第五章 数控装置轨迹控制原理

第五章插补计算原理

概述逐点比较法数字积分法

数字脉冲乘法器数据采样插补法

其它插补方法刀具半径补偿插补技术是数控系统的核心技术§5-1

概述1.插补的定义

加工直线的程序

N3G01X-45000Y-75000F150§5-1

概述1.插补的定义

数据密集化的过程。数控系统根据输入的基本数据（直线起点、终点坐标，圆弧圆心、起点、终点坐标、进给速度等）运用一定的算法，自动的在有限坐标点之间形成一系列的坐标数据，从而自动的对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹分析，以满足加工精度的要求。

数学模型：直线、圆弧、二次曲线、螺旋线、自由曲线等要求：实时性好，算法误差小、精度高、速度均匀性好§5-1

概述2.分类插补是数控系统必备功能，NC中由硬件完成，CNC中由软件实现，两者原理相同。基准脉冲插补（脉冲增量插补）逐点比较法数字脉冲乘法器数字积分法矢量判别法比较积分法数据采样插补（单位时间）§5-2逐点比较法

应用广泛，能实现平面直线、圆弧、二次曲线插补，精度高。一、逐点比较法直线插补

yoxA(xe,ye)脉冲当量δ

相对于每个脉冲信号，机床移动部件的位移，常见的有：0.01mm0.005mm0.001mm1.基本原理

在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小误差的方向进给。其算法最大偏差不会超过一个脉冲当量δ。每进给一步需要四个节拍：

坐标进给偏差判别新偏差计算终点比较

一、逐点比较法直线插补2.算法分析（第Ⅰ象限）偏差判别P(xi,yj)F>0F<0A(xe,ye)yox直线上直线上方直线下方偏差判别函数坐标进给F>0F<0yox直线上直线上方直线下方+△x或+△y方向+△x方向+△y方向A(xe,ye)

新偏差计算

+△x进给：

+△y进给：终点比较用Xe+Ye作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算，直到计数器为零为止。

第一拍判别第二拍进给第三拍运算第四拍比较总结

3.运算举例（第Ⅰ

象限）加工直线OA，终点坐标xe=6,ye=4,

解：插补从直线起点开始，故F0=0；终点判别：E存入X、Y坐标方向总步数，即E＝6＋4=10，E=0时停止插补。

插补过程演示

步数偏差判别坐标进给偏差计算终点判断起点

F0=0E=101F0=0＋XF1=F0－ye=0－4=－4E=10－1=92F1＜0＋YF2=F1＋xe=－4＋6=2E=9－1=83F2＞0＋XF3=F2－ye=2－4=－2E=8－1=74F3＜0＋YF4=F3＋xe=－2＋6=4E=7－1=65F4＞0＋XF5=F4－ye=4－4=0E=6－1=56F5=0＋XF6=F5－ye=0－4=－4E=5－1=47F6＜0＋YF7=F6＋xe=－4＋6=2E=4－1=38F7＞0＋XF8=F7－ye=2－4=－2E=3－1=29F8＜0＋YF9=F7＋xe=－2＋6=4E=2－1=110F9＞0＋XF10=F9－ye=4－4=0E=1－1=0二、逐点比较法圆弧插补

