第五章 结构位移计算

第五章结构的位移计算基本要求：

理解实功、虚功、广义力、广义位移的概念，变形体虚功原理和互等定理。掌握荷载产生的位移计算。熟练掌握图乘法求位移。了解了解温度改变、支座移动引起的位移计算。5.1概述

一、结构位移种类A位移角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面角位移P绝对位移相对位移：指两点或两截面相互之间位置的改变量。FP1FP2FP3CDABCD两点的相对水平位移AB两截面的相对角位移FP1FP2FP3CDAB还有什么原因会使结构产生位移?二、使结构产生位移的因素制造误差等荷载温度改变支座移动为什么要计算位移?铁路工程技术规范规定:

三、计算位移的目的(1)验算结构刚度在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。

如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。(2）建筑起拱和施工要求(3)为超静定结构计算打基础超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形协调条件。abABCFP=1ABCab四、虚力原理已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。——虚设力系求刚体体系位移五、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程练习：

已知刚架支座B向右移动a,求。解：1）求CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求DCADB10.50.5h/dh/dd/2d/22）求CADB1/h1/h00d/2d/2113）求CABhd/2d/2aD§5.2结构位移计算一般公式1.局部变形时静定结构的位移计算BABA1AB虚功方程：BABA1A例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移。例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移。例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡条件：虚功方程：当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：推导位移计算公式的两种途径{由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－局部到整体。2、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。或3、结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。4.求位移步骤如下：①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；③利用位移计算一般公式求位移。5.广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移。+a)给定位移qABΔAHΔBHκ,γ0,

εc)虚设单位荷载1AB1b)AB11d)虚设单位荷载2AB1=虚设单位载荷如上页图c)，d)所示。由上图b)可得：所以得：所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：1)q求Δφ11单位荷载AB1/l1/l单位荷载ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）ABFPΔAVΔBV原结构3)例:1)求A点水平位移所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角

5.3荷载作用下结构的位移计算CABDFP=1给定位移、变形κ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP

)FPCABqDD若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。在荷载作用下，应变与内力的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）正负号规则：1）不规定和的正负号，只规定乘积的正负号。若和使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MP正MP负MP2）和以拉力为正，压力为负；3）和的正负号见下图。各类结构的位移计算公式1.梁和刚架在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。

5.4荷载作用下结构的位移计算举例2.桁架桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：4.拱拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构用于弯曲杆用于二力杆解：例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.PP=1例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载qcos=FQq

sin-=FNqsin-=RMqcos=PFQPqsin-=PFNPqsin-=PRMP虚拟荷载下内力3）位移公式为QNMD+D+D=GAPREAPREIPR++=D4443pkppds=Rdθθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k

=1.2,I/A=h2/1212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412øöçèæ==DDMQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载下内力dGAPRdEAPREIPR+ççèæøö+=òòcossin20203qq

kqqpp22h101<R如PGAdsFQPFQEAdsFNPFNEIdsMM++=Dòòòk例题5－3如图所示为等截面简支梁，其左半跨内均布荷载q，梁横截面的弯曲惯性矩为I，试求该梁中点截面C的角位移ΦC。解：在左半跨内(0≤x≤l/2):在右半跨内(0≤x≤l/2):作业5-15-25-65-85-105.5图乘法在杆件数量多的情况下,不方便.下面介绍计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：òkidsEIMMòÞ=kiCEIdxMMEI1åòå==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòÞBAkMdxxtgMEIi1a是直线òÞkidxEIMM直杆αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ωy0=x0tgα一、图乘公式推导òBAkdxxMMK对y轴的静矩。图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。图乘法的适用条件是什么?AB1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线图形；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。(1)曲-折组合例如ycy2y1y3(2)阶梯形截面杆二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法抛物线的顶点（FQ=0处）在抛物线的中点或端点.例.试求图示梁B端转角.解:例.试求图示结构B点竖向位移.解:（

）BAq例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:三、图形分解求当弯矩图的形心位置或面积不便于确定时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分，并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面分两种情况讨论。三、图形分解求三、图形分解求C截面竖向位移当抛物线的顶点（FQ=0处）不在抛物线的中点或端点时，可将其分成直线形和简单抛物线（如图示），然后两者分别与另一图形相乘，再把乘得的结果相加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw5Pl/6？？两个图形均非直线性竖标不是取在直线图形中四、图乘法小结1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非直线时，应分段图乘再叠加；例1.已知EI为常数，求C、D两点相对水平位移。五、应用举例lqhq解：例2.已知EI为常数，求铰C两侧截面相对转角。五、应用举例解：lqllq例3.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。五、应用举例l/2ql/2MP例3.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。五、应用举例l/2ql/2MP例3.图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP5.6温度作用时的位移计算静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值

2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：对于矩形截面杆件，，。hb杆轴线处温度改变值：h1h2ht1t2t2-

t1dth1h2ht1t2ds3.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变4.位移计算公式小结：1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。2）例求图示刚架C截面水平位移。已知杆件线膨胀系数为，杆件矩形横截面高为h。解：CABdd1CABdd图CAB图§5-8变形体虚功原理及位移计算一般公式一、变形体虚功原理

定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi

，即W=Wi

。下面讨论W及Wi的具体表达式。条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。以上两种状态彼此无关。2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。

3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性

结构。第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）外力虚功：微段ds的内虚功dWi：整根杆件的内虚功为：第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。

考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)

变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。二、位移计算的一般公式所以在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为：§5.9互等定理互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即定理在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理定理在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。即δ12=δ21即由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移Δij与力FPj的比值是一个常数，记作δij，即：或于是所以状态II12状态I121212说明：1）

δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。

i产生位移的方位；j产生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。图示同一结构的两种状态，根据位移互等定理下列式子正确的是AΔ1=Δ3Bθ2=θ4

CΔ3=θ2DΔ1=θ4

例

验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/41/2M/2所以例

验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ12解：所以153111三、反力互等定理

反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：rij也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为。i产生支座反力的方位；

j产生支座移动的支座。某桁架支座B被迫下沉5mm，并测得下弦结点相应的挠度如题1.7（a）图所示，此时桁架上无其它荷载。题1.7（b）图所示荷载作用下引起的支座B的反力为

。定理在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令状态I1FP12FR21状态II1Δ122C2位移反力互等定理在混合法中得到应用。所以由此得到即上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数、的量纲都是。定理在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数

，但二者符号相反。作业5-185-205-235-29小结在静定结构与超静定结构分析中，本章内容起着承上启下的作用。它既是静定结构的结尾，又是超静定部分的先导。虚功原理

单位荷载法位移计算的一般公式是：位移计算时应注意以下几点：分清式中包含的两套物理量：一套是位移和应变，这是给定的；另一套是外力和内力，这是虚设的。位移计算公式不但适应静定结构，同时也适应与超静定结构，要了解其使用的范围。对于单位荷载法，要能够正确的根据所求位移，虚设出单位荷载状态。不同的结构和状态又不同的计算公式，梁和刚架、桁架、支座移动、温度改变各有相应的计算公式和方法。图乘法是计算粱和刚架的位移的基本方法，一方面要了解图乘法的应用条件，另一方面要熟练掌握计算方法。1.1结构发生了变形，必然会引起位移，反过来，结构有位移必然有变形发生。1.2无法用图示单位荷载，来求图示结构中K点的