第二章 被控过程数学模型

第二章被控过程的数学模型第一节概述第二节解析法建立过程的数学模型第三节响应曲线辨识过程的数学模型第四节相关函数法辨识过程的数学模型重点内容对象模型（连续、离散）理论建模实验建模混合建模第一节概述基本概念：

被控过程：指正在运行中的多种多样的被控制的生产工艺设备过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构及其特性所决定。被控过程的数学模型：指过程在各输入量作用下，其相应输出量变化函数关系的数学表达式。一、过程建模的目的1、设计过程控制系统和整定调节器参数2、指导设计生产工艺设备3、进行仿真试验研究4、培训运行操作人员二、过程的数学模型类型1、非参数模型：阶跃响应曲线、脉冲响应曲线、频率特性曲线，即都是用曲线表示2、参数模型：微分方程、传递函数、脉冲响应函数、状态方程、差分方程等，即都是用数学方程式和函数表示被控过程分为：1、多输入、单输出2、多输入、多输出如图:单回路控制系统框图过程通道：控制通道：扰动通道：被控过程输入量与输出量之间的信号联系控制作用与被控量之间的信号联系扰动作用与被控量之间的信号联系解析法：

又称为机理演绎法，根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建立过程的数学模型。

建立过程数学模型的基本方法：实验辨识法：又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学模型。混合法:

即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据来确定模型中各参数的大小解析法建模的一般步骤1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量；2）依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写静态方程或动态方程；3）消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程；4）将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）方程或传递函数（脉冲传递函数）等；第二节解析法建立过程的数学模型被控过程的特点：1、被控量的变化往往是不震荡、单调的、有滞后和惯性的。如图：

过程的阶跃响应曲线a)2、有的过程响应也可能不断变化如图：

过程的阶跃响应曲b)被控过程的自平衡能力和无自平衡能力自平衡能力：过程在输入量作用下，平衡状态被破坏后，无须人或仪器的干扰，依靠过程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平衡状态，此特性称为自平衡能力无自平衡能力：被控过程在输入量作用下，其平衡状态被破坏后，没有人或仪器的干预，依靠过程自身能力，最后不能恢复其平衡状态，此特性称为无自平衡能力。一、单容过程的建模例1：某单容液位过程，如下图。贮罐中液位高度h为被控参数,流入贮罐的体积流量为q1过程的输入量并可通过阀门1的开度来改变；流出贮罐的体积流量q2为过程的干扰，其大小可以通过阀门2的开度来改变。试确定q1与h之间的数学关系?解

根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率则有：写为增量形式为其中分别为偏离某平衡状态的增量，A为贮罐的截面积。假定近似成正比而与阀门2的液阻R2成反比，即带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式

进行拉普拉斯变换，

并写成传递函数形式其中：为被控过程的时间常数为被控过程的放大系数为被控过程的容量系数，或称

过程容量，这里在工业过程中，被控过程一般都有一定的贮存物料和能量的能力，贮存能力的大小通常用容量或容量系数表示，其含义为引起单位被控量变化时被控过程贮存量变化的大小。在有些被控过程中，还经常存在纯滞后问题，如物料的皮带输送过程，管道输送过程等。为过程的输入量，那么，当阀1的开度产生需流经长度为的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。需经一段延时才能被控制在上例中，如果以体积流量变化后，即可以得到纯滞后的单容过程的微分方程和传递函数单容过程的阶跃响应曲线：比较有延迟与无延迟的区别例2-2加热过程

根据动态能量平衡关系

Q2可表示为

拉氏变换

传递函数为T1T2Q2220VQ1图2-5电加热器温度对象例2-3无自衡单容过程

根据动态物料平衡关系

常数

写成增量的形式为：

传递函数为

Q1hQ2定量泵图2-6单容无自衡液位过程及其相应曲线二、多容过程的建模以自衡特性的双容过程为例，如图设q1为过程输入量，第二个液位槽的液位h2为过程输出量，若不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所形成的时间延迟，试求q1与h2之间的数学关系。解根据动态平衡关系，列出以下增量方程进行拉普拉斯变换，整理

