第五章 线性系统状态变量分析

第5章线性系统的状态变量分析本章主要教学内容

1.状态变量分析的基本概念2.用状态方程描述线性定常连续系统3.线性离散系统的离散状态空间表达式4.线性定常连续系统的状态方程分析5.用线性离散状态方程分析系统6.线性连续系统的离散化

研究对象数学工具理论时域频域单输入-单输出系统连续微分方程传递函数法(Laplace变换)经典控制理论离散差分方程Z传递函数法(Z变换)计算机控制理论多输入-多输出系统

连续一阶微分方程组(状态空间法)传递矩阵法现代控制理论

离散一阶差分方程组(离散状态空间法)

Z传递矩阵法计算机控制理论研究对象、数学工具与理论之比较●

现代控制理论复杂的工程系统可能具有多输入量和多输出量，并且可能是时变的。从1960年开始发展起来的现代控制理论，就是对复杂系统进行分析和设计的新方法，它建立在“状态”概念之上。●

现代控制理论与经典控制理论的区别前者适用于多输入–多输出系统，可以是线性的或非线性的，也可以是定常的或时变的；后者仅适用于线性、定常、单输入–单输出系统。5.1状态变量分析的基本概念5.1.1引例1.右图所示质量-阻尼-弹簧系统，有三种描述方法。（1）微分方程（2）传递函数时，系统的状态就速度、和输入量当已知初始位移、（3）一阶微分方程组这是系统的状态方程，唯一确定了。定义状态变量定义状态向量则则得到状态方程（5.1-1）输出方程（5.2-2）写成标准形式式中2.由一个电阻R（欧姆）、电感L（亨利）和一个电容C（法拉）组成的电路系统。（1）微分方程（2）传递函数（3）状态空间表示。定义状态变量定义输入和输出变量则可得状态方程输出方程写成标准形式式中以状态变量为元组成的列向量5.1.2状态变量、状态向量、状态空间、状态方程1状态变量动力学系统的状态变量是指能完整地、准确地描述系统的时域行为的最小一组变量：2状态向量称为状态向量.3状态空间状态向量所有可能的集合—以状态向量各元素为坐标轴组成的n维正交空间称为状态空间。4状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组，用向量矩阵表示的方程式称为状态方程。标准形式或为n×m维系数矩阵（输入矩阵）。为n×n维系数矩阵（状态矩阵）；为n×1维状态向量；为m×1维输入向量；5.1.3状态方程与输出方程的标准形式1状态方程式中（3）非线性系统—其状态方程不可能写成上述标准（1）定常系统—A和B中的各元素都是不随时间变化的常数；（2）时变系统—有一些元素是时间的函数，即形式，只能一般地表示为—p×1维输出向量；2输出方程标准形式式中—p×n维系数矩阵（输出矩阵；—p×m维系数矩阵（直传矩阵）。！注意在状态方程中不能含有X高于一阶的导数项和U的任何阶的导数项；在输出方程中不含有任何导数项。5.2用状态方程描述线性定常连续系统5.2.1由高阶微分方程化为状态方程(m＜n)其中y为输出函数，u为输入函数。列写状态方程就是1方程中不包含输入函数导数的情况把上式的高阶微分方程化为与确定的状态变量相应的一阶微分方程组，然后用矩阵表示。化为状态变量（1）选择状态变量（2）将高阶微分方程的一阶微分方程组。系统输出关系式为（3）将一阶微分方程组用矩阵形式表示状态方程为输出方程为若记则状态方程和输出方程可写成2方程中包含输入函数导数的情况（1）选择状态变量，令式中：为待定系数。（1）（2）经推导可得（即可由、计算）（3）（2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出方程（3）写成矩阵形式状态方程输出方程5.2.2由传递函数求状态方程1单输入单输出定常系统的传递函数是一般的有理式式中m＜n，它所对应的微分方程为初始条件为选状态变量，可得引入一个中间变量X(s)，将G(s)改写为令则有状态方程……（1）（5.2-1)上页式（1）等价于即输出方程（5.2-2）2传递函数展成部分分式，只有单极点设其中分母N(s)只有单根，即其中待定系数是在相应极点处的留数，即（5.2-3）（5.2-4）于是输出的拉氏变换令则输出（5.2-5）（5.2-6）由式（4.2-5）可得到的拉氏反变换以为状态变量，可以写出状态方程：输出方程：3函数展成部分分式，有重极点设G(s)的分母N(s)可分解为则G(s)可分解为其中重极点对应各项的系数其余系数按式（5.2-4）求得。由传递函数可得选择状态变量则输出的拉氏变换由上组方程的拉氏反变换得到状态方程和输出方程写成矩阵形式状态方程：输出方程：上述状态方程的系数矩阵为若当（John）标准型。其特征是：除主对角线上的元素可取任意值及紧靠主对角线上的元素可为1外，其余元素都为0.的状态方程按前述三种情况求出。化，d是常数，是有理分式。输出的4传递函数分子分母阶次相等当传递函数的分子的阶次m等于分母的阶次n时,拉氏变换为例5.2-1系统的传递函数为，求它的动态方程。【解】输出的拉氏变换由式（5.2-1）可写出状态方程输出方程由两部分组成5.3线性离散系统的离散状态空间表达式单输入-单输出多输入-多输出连续系统时域微分方程一阶微分方程组复域传递函数传递函数矩阵离散系统时域差分方程一阶差分方程组复域Z传递函数

