第5章 基于连续系统理论数字控制器设计

第5章基于连续系统理论的数字控制器设计5.1设计原理5.2连续控制器的离散化方法5.3数字PID控制5.4数字PID控制改进算法5.5数字PID控制参数整定5.6史密斯预测补偿控制5.1设计原理

1.基本思想◆计算机控制系统是由计算机及相应的信号变换装置取代了常规的模拟控制器，基于此，将原来的模拟控制规律离散化，变为数字算法，并由计算机实现，便可完成计算机控制系统的设计，即所谓连续域－离散化设计。◆连续域－离散化设计是一种间接设计法，其实质是将数字控制器部分看作一个整体，并等效为连续传函De(s)，从而用连续系统理论来设计De(s)，再将其离散化而得到D(z)。典型的计算机控制系统图计算机控制系统的简化结构图2、等效控制器的数学描述A/D转换器

若不计量化效应，A/D

本质上可看作一个理想的采样开关，其输入输出关系表示为 当系统具有低通特性，且时，可取基频来近似即A/D

的传函可近似为

D/A的频率特性

D/A可抽象为一个零阶保持器，由于采样频率远大于闭环带宽，零阶保持器也只工作在低频段，其频率特性可近似表示为即幅频可近似为常值T，相频近似为一个纯滞后环节。

数字控制算法D(z)设待设计的数字控制算法为D(z)，其相应频率特性可用来表示。■等效控制器De(s) 综合起来可得等效控制器De(s)

的频率特性其中，Ddc(s)为数字算法D(z)的等效传函，即设计对象；滞后环节为A/D和D/A的近似，反映了ZOH相位滞后特性。考虑到采样对系统的影响，一般需加前置滤波器，其等效结构图为G(s)是将被控对象、执行机构、传感器、前置滤波器等合在一起构成的广义对象传函实际设计时，e－sT/2

有时也可取为如下的一阶或二阶近似：3、数字控制器的设计步骤

经过以上对De(s)

的分析可知，数字控制器的设计归结为：根据系统性能指标的要求，用连续系统理论设计等效控制器Ddc(s)，然后再离散化。

将原模拟调节器D(s)直接离散化得到D(z)，设频率特性完全等效，即D(jw)=D(ejwT)，则计算机控制系统比原连续系统性能差。 比原控制器多了一个相位滞后环节，频率特性会下降。 在采样周期很小时，滞后环节的影响也较小，此时也可直接近似等效。

因为，数控系统的等效控制器为连续域－离散化设计步骤根据系统的性能指标要求，选择采样频率，并设计抗混叠的前置滤波器；考虑ZOH

的相位滞后，根据性能指标的要求和连续域设计方法，设计数字控制算法的等效传递函数Ddc(s)；选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，得到D(z)，并使二者尽量等效；检验系统闭环性能，如指标满足，进行下一步；否则重新改进设计，包括：选择更合适的离散化方法提高采样频率修正连续域设计将D(z)变为数字算法，并用计算机编程实现。5.2连续控制器的离散化方法假设已设计出Ddc(s)，以下用D

(s)

来表示1.脉冲响应不变法（z变换法）

该方法要求离散环节的脉冲响应等于连续环节脉冲响应的采样值，即在采样时刻二者的脉冲响应等效。 脉冲函数(t)

经采样后仍为(t)

，因此只要即能保证二者脉冲响应在采样时刻相等。特点

Z

变换法工程使用意义不大。由于Z

变换是多对一的映射，将会产生严重的频率混叠；同时，Z

变换不具备串联性质，即 处理起来不方便。2.阶跃响应不变法该方法要求离散环节和连续环节的阶跃响应的采样值保持不变 将连续传函做带零阶保持器的Z变换，即 则能保证D

(s)

和D

(z)

的阶跃响应在采样时刻保持不变。例1设，试用阶跃响应不变法求D

(z)

，设采样周期T=1。解特点：若连续环节D

(s)稳定，则离散后的D

(z)也一定稳定；带ZOH的Z变换同样无串联特性；由于ZOH具有低通作用，频率混叠现象较单纯的Z变换法能显著减轻，离散前后频率特性畸变较小；离散前后稳态增益保持不变，即 以上两种方法均要做Z变换，且无串联特性，工程应用并不方便3.前向差分法

用一阶前向差分近似代替微分 设连续环节传函为 可得其对应的微分方程为以一阶前向差分代替微分如令n=k+1，则由此可得一阶前向差分法离散化的一般公式对上式做Z

变换比较D

(s)

与D

(z)

，可得s

与z的关系为★前向差分法的物理意义

对于r(t)

的积分，相当于用矩形面积的和来近似代替r(t)

曲线下的面积。

显然，当采样周期较小时，矩形面积之和能较好地近似等于曲线下的面积；反之，采样周期越大，等效精度越差。★前向差分法s平面与z平面的映射关系

由，并令 可得 取模 令（即对应单位圆），则有

z

平面的单位圆映射为s

平面左半平面以点（－1/T，0）为圆心，以1/T

为半径的圆。前向差分法s平面与z平面的映射关系(图）

由此可见，只有当连续环节D

(s)的所有极点均位于s

左半平面以点（－1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆内，才能将离散化后D

(z)