得到传递函数、数学模型为槽1的时间常数为槽2的时间常数其中与单容的自平衡阶跃响应过程相比较二阶过程的阶跃响应曲线特点：被控参数的变化速度不是一开始就最大，而是要经过一段延时时间后才达到最大值，这段时延时间称为容量时延。双容过程也可以用有时延的单容过程来近似：在S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，0tτcT0Δh2（∞）∆h2(t)=K0∆μ1

(1－e)t≥τc

-(t－τc)T00t<τc被控过程的容量系数C越大，τc越大；容量个数越多（阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。Δh(∞)OtΔhn=1n=2n=3n=4n=5切线在时间轴上截出的时间段τc为容量滞后。补充：容量滞后与纯滞后1.容量滞后0tτcT0Δh2（∞）2、纯滞后由信号或能量的传输时间造成的滞后现象。如图是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽作用点与被调量测量点相隔l距离，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高，要经过路程l后才反应出来。0tτ0℃v——水的流速；0tτ0℃纯滞后时间有些对象容量滞后与纯滞后同时存在，很难严格区分。常把两者合起来，统称为滞后时间τ

τ=τo+τc0tτcT0Δh2（∞）τ0例2-5无自衡能力的双容过程分别对水箱1和水箱2列写物料平衡方程，可以得到无自平衡能力的多容对象的传递函数为：

若多容无自平衡对象具有纯迟延时，则

第三节响应曲线辨识过程的数学模型试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法；在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。响应曲线法响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再根据输入－输出数据，求取过程的输入－输出之间的数学关系。响应曲线法又分为阶跃响应曲线法和方波响应曲线法

1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态；注意事项2）在相同条件下应重复多做几次试验，减少随机干扰的影响3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的非线性程度；4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段时间再做第二次试验；5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影响试验结果。一、阶跃响应曲线法二、矩形脉冲响应曲线的测定

矩形脉冲响应曲线是在正常输入的基础上，施加一矩形脉冲输入，并测取相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。通常在实验获取矩形脉冲响应曲线后，先将其转换为阶跃响应曲线，然后再按阶跃响应法确定有关参数。如图所示、输出响应由两个时间相差t0、极性相反、形状完全相同的阶跃响应的叠加而成。

于是得到阶跃响应为t=0～t0阶跃响应曲线与矩形脉冲响应曲线重合t=0～2t0时，三、常用数学模型在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构对于大多数过程，数学模型和传递函数分别为：一阶惯性一阶惯性+纯滞后二阶惯性+纯滞后二阶惯性对于某些无自衡特性过程，

其对应的传递函数为：注意：对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下， 数学模型结构应尽可能简单（一）由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数曲线特点：t=0时曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐上升至稳态值。1.直角坐标图解法对象参数K0参数T0：过原点作曲线的切线，该切线与y(∞)交于A点，则OA在时间轴上的投影即为时间常数

的确定还可以使用计算法：令t分别为时，则有在阶跃响应曲线上求得三个状态下的时间t1、t2、t3，计算出（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数曲线特点：t=0时曲线斜率几乎为零，之后斜率增大，到某点后斜率又减小，曲线呈S形。1.作图法确定模型参数对象参数K0参数T0和τ：过D点作曲线的切线，该切线与y(∞)、X轴线交于A点和B点，则BA在时间轴上的投影为C。

（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数2.计算法确定模型参数在曲线上选取四个点：（三）由阶跃响应曲线确定二阶过程的参数T1和T2的确定采用两点法取两点：求解方程：二阶惯性注意：用这种方法确定T1和T2时，应满足的条件因为，当时，应为一阶环节其中当时，应为二阶环节其中时，应为二阶以上环节。当对于n阶环节传递函数可以按近似计算大小由下表确定其中n可以根据的n1234