（第Ⅰ

象限逆圆弧）偏差判别圆弧上圆弧外圆弧内偏差判别函数yoxP(x0,y0)F<0F>0坐标进给圆弧上圆弧外圆弧内

新偏差计算yoxF<0F>0-△x或+△y方向-△x方向+△y方向P(x0,y0)终点比较

用(X0-Xe)+(Ye-Y0)作为计数器，每走一步对计数器进行减1计算，直到计数器为零为止。总结

第一拍判别第二拍进给第三拍运算第四拍比较

3.运算举例（第Ⅰ

象限逆圆弧）例：

起点A（6,0）,终点B（0,6）。逐点比较法进行插补，画出插补轨迹。解：插补从圆弧起点开始，故F0=0；

E存X、Y方向总步数，E＝6＋6=12，每进给一步减1，E=0时停止插补。

插补过程演示

步数偏差判别坐标进给偏差计算坐标计算终点判断起点

F0=0x0=6y0=0E=121F0=0－XF1=F0－2x0＋1=0－12＋1=－11x1=6－1=5y1=0E=112F1＜0＋YF2=F1＋2y1＋1=－11＋0＋1=－10x2=5y2=0＋1=1E=103F2＜0＋YF3=F2＋2y2＋1=－10＋2＋1=－7x3=5y3=1＋1=2E=94F3＜0＋YF4=F3＋2y3＋1=－7＋4＋1=－2x4=5y4=2＋1=3E=85F4＜0＋YF5=F4＋2y4＋1=－2＋6＋1=5x5=5y5=3＋1=4E=76F5＞0－XF6=F5－2x5＋1=5－10＋1=－4x6=5－1=4y6=4E=67F6＜0＋YF7=F6＋2y6＋1=－4＋8＋1=5x7=4y7=4＋1=5E=58F7＞0－XF8=F7－2x7＋1=5－8＋1=－2x8=4－1=3y8=5E=49F8＜0＋YF9=F8＋2y8＋1=－2＋10＋1=9x9=3y9=5＋1=6E=310F9＞0－XF10=F9－2x9＋1=9－6＋1=4x10=3－1=2y10=6E=211F10＞0－XF11=F10－2x10＋1=4－4＋1=1x11=2－1=1y11=6E=112F11＞0－XF12=F11－2x11＋1=1－2＋1=0x12=1－1=0y12=6E=0逐点比较法总结判别：判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差状况。进给：根据判断结果，控制相应坐标轴的进给方向。运算：按偏差计算公式重新计算新位置的偏差值。比较：若已经插补到终点，结束插补计算，否则重复上述过程。类型坐标进给偏差计算公式Ⅰ直线Ⅰ逆圆弧逐点比较法直线插补的象限处理

象限结论

F≥0:

应往X轴绝对值增大方向走步;F<0:

应往Y轴绝对值增大方向走步。逐点比较法圆弧插补的象限处理

总结:

逐点比较法插补的象限处理应遵循以下原则：

一、是靠近待加工轨迹。二、是跟踪待加工轨迹走向。5.3数字积分法

数字积分法：数字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer，简称DDA）。优点：运算速度快、脉冲分配均匀、易于实现多坐标联动或多坐标空间曲线的插补。求函数y=f（x）对x的积分运算，是求函数曲线与X轴在积分区间所包围的面积F。

求面积F可转化成

数字运算时，一般取Δx为单位“1”，即一个脉冲当量，则函数的积分运算变成了对变量的求和运算起点O（0,0），终点A（xe

,ye），设进给速度V是均匀的，直线长度L，则有5.3.1DDA法直线插补△t时间内，X和Y方向移动的微小增量△x、△y

：动点从原点走向终点，可看作是各坐标每经过一个△t分别以增量kxe、kye累加的结果。设经过m次累加X和Y方向到达A（xe

,ye），则：

取△t＝1，

则

mk=1m是整数，所以k为小数。选取k时考虑：xe

、ye最大值（寄存器位数n）为2n－1，所以一般取

说明：DDA直线插补整个过程需要2n次累加能到达终点。

k（2n－1）<1，则：m＝2n思考：当k=1/2n时，对二进制数来说，kxe与xe有何不一样?只在于小数点的位置不同，将xe的小数点左移n位即为kxe。

n位内存中存放xe

和kxe的数字是相同的，认为后者小数点出现在最高位数n的前面。对kxe、kye的累加转变为对xe

与ye的累加。

X—Y平面的DDA直线插补器的示意图：00tY轴溢出脉冲X轴溢出脉冲+被积函数寄存器JVY（ye）Y积分累加器JRYX积分累加器J

RX被积函数寄存器JVX（xe）+插补迭代控制脉冲ΔxΔyyx直线插补终点判别：m=2n为终点判别依据插补第一象限直线流程图m＝24＝16。插补计算过程见表，轨迹如图示。例5-4直线起点O（0，0），终点A（8，6），用四位寄存器，写出直线DDA插补过程并画出插补轨迹。累加次数

mX积分器

JVX（存xe

）

X积分器JRX（∑xe）

X积分器

△x

Y积分器

JVY（存ye）

Y积分器JRY（∑ye）

Y积分器△y

01000000110001

10000

011002

00001

110003

10000

001014

00001

100005

10000

111006

00001

010017

10000

101008

00001

000019

10000

0110010

00001

1100011

10000

0010112

00001

1000013

10000

1110014

00001

0100115

10000

1000016

00001

00001插补其他象限直线：把坐标与脉冲进给方向分开；取终点坐标的绝对值存入被积函数寄存器，插补计算公式与插补第一象限直线时一样；脉冲进给方向是直线终点坐标绝对值增加的方向。?5.3.2DDA法圆弧插补

