第二章 测量误差与数据处理

第二章测量误差和数据处理§2.1测量误差§2.2测量误差的来源§2.3误差的分类§2.4随机误差分析§2.5系统误差分析§2.6误差的合成、间接测量误差的误差传递与分配§2.7测量数据的处理

§2.1测量误差一、真值与测量值真值——测量的物理量，客观存在的量值。测量值测量误差产生原因：1.由于测量仪表、测量方法、环境条件人的观察等都不能做到完美无缺的程度。2.要对物理量进行测量，就需要一个比较标准，而真正的比较标准是不存在的，仅存在于纯理论之中。相对真值人们的目的就在于采取条件手段来获取尽可接近真值的测量值。二、误差的表示方法1.绝对误差

A0——真值A——实际值2.相对误差1）实际相对误差：2）示值相对误差：绝对误差不能表示出测量值的精确度。如温度测量① 绝对误差1℃②但后者精确度明显高于前者。3）满度相对误差

△xm——量程内最大绝对误差xm——测量仪器满度值仪表准确度等级S按满度误差分级的如这表明

§2.2测量误差的来源一、仪器误差（设备误差）原因：①由于设计、制造、装配、检定等的不完善②使用过程元件老化、磨损、疲劳读数误差内部噪声误差稳定误差动态误差减少误差的途径：正确选择测量方法和使用测量仪表二、人身误差由于测量值的判断有误误差三、环境误差主要：环境温度、电源电压、电磁干扰等四、方法误差

2.重要特点①测量条件不变，误差即为确切数值②条件变化时，误差遵循某种确定的规律变化具有可重复性3.产生系统误差的主要原因1）设计制作上的缺陷2）测量环境条件变化——与仪表使用要求不一致3）采用近似的测量方法或计算公式

§2.3误差的分类一、系统误差1.定义：在测量中产生的误差量值大小和符号都恒定不变(恒值）或遵循一定规律变化的误差（变值——累进性、周期性、复杂性））4）测量人员的习惯读数偏差系统误差体现了测量的正确度二、随机误差（偶然误差）1.定义：同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。——用统计理论进行估算。2.特点a.有界性b.对称性：正负误差机会相等c.抵偿性：算术平均值0d.单峰性：绝对值小的误差出现的概率大F(x)x3.随机误差产生的原因1）仪表的不稳定等2）温度、电源等无规则波动3）测量人员读数无规则变化随机误差体现了多次测量的精密度三、粗大误差：测量值明显偏离实际值所形成的误差产生的原因：1）测量方法不当2）测量操作失误3）测量条件突然变化四、误差的处理1）误差划分具有相对性，可互相转化2）根据误差对测量结果的影响程度不同作出不同的具体处理

§2.4随机误差分析一、测量值的数学期望和标准差1.数学期望1）算术平均值 样本平均2）数学期望总体平均3）绝对误差与随机误差若不含系统误差和粗大误差,则——绝对误差——随机误差4）随机误差的算术平均值当时，由于随机误差的抵偿性，当时即

当测量次数足够多时： 2.剩余误差Vi性质：1）剩余误差的代数和等于0。2）剩余误差的平方和最小，——最小二乘法3.方差和标准差随机误差测量值的分散程度（精密度），但随机误差的抵偿性，不能用它的算术平均值来估算测量

值的精密度用方差进行描述1）定义：时测量值与期望值之差的平方的统计平均值∵∴2）标准误差（均方根误差）反映测量的精密度

二、随机误差的正态分析1.正态分布1）理论与实验证明：测量值xi(随机误差i)按正态分布规律出现对于正态分布的xi，概率密度函数对于随机误差i，则2）特征a.EXX绝对值小的随机误差出现的概率大。（有界性）b.c.曲线尖锐测得值集中精密度曲线平坦测得值分散精密度2.极限误差随机误差落在区域的概率P为而落在区间的概率分别为：σ1σ2σ3随机误差>3的概率仅为0.3%定义△=3若应予以删除3.贝塞尔公式∵又 而，n为有限值，则，用残差可证明 贝塞尔公式

——标准误差的最佳估计值4.算术平均值的标准差在相同条件下对同一被测量值分成m组，每组重复n次每组的平均值不同分散性。算术平均值的标准差同样，测量结果表示：算术平均值标准差的最佳估计值实际测量中，n为有限值，直接写成三、有限次测量下测量结果的表达∵，但减小速度比n增长慢得多靠增加n降低均方差收益不大

实际中：n=10~202.

