第二章 控制系统数学模型

第二章

控制系统的数学模型2-1拉普拉斯变换2-2控制系统的时域数学函数2-3控制系统的频域数学函数2-4动态结构图与梅逊公式2-5系统的脉冲响应函数2-6典型反馈系统传递函数返回主目录分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。比较：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。2-1拉普拉斯变换返回子目录

拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。

拉氏变换法2-2控制系统的数学模型基本步骤：分析各元件的工作原理，明确输入、输出量建立输入、输出量的动态联系消去中间变量标准化微分方程返回子目录

列写微分方程的一般方法例1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：例2.

设有一弹簧质量阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力

Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系数（N·s/m);

K——弹簧刚度（N/m)。将式(2-4)的微分方程标准化T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即，则式可写成求解方法：经典法、拉氏变换法。线性定常微分方程的求解

拉氏变换法求解步骤：

1.考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；

2.求出输出量拉氏变换函数的表达式；

3.对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例3

已知R1=1Ω，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：2－2非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。返回子目录于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。△x可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第八章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例：设线性微分方程式为若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。

上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。2－3传递函数

(transferfunction)传递函数的概念与定义

线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。返回子目录这里，“初始条件为零”有两方面含义：一指输入作用是t＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=时，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。一、传递函数的概念与定义G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=

线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数。传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：m，n

。二、关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当时，，所以，一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。三、传递函数举例说明例4.

如图所示的RLC无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压ui(t)与输出电压uo(t)之间的传递函数。试列写网络传递函数Uc(s)/Ur(s).例4

如图RLC电路，RLCi(t)ur(t)uc(t)解:1)零初始条件下取拉氏变换：传递函数：因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为LsR1/sCI(s)Ur(s)Uc(s)2)变换到复频域来求。传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：四传递函数的零点和极点

传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。0

jS平面

零、极点分布图

传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式：例5

具有相同极点不同零点的两个系统

,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为

极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中所占比重。五

传递函数的零点和极点对输出的影响六、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：比例环节，传递函数为：积分环节，传递函数为微分环节，传递函数为惯性环节，传递函数为一阶微分环节，传递函数为式中：，T

为时间常数。二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼系数。二阶微分环节，传递函数为式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：2－4动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。返回子目录一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。信号线

表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。2.传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。3.综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。＋省略时也表示＋4.引出点表示同一信号传输到几个地方。二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。2.并联连接G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。3.反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)－C(s)H(s)三、系统动态结构图的构成构成原则：

按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。

例7

绘出RC电路的结构图。Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(-)R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例8

绘出图示双RC网络的结构图。uiuouC2C1ici1R1R2i2解：列出所有的象函数uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)I2(s)Uo(s)(e)绘出网络对应的复频域图，可得：uiuouC2C1ici1R1R2i2U(s)I2(s)Uo(s)(d)(-)IC(s)U(s)(c)IC(s)I1(s)I2(s)(-)(b)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(a)I2(s)Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)最后整理成常规结构图四结构图的等效变换思路：

在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。1.串联结构的等效变换（１）串联结构图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（２）等效变换证明推导G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串联结构的等效变换（３）串联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)•G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。1.串联结构的等效变换（４）2.并联结构的等效变换并联结构图C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)等效变换证明推导(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2.并联结构的等效变换等效变换证明推导C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)

并联结构的等效变换图G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。3.反馈结构的等效变换反馈结构图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(s)=?3.反馈结构的等效变换等效变换证明推导G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3.反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)4.综合点的移动（后移）综合点后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动前后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点后移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)综合点前移G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动前）G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动后）移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移动后综合点前移证明推导（移动前后）4.综合点的移动（前移）综合点前移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4.综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)4.综合点之间的移动结论：结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5.引出点的移动引出点后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题：要保持原来的信号传递关系不变，

？等于什么。引出点后移等效变换图G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出点前移问题：要保持原来的信号传递关系不变，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出点前移等效变换图G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)引出点之间的移动相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)五举例说明（例1）例1：利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数θc(s)/θr(s)

。例题分析由动态结构图可以看出该系统有两个输入r，ML（干扰）。我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、输入关系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩

ML＝0，即认为ML不存在。要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。例题化简步骤（1)合并串联环节：例题化简步骤（2)内反馈环节等效变换：例题化简步骤（3)合并串联环节：例题化简步骤（4)反馈环节等效变换：例题化简步骤（5)求传递函数Qc(s)/Qr(s)

：五举例说明（例2）例2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。例2（例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。例2（解题思路）解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。例2（解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。例2（解题方法一之步骤2）例2（解题方法一之步骤3）例2（解题方法一之步骤4）内反馈环节等效变换例2（解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果例2（解题方法一之步骤6）串联环节等效变换例2（解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果例2（解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换例2（解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果例2（解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换例2（解题方法一之步骤11）等效变换化简结果例2（解题方法二）将综合点③前移，然后与综合点②交换。例2（解题方法三）引出点A后移例2（解题方法四）引出点B前移结构图化简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。结构图化简注意事项：有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动；尽量避免综合点和引出点之间的移动。信号流图的基本性质：

1)节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和，用“O”表示；

2)信号在支路上沿箭头单向传递；

3)支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号；

4)对一个给定系统，信号流图不是唯一的。信号流图

信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。信号流图中常用的名词术语：源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。

1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x1阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。

前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。

回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。

不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。1.由系统微分方程绘制信号流图

1）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；

2）每个变量指定一个节点；

3）将方程按照变量的因果关系排列；

4）连接各节点，并标明支路增益。信号流图的绘制上式拉氏变换C1uiR1R2uoi1i例3

求右图的信号流图Ui(s)Ui(s)-Uo(s)Uo(s)Uo(s)uC(0)-1I1(s)I(s)R21+R1C1s1/R1-C1

信号传递流程：1)用小圆圈标出传递的信号，得到节点。

2)用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)结构图(节点)C(s)R(s)G(s)(节点)(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信号流图2.由系统结构图绘制信号流图例4

绘制结构图对应的信号流图(1)。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2例4

绘制结构图对应的信号流图(2)。五、用梅森（S.J.Mason）

公式求传递函数梅森公式的一般式为：

特征式：

—所有单独回路增益之和；

—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；

—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中

三个回路增益的乘积之和。

—余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的Δ值。其中：n—从输入节点到输出节点之前向通路总数。

Pk—从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益。梅森公式参数解释：

前向通路有两条：，没有与之不接触的回路：，与所有回路不接触：

解：三个回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例5

已知系统信号流图，求传递函数。

回路相互均接触，则：f求传递函数X4/X1及

X2/X1。例6

已知系统信号流图，解：三个回路有两个互不接触回路举例说明（梅森公式）例7：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)求解步骤之一（例1）找出前向通路数n求解步骤之一（例1）前向通路数：n＝1求解步骤之二（例1）确定系统中的反馈回路数1.寻找反馈回路之一1.寻找反馈回路之二1.寻找反馈回路之三1.寻找反馈回路之四利用梅森公式求传递函数(1)利用梅森公式求传递函数(1)利用梅森公式求传递函数(2)求余子式1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式的求法，计算求余式1将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故1=1利用梅森公式求传递函数(3)例8：用梅森公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之二：确定前向通路求解步骤之二：确定前向通路求解步骤之三：求总传递函数例9：对例8做简单的修改①求反馈回路1②求反馈回路2③求反馈回路3④求反馈回