Z传递函数矩阵连续系统与离散系统的分析方法之比较线性离散时间系统的状态空间表达式可表示为F：n×n维，状态矩阵G：n×m维，输入矩阵/驱动矩阵C：p×n维，输出矩阵D：p×m维，直传矩阵/传输矩阵5.3.1由差分方程导出离散状态空间表达式单输入-单输出离散系统的n阶差分方程1m=1.即控制变量（差分方程的输入函数）不包含差分项状态方程：（1）选择状态变量输出方程简写成2

m≠0，即控制变量包含高于一阶的差分选择状态变量差分方程其中待定系数状态方程可以求得.于是得到输出方程例5.2-1设线性定常差分方程为试写出状态方程和输出方程。【解】由已知条件知

!由于状态变量的选择不是唯一的，因此状态方程也不是唯一的。输出方程状态方程5.3.2由Z传递函数建立离散状态空间表达式1直接程序法G(z)可写成令选择状态变量状态方程（1）G(z)具有不同的极点.输出方程2分式展开法式中令则有及设为r重极点.（2）G(z)具有多重极点式中状态方程与输出方程分别为初始条件.5.4线性定常连续系统的状态方程分析5.4.1线性定常齐次状态方程的解先用逐次逼近法求解纯量齐次微分方程用逐次逼近法可求得可以验证级数（5.4-2）是齐次方程（5.4-1）的解，（5.4-1）（5.4-2）对式（5.4-2）求导方程（5.4-2）右端级数是一致收敛的，所以方程（5.4-3）成立，级数（5.4-2）是方程（5.4-1）的解.而由微分方程理论已知，满足初始条件的方程（5.4-1）的解为（5.4-3）1向量微分方程逐次逼近求解法（5.4-4）式中：X为n维列向量；A为n×n维定常矩阵.参照纯量方程的解（5.4-2）可以得到齐次方程（5.4-4）的解（5.4-5）可以证明式（5.4-5）右端的矩阵级数对任意A和t是一致收敛的，所以它是方程（5.4-4）的解.比较式（5.4-2）和（5.4-5）括号内的两个级数，它在形式上完全一样，因此后者可以认为收敛为矩阵指数函数.定义无穷级数矩阵称为矩阵指数，可以证明此级数对于任何实数矩阵A都是绝对收敛的。定理状态方程（5.4-4）满足初始条件的解为2拉氏变换求解法对方程（5.4-4）两边做拉氏变换式中（5.4-6）（5.4-7）后，利用可求得任意时刻的状态。因此包含称为状态转移矩阵。当系统的初始条件已知对式（5.4-7）两边取拉氏反变换，得到状态方程的解根据线性定常微分方程截的唯一性，可知了系统的自由运动的全部信息。5.4.2线性定常非齐次方程的解状态方程初始条件（5.4-8）1方程（5.4-8）移项后两端左乘，经推导得到非齐次方程的解（5.4-9）同样（5.4-10）初始状态的转移项控制作用下的受控项2利用拉氏变换求解对式（5.4-8）两端取拉普拉斯变换对上式两端取拉氏反变换零输入分量：初态对各状态的影响零状态分量：各状态对输入的响应（5.4-11）（5.4-12）系统的输出方程对上式两边取拉氏变换（5.4-12）（5.4-13）将式（5.4-11）代入上式（5.4-14）3传递函数与状态空间方程的关系零初始条件下，即方程（5.4-8）的初态时，就是单输入-单输出系统的传递函数，由式（5.4-14）可得则4传递函数矩阵多输入-多输出系统，设有m个输入，n个输出，（5.4-15）则可用传递函数矩阵将输出量Y(s)与输入量U(s)联系起来，即G(s)是n×m维矩阵。是系统的特征方程，反映系统的动态特性。（5.4-16）5.4.3矩阵指数与状态转移矩阵1矩阵指数的定义关于n×n的方阵A，定义矩阵指数函数如下：这里规定。可以证明上式的右端级数对于任何（5.4-17）A和t都是收敛的。2矩阵指数的性质（略）称为系统的状态转移矩阵。而且，是非奇异矩的初始状态向量。矩阵可以表明，在没有外作用下，从时刻0到t的状态演化（变换），因此，把3状态转移矩阵在没有输入即u(t)=0的情形下，齐次状态方程的解就是系统的自由运动。X(t)为系统在时刻t的状态向量，X(0)为系统在t=0阵。这种是线性变换，也是可逆变换。●