（第一象限逆圆弧）刀具沿圆弧切线方向匀速进给，可认为比例常数k为常数。在一个单位时间间隔△t内，△x、△y为：用两个积分器实现圆弧插补，k的省略原因和直线时类同。

-1+1JVY插补迭代控制脉冲ΔtY轴溢出脉冲X轴溢出脉冲+Y积分累加器JRYX积分累加器JRXJVX+ΔxΔy(yi)(xi)DDA第一象限逆圆弧插补与直线插补的区别：1．xi，yj存入JVX、JVY的对应关系与直线不同，恰好位置互调，即yj存入JVX，而xi存入JVY中；2．直线插补时JVX、JVY寄存的是常数（xe或

ye）；圆弧插补时寄存的是变量（动点xi或yj）。起点时JVX、JVY寄存y0、x0；插补时JRY每溢出一个△y脉冲，JVX加“1”；反之，JRX溢出一个△x脉冲时，JVY减“1”。减“1”的原因：刀具作逆圆运动时x坐标作负方向进给，动点坐标不断减少

3．圆弧插补终点判别用2个计数器；直线迭代2n次DDA法圆弧插补的终点判别：各轴各设一个终点判别计数器，当各轴终点判别计数器都减为0时，停止插补。根据JVX、JVY的存数判断是否到达终点，如果JVX中存数是ye、JVY中存数是xe，则到终点。例5-5第一象限逆圆弧，起点A（5，0），终点B（0，5），用三位寄存器，写出DDA插补过程，画出轨迹图。EX＝5，EY＝5，X和Y积分器有溢出时，EX、EY减“1”，均为0时结束。插补计算过程见表，轨迹如图。累加次数m

X积分器

JVX（存yj）

X积分器

JRXX积分器

JVXEX

Y积分器

JVY（存xi）Y积分器

JRYY积分器

JRYEY

000000001011010000101

1000000010110110101012000000010110101011002001

3001001010110111101004001010010110110010114010

5010100010110100110105011

6011111010110111000107011010110010101110017100

100

8100110010010011100019100010101110001110009101

011

101011110011011

111010011001011

11

010

121010011001010

10112

001

101131011100001001

100141010011000001

A（0，5）B（5，0）n=3EX＝5，EY＝5练习：累加次数m

X积分器

JVX（存yj）

X积分器

JRXX积分器

JVXEX

Y积分器

JVY（存xi）Y积分器

JRYY积分器

JRYEY

010100001010000000101

11011011012

010

+1100

31110010014100+10110105001+101001010061100111117011

+1

001

010-1

10081001111001109011+1000010-101110011101

111

11100

-1

01012010

001-1

00113001

110

14

011

-100015000

B5123412345XOAY其它象限顺、逆圆插补过程基本与第一象限逆圆弧一致，区别是控制△x、△y进给方向不同；修改Jvx、Jvy内容是加“1”还是减“1”，由xi和yj坐标值的增减而定。

SR1

SR2SR3

SR4

NR1

NR2

NR3

NR4

Jvx（yj）Jvy（xi）△x△y

－1＋1＋－

＋1－1＋＋

－1＋1－＋

＋1－1－－

＋1－1－＋

－1＋1－－

＋1－1＋－

－1＋1＋＋

A(0,-5)B(5,0)JvxJRyJRxJvyExEy505500555500545005745112+1543512525245625371+1+1514324714463+1+1……….练习：进给速度受被加工直线长度和圆弧半径影响。（为什么？）DDA法直线插补，不论JVX中存数大小(不论行程长短)，完成m＝2n次累加到达终点；直线短，进给慢，速度低；直线长，进给快，速度高。加工短直线生产效率低；加工长直线零件表面质量差。1．进给速度均匀化措施——左移规格化5.3.3提高DDA法插补质量的措施DDA法是脉冲源每产生一个脉冲，作一次累加计算，如果脉冲源频率（插补脉冲频率）为f，插补直线的终点坐标为E（Xe，Ye），则X，Y方向平均进给频率fx，fy为累加次数V与L或R成正比插补脉冲频率脉冲当量进给速度为使溢出脉冲均匀，并提高溢出速度，常采用设置进给速率数FRN（FeedRateNumber）或左移规格化（常用）等措施。（1）设置进给速率数FRN