的极点映射到z

平面的单位圆内。★前向差分法的特点置换公式简单，且有串联性（与采样开关无关），应用方便；当采样周期T

较大时，等效精度较差；稳态增益维持不变，即

只能将s

左半平面一个半径为1/T

的圆映射到z

平面单位圆，所以D

(s)稳定，经置换后，D

(z)不一定稳定。4.后向差分法

设连续环节为 以一阶后向差分近似代替微分，有 对上式做Z变换，可得 由此可得离散化公式为★后向差分法的物理意义

用矩形面积的和来近似代替r(t)曲线下的面积。★后向差分法s平面与z平面的映射关系由可得移项后，取模的平方，有当=0（s平面虚轴），映射为（对应于圆）当<0（s

左半平面），映射为 （对应于圆内）当>0（s

右半平面），映射为 （对应于圆外）映射关系后向差分法的主要特点与前向差分法相同，仅映射关系不同，且

D

(s)稳定，D

(z)一定稳定。后向差分法比前向差分法更具使用价值，在工业控制中常有应用。

后向差分法将s左半平面映射为

z

平面单位园内以（1/2，0）为圆心，以1/2为半径的一个小圆内。显然，D

(s)稳定，D

(z)一定稳定。

5、双线性变换法基本思想：用梯形面积近似表示数值积分值离散化公式所以有

与积分环节D(s)作比较，得到双线性变换的离散化公式为★双线性变换映射关系两边取模的平方以 代入置换公式，得由上式可得如下映射关系：

=0（s

平面虚轴），映射为（对应于单位圆）；

<0（s

左半平面），映射为 （对应于单位圆内）；

>0（s

右半平面），映射为 （对应于单位圆外）。★双线性变换为一对一映射

考虑频率变换，即令 可得 相应的幅角为

可知，s平面沿虚轴从－到＋变化，将一对一地映射为z平面的整个单位圆周，从而不致产生频率混叠现象。

★频率畸变

由双线性变换后的幅角可求得其在z

域的角频率 可见，s域角频率和z

域角频率是非线性关系，且将s

域0～频段压缩到z

域的有限频段0～/T。

当采样频率较高时，s

域和z

域的频率在低频段近似线性关系，具有较好的保真度；而在高频段频率则发生了较大变化（频率畸变）。★双线性变换的特点s

域虚轴映射为z域单位圆，s左半平面映射到单位圆内，s

右半平面映射到单位圆外，且为一对一的映射；D

(s)稳定，双线性变换所得D

(z)一定稳定；具有串联性，若有数个连续环节相串联，可分别对每个环节作双线性变换再相乘；稳态增益维持不变，即双线性变换后的阶次不变，且分子、分母具有相同的阶次；双线性变换无频率混叠现象，但是频率轴产生了畸变。6.预畸变双线性变换法

采用双线性变换，D

(s)和D

(z)的频率特性在低频段十分相近，而高频段则相差较大；且经双线性变换后，z域幅频特性在=s/2处必为零。 双线性变换由于频率轴的畸变导致了频率特性畸变，如要保证变换前后某个特征频率不变，则需要预先进行频率修正。修正步骤：选取特征频率

1，要求在这一频率处，离散前后幅值相同，即计算预修正频率大小。如要求离散后特征频率仍为

1，则s

域频率应预先修正到将原连续传函D

(s)

修正为D

(s/

1*)；对修正后的连续传函作双线性变换，即按稳态增益相等的原则确定D

(z)的增益。例2对连续传函【解】依题意，选

n＝1rad/s为特征频率

1，计算预修正频率

进行双线性变换，要求离散后在自然频率

n＝1rad/s处有相同的幅值响应。将连续传函修正为进行增益匹配对D

(s/

1*)进行双线性变换7.零极点匹配法 系统的零极点位置决定了系统的性能，前面的离散化方法中，s

平面与z

平面的零极点并未完全按z=esT

的关系一一对应。基本思想 将D

(s)

的零点和极点均按z=esT

的关系一一对应地映射到Z平面，又称匹配Z变换法。离散化公式上式中，若原D

(s)

的分子阶次小于分母阶次，则在D

(z)的分子上加上(z+1)n-m

因子；D

(z)

的增益K

按稳态增益相等来匹配，即若D

(s)

的分子有s

因子，则可选某关键频率处的幅频特性相等，即来确定D

(z)

的增益K

。其幅频特性如图所示

零极点匹配法的特点要求对D

(s)

分解零极点，并进行增益匹配，应用不够方便；D

(s)

稳定，D

(z)