等精度测量，测量结果处理：1）列表测量数据2）计算及3）计算 4）结果表达式

§2.5系统误差分析一、系统误差的特性若不存在粗差，则测量误差 设系差 即则当则：当测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值＝系差

1.准确度不仅与有关，更与有关

2.系差不易发现，更应重视

3.不具备抵偿性，取平均值无效二、系统误差的判断1.理论分析法用于测量方法、测量原理引起的系差2.校对和对比法目的：发现和减小使用被检仪器进行测量时的系统误差3.改变测量条件2、3属于实验对比法一般用来发现恒值系差4.剩余误差观察法发现变值系差iiiiviviviviVi正负相同，无明显变化规律——不存在系差Vi线型递增——累积性系差Vi呈周期性——周期性系差变化规律复杂——同时存在线形递增的累进性系差和周期性系差三、消除系统误差产生的根源（1）测量原理、方法、依据正确（2）仪器仪表正确（3）仪器检定、校准、零位（4）测量人员水平四、削弱系统误差的典型测量技术1.零示法——待测量与已知标准量相比较，零示器示值＝0时，已知标准量＝被测量零示器：光电检流计电流表电压表消除由于零示器不准带来的系统误差书p36调节则2.替代法：（置换法）测量条件不变下，同一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪表示值不变标准＝被测量测量存在误差，则误差与R1,R2,R3有关现用标准电阻RS代替Rx，并保持R1,R2，R3不变则

△Rx仅决定于标准电阻的误差，与R1,R2,R3误差无关五、削弱系统误差的其他方法1.利用修正值或修正因数2.随机化处理对同一测量值，用多台仪器进行测量取平均值3.智能仪器中利用微处理①直流零位校准②自动校准 §2.6误差的合成、间接测量误差的误差传递与分配一、随机误差合成测量结果中有K个彼此独立的随机误差，各单次测量误差标准方差为则综合后的标准差为极限误差li：合成的极限误差

二、系统误差的合成确定系统误差的合成⑴代数合成法：已知各系统误差分量的大小及符号⑵绝对值合成法：只知大小，不能确定符号⑶方和根合成法：同（2）例题：P47

例2.7.1

2.不确定系统误差的合成⑴不确度线性相加总的不确定度q>10时，误差估计偏大q<10时，使用⑵方和根合成法⑶由不确定度算出标准差，再取方和根合成。

kp——置信系数3.系统误差的表示

三、间接测量的误差传递例：导线电阻率 需测l、R、d——直接测量 ——间接测量1.间接测量的误差传递设直接测量量为间接量y则泰勒级数展开：

略去高阶项

相对误差形式表示：

相对误差传递公式

2.常用函数的误差传递⑴和差函数的误差传递注意：对于差函数，当x1,x2较接近时造成较大误差。⑵积函数的误差传递设∴⑶商函数的误差传递设则绝对误差相对误差故

⑷幂函数的误差传递设 故3.如果对各直接测量量各进行了m次等精度测量，则标准误差：相对误差形式：

四、间接测量的误差分配设则间接测量的标准误差为现假定已给定⑴方法：等作用原则分配误差令⑵调整：①测量中难以保证的误差扩大允许的误差值。②易保证的误差减小误差值。例9P44

§2.7测量数据的处理测量数据处理——从测量所得到的原始数据中求出被测量的最佳估计值，并计算其精确程度。一、有效数字处理1.有效数字：左边起第一个不为零的数字式，到右面最后一个数字（包括零）为止：20.80——最大绝对误差0.005，准确到百分位。20.8——最大绝对误差0.05，准确到十分位。2.多余数字的舍入规则大于5入，小于5舍，等于5时采取偶数法则（奇数进，偶数舍）3.有效数字的运算规则①加法：以小数点后位数最少的为准。②减法：尽量避免导致相近两数相减的测量方法③乘除法：以有效位数最少的数为准④乘方、开方：运算结果比原数多保留一位有效数字二、等精度测量结果处理1）计算算术平均值2）计算残差 ，验证3）计算，标准偏差4）剔除粗差，若，则剔除，重新从1)步计算。5）判断有无系统误差如有应查明原因、修正或消除后重新测量6）计算算术平均值的标准偏差

7）写出最后结果的表达式例2.8.2,P51习题1对某喷嘴开孔直径d进行了15次测量，如图，试判断该批数据是否含有粗大误差，并给出结果。序号1234567