状态转移矩阵的一般定义设时变系统为定义一个n×n阶矩阵（5.4-18）其中第k列是方程（5.4-18）在初始条件为的解，称是系统（5.4-18）的状态转移矩阵。●

状态转移矩阵的一般性质（1）状态转移矩阵满足微分方程●把写成n个列向量（2）（3）并设初值为。称作状态转移矩阵，即作用于系统时，矩阵的各列构成函数列向量的向量空则上式表明，齐次状态方程在任意初始条件下的解，总是各个列向量的线性组合。即间的一组基。就把系统时刻的状态转移到t时刻的状态5.5用线性离散状态方程分析系统●线性离散状态方程的解法●

Z传递矩阵●

Z特征方程5.5.1线性离散状态方程的求解线性离散状态方程就是由高阶的差分方程转化过来的一阶差分方程组。●迭代法●

Z变换法1迭代法设线性系统的离散状态空间表达式为状态量和输入的初始值分别为X(0)、u(0)。（k=0,1,2,…）以k=0,1,2,…,代入式（5.5-1）可推得（5.5-1）（5.5-2）方程（5.5-2）给出了离散方程状态方程的通解，代入方程（5.5-1）便可得到输出y(kT).从方程（5.5-2）还可以看出系统的状态转移矩阵为它描述了当u(kT)=0时，系统由t=0的初始状态X(0)向任意时刻t=kT的状态X(kT)转移的特性。！用迭代法接状态方程得不到闭合解析式（5.5-3）（5.5-4）例5.5-1试用Z变换法求如下状态方程的解设【解】令k=0,1,2,···,用迭代式，可得状态方程的解可见，用迭代法求得上述的解，只能得到数值解，而不能写成闭合形式。若要写成闭式解，可以先求出状态转移矩阵，然后求得闭式解。2

Z变换法对式（5.5-1）两边作Z变换，可推得（5.5-5）对式（5.5-3）作Z反变换，可得（5.5-6）比较式（5.5-6）和（5.5-3），有（5.5-7）例5.5-2试用Z变换法求解例5.5-1.【解】于是可算出解得为5.5.2线性离散系统的Z传递矩阵

设线性离散系统的状态空间表达式为对上式作Z变换式中：X(kT)—n×1维状态向量U(kT)—m×1维输入向量Y(kT)—p×1维输出向量当初始条件为零，即X(0)=0时，有其中（5.5-9）称为线性离散系统的Z传递矩阵（p×m维矩阵）。它反映了在初态静止的条件下，输出量和输入量的Z变换即Y(z)与U(z)之间的关系。5.5.3线性离散系统的Z特征方程状态方程对上式作Z变换，可得仿照线性连续系统，令矩阵行列式（5.5-10）称上式为离散系统的Z特征方程，它的根是矩阵F的特征值，就是线性离散系统的极点。当时，是否收敛决定系统是否稳定。5.5.4用离散状态空间法分析系统的稳定性状态方程当输入量u(kT)=0时，可知其解为系统稳定的充要条件是：系统特征方程的所有特征根满