一定稳定；频率特性的保真度较好。P

比例控制，即由偏差的比例形成控制作用，一般情况下存在稳态误差（即静差）；PI

比例－积分控制，通过对偏差的比例和积分作用形成控制量，因此，加入积分环节，有助于消除静差；PID

比例－积分－微分控制，通过对偏差的比例、积分及微分共同作用产生控制量，微分项的加入有助于提高快速性，改善系统动态性能。5.3数字PID控制控制器基本算式传函为1、PID控制的基本形式及数字化连续PID规律离散化 将连续PID基本算式，以一定的离散化方法离散后，即可得到对应的数字PID算法。 这里采用后向差分变换法。 即

对于时域算式，令并将kT

简记为k

则有 代入PID基本算式，可得 即数字PID基本算法上述算式输出为u(k)，一般直接对应执行机构的某一位置或执行状态，所以也称为位置式算法；位置式算法在算法本身或计算机发生故障时，存在不安全因素；直接用z

域的向后差分离散化方法，所得结果与上述算式完全相同。2、数字PID控制算法增量式PID算法利用位置式算式可写出k-1

时刻的控制量u(k-1)用u(k)减去u(k-1)，并令 可得

上式中令 即积分系数 即微分系数，则有增量式算法每次输出的只是一个控制增量，可以克服位置式算法由于算法或计算机故障引起的不足；如采用具有位置记忆功能（即积分作用）的环节作为控制量输出部件，则可避免由于控制量的突变对系统的影响。

输出控制量为1.抗积分饱和算法饱和效应

在实际控制系统中，控制变量因受执行元件机械和物理性能的约束，其实际取值有一定的限制，即有时还要求其变化率满足5.4数字PID控制改进算法

饱和效应：

当计算机算法给出的u(k)的计算值超出上述约束范围时，实际作用的控制量将取边界值，并非计算值，即产生所谓“饱和效应”。位置式算法中的积分饱和现象

位置式算法中引起计算饱和的主要是积分运算，故称为“积分饱和”。积分饱和对系统的影响

可见，在系统响应开始较长一段时间内，由于积分作用，u

一直处于饱和状态，使得响应缓慢，相应的退饱和也延迟，出现了较大的超调量，有时还会引起振荡。改进算法（1）积分分离式PID算法基本思想：当被控量与设定值的偏差较大时，不进行积分，以避免饱和及超调量过大；当被控量接近设定值时，才投入积分作用，以消除静差，提高控制精度。控制算式：（2）遇限削弱积分算法基本思想：

一旦控制量u(k)

的计算值进入饱和区，将削弱积分项的运算，使之向退饱和方向计算。控制算法：

依据上次的控制量

u(k-1)所处位置（上限、正常还是下限）和当前的偏差e(k)，共同确定积分项的运算，以使

u(k)

向退饱和的方向发展。标准PID算法中微分作用的局限性对于偏差e(k)的阶跃变化，微分作用仅限于第一个采样周期，并容易引起振荡 因为

对于e(k)的阶跃变化，有2、微分算法的改进当偏差e(k)变化较大时，微分作用项ud

将很大，容易导致输出饱和，即微分饱和；纯微分环节对噪声信号具有放大作用，即对噪声也很敏感，容易引进高频干扰。不完全微分PID算法：基本思想

对微分环节和整个PID环节串入一个惯性环节（低通滤波器），以平滑微分作用产生的瞬时脉动，加强微分作用对全过程的影响，同时还可以抑制高频噪声。算法推导

不完全微分PID算法具有两种形式：a.惯性环节只加在微分项上

b.惯性环节串联在整个PID调节器之后

对于第一种结构，有其中UP(s)与UI(s)与标准算法中形式一样用向后差分法离散化，可得对于第二种结构，有离散化之后可得★控制效果

仅讨论微分部分▲完全微分PID算法▲不完全微分PID算法

对于偏差e(k)的阶跃变化，不完全微分算法有控制效果（图）不完全微分项的控制信号比较均匀、平缓微分先行PID算法

★基本思想 将微分运算放在最前面，再对微分运算的结果进行比例和积分运算，有助于克服噪声及其它突变信号对控制器输出量带来的冲击。★结构1

对偏差值e(k)进行微分，即对给定值和输出量（反馈量）均有微分作用，适用于串级控制的副控回路。 其中0<<1，一般可取0.03～0.1算法推导

将微分部分用一阶向后差分离散化，可得写成增量形式总的增量输出为则总的控制量输出为比例通道输出积分通道输出★结构2

只对输出量进行微分，而不对给定值进行微分运算.

在给定值频繁提降的场合，该结构可避免因输入突变导致输出的跃变。

包括理论设计整定法与实验整定法。 工程上通常采用实验经验法。 如果采样周期远远小于被控过程的时间常数，原则上模拟PID调节器的参数整定方法均可扩充到数字PID算法的参数整定中。5.5数字PID控制参数整定1、扩充临界比例系数法◆整定步骤：▲选取一个足够小的采样周期Tmin▲去掉积分和微分控制作用，采用纯比例控制，逐步增大Kp，直至出现等幅振荡，记下临界比例系数Kr和临界振荡周期Tr；▲选择控制度，即数字控制器相对于模拟控制器的一个评价函数：通常认为，当控制度为1.05时，二者控制