阶系统在阶跃函数的作用下振荡不至于过于剧烈，以及调节时间不至太长，通常取30°<γ<60°。(2)γ、ωc与ts的关系二阶系统的调整时间为(取Δ=0.05)：

因为所以有考虑到调节时间ts与γ和ωc都有关。如果相角裕度γ已经给定，那么ts与ωc成反比。如果两个二阶系统的相角余量γ相同，那么它的最大超调量也相同，这样，ωc较大的系统，其调节时间ts必然较短。2.高阶系统一般三阶或三阶以上的系统要导出其频域特征量和时域指标的关系是比较困难的，可用近似方法。结论：随