G93通过FRN调整f，使其与V相协调，消除L与R对V的影响。（2）左移规格化一般规定：寄存器中的数，若最高位为“1”，称为规格化数；最高位为“0”，称为非规格化数。对规格化数，累加运算两次必有一次溢出；对非规格化数，作两次甚至多次累加运算才有溢出。1）直线插补的左移规格化直线插补时，将JVX、JVY中非规格化数xe

、ye同时左移，直到JVX、JVY中至少有一个数是规格化数为止，称为左移规格化。每左移一位，数值增大一倍，即乘2，kxe或kye的k改为k=1/2n－1，所以m＝2n－1次，减小一半。若左移s位，则m=?左移规格化的同时，终点判别计数器中的数相应从最高位输入“1”右移，例：

左移前

左移一位

左移三位JVX000011000110011000JVY000101001010101000E000000100000111000m＝2n－s例：第一象限一直线，起点原点，终点A（7，5），寄存器4位。左移规格化前寄存器的数0111及0101，累加运算16次。左移规格化后寄存器的数1110及1010，需累加运算8次。2）圆弧插补的左移规格化JVX、JVY中的数，随加工的进行寄存数可能不断增加（加“1”修正），如取最高位为“1”作规格化数，有可能加“1”修正后溢出。圆弧插补的左移规格化使坐标值最大的被积函数寄存器的次高位为1，将JVX、JVY寄存器中次高位为“1”的数称为规格化数。规格化数提前一位产生，寄存器的容量≥2R左移s位，X、Y方向坐标值扩大2s倍，即JVX、JVY中的数分别为2syj及2sxi，当JRY有溢出Δy时，JVX中的数改为

2syj→2s（yj＋1）＝2syj

＋2sJVX增加2s，不是加1，即JVX第s＋1位加“l”。同理，若JRX溢出一个脉冲时，JVY减小2s，即第s＋1位减“l”。

直线插补时，规格化后最大坐标值可能为111…111，每次迭代有溢出；最小值可能为100…000，每两次迭代有溢出，可见溢出速率相差1倍；圆弧插补时，规格化后最大坐标值可能为011…111，可能的最小值为010…000，其溢出速率也相差一倍。左移规格化后，不仅提高溢出速度，且使溢出脉冲较均匀，加工效率和质量大为提高。2．提高插补精度的措施—余数寄存器预置数DDA直线插补误差＜1个脉冲当量，但圆弧插补误差可能＞1个脉冲当量，原因：一积分器被积函数寄存器中的值接近零——几乎没有溢出，另一积分器被积函数寄存器中的值接近最大值（圆弧半径）——可能连续溢出两个积分器的溢出脉冲速率相差很大，致使插补轨迹偏离理论曲线措施：增加积分器位数，从而增加迭代次数。但进给速度却降低了。常用“余数寄存器预置数”的方法，即：插补前，JRX、JRY预置某一数值（不是零），可以是2n－1（111…111），称为全加载，可以是小于最大容量的某个数，如2n／2（100…000），称为半加载。“半加载”可使直线插补的误差减小到半个脉冲当量内。例：对直线OA（15，1）进行插补对圆弧插补进行“半加载”、“全加载”未经"半加载""半加载"后理论曲线Y5123412345OX全加载被积函数值较小、不能很快产生溢出脉冲时，通过“全加载”、“半加载”，使脉冲提前溢出，改变溢出脉冲的时间分布，以减少插补误差。为方便，可通过对方程求导数（全微分）将增量△x、△y、△t直接写成微分形式dx、dy、dt：标准椭圆方程

双曲线标准方程

抛物线标准方程

5.3.4其它函数的DDA插补运算

设X和Y轴位移增量分别为△x、△y。插补时，取增量大的作长轴，增量小的为短轴，要求X和Y轴的速度保持一定比例，且同时到达终点。

5.4.1直线函数法（弦线法）直线插补

XYE（xe,ye)Pl5.4.2直线函数法圆弧插补

以内接弦进给代替弧线进给，提高了圆弧插补的精度。采用sin45°和cos45°来取代sin