第3章 典型机械系统建模

第三章典型机械系统的建模

机械系统如控制系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模拟器的运动平台等。在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数，并结合能量守恒原理及有关近似理论等。3.1基于力学理论的机械系统建模由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是：空间任意力系的平衡方程牛顿第二定律得：牛顿第二定律数学表达式3.1基于力学理论的机械系统建模例3.1如右图一个转动物体，它的质量为m,由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为h，绳索相距为2a。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物体绕通过重心的垂直轴转一个

小的角度，然后释放。求摆动周

期T，物体通过重心的垂直轴转的

转动惯量J。假设物体绕通过重心的垂直轴转一个小的角度θ时，夹角和夹角θ间存在下列关系:因此测量转动惯量实验装置

3.1基于力学理论的机械系统建模或写成:由此求得摆动周期为得到转动惯量J注意，每根绳索的受力F的垂直分量等于mg/2。F的水平分量为mg/2。两根绳索的F的水平分量产生扭矩mga使物体转动。因此，摆动的运动方程为：3.1基于力学理论的机械系统建模有负号是因为角加速度方向与转矩方向相反例3.2如图所示的单摆系统，Ti(t)为输入力矩、θ0(t)为输出摆角、m为小球质量、L为摆长。根据力系平衡建立系统方程：当θ0很小时:非线性系统方程可简化成线性系统方程:3.1基于力学理论的机械系统建模例3.3

设一个弹簧、质量、阻尼系统安装在一个不计质量的小车上，如下图所示。推导系统数学模型。假设t<0时小车静止不动，并且安装在小车上的系统也处于静止状态。在这个系统中，u(t)是小车的位移，并且是系统的输入量。不计小车的质量，得到3.1基于力学理论的机械系统建模例3.4

有一质量-弹簧-阻尼系统如图所示，运用力学方法建立该系统的数学模型。系统图力分解图根据力平衡原理，建立系统方程：3.1基于力学理论的机械系统建模3.1基于力学理论的机械系统建模机械式加速度计

例3.5下图给出机械式加速度计测量悬浮试验橇加速度的示意图。试验橇采取磁悬浮方式以较小的高度e悬浮于导轨上方。由于质量M相对于及速度计箱体的位移y与箱体的（即试验橇的）加速度成正比，因而加速度计能测得试验橇的加速度。3.1基于力学理论的机械系统建模质量M的受力分析得：或或3.1基于力学理论的机械系统建模倒立摆系统例3.6左下图为人手保持倒摆平衡的问题，相应的平衡条件为。右下图表示的是小车上的倒摆控制问题。小车必须处于运动状态才能保持质量m始终处于小车上方。系统状态变量应当与旋转角以及小车的位移有关。小车和倒摆人手到立摆的平衡3.1基于力学理论的机械系统建模设M>>

m

,旋转角θ足够小，于是可以对运动方程做线性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：其中，u(

t

)等于施加在小车上的外力，l是质量到铰接点的距离。铰接点处的转矩之和为：选定两个2阶系统的状态变量为：将a、b两式写成状态变量的形式，可得：(a)(b)(c)(d)3.1基于力学理论的机械系统建模为得到1阶微分方程组，解出式（d）中的,代入式（c），并注意到M>>m，则有：(e)再解出式（c）中的，并代入式（d），可得：于是，4个1阶微分方程为：3.1基于力学理论的机械系统建模系统状态方程则为：3.1基于力学理论的机械系统建模3.2能量法推导运动方程

设力F作用于a至b连接路径中运动的质点m上，那么F所作的功可一般描述为

能量一般情况下，能量可以定义为做功的能力。机械系统中能有势能和动能两种形式。

功率是做功的速率，即：dW表示在dt时间间隔内所作的功。功、能、功率能量法推导运动方程

例3.7如右图表示一个半径为R、质量为m的均质圆柱体，它可以绕其转轴自由转动并通过一个弹簧与墙壁连接。假设圆柱体纯滚动而无滑动，求系统的动能和势能并导出系统运动方程。圆柱体的动能等于质心移动动能和绕质心转动的动能之和。系统由于弹簧变形所产生的势能为系统总能量为3.2能量法推导运动方程因无滑动的滚动，因此，x=Rθ。并且注意到转动惯量J等于1/2mR2，我们得到能量守恒定律，总能量为常数，故：也可写成转动运动方程得：3.2能量法推导运动方程3.3拉格朗日方程（多自由度系统）将x1,x2,…xn作为n个自由度系统的一套广义坐标，系统的运动由n个微分方程表示，其中广义坐标是因变量，时间为自变量。系统在任意瞬时的势能：系统在同瞬时的动能：拉格朗日函数定义为

令是广义坐标的变分，非保守力（外力和摩擦力等）在广义坐标上的虚功可以写成拉格朗日方程为：例3.8例3.4系统如图所示，运用拉格朗日方程建立该系统的数学模型。解:选择y1，y2为广义坐标系，其系统动能和势能分别为3.3拉格朗日方程（多自由度系统）3.3拉格朗日方程（多自由度系统）例3.9某行星滚动机构中有一质量为m，半径为r的实心圆柱在半径为R，质量为M的圆筒内无滑动地滚动。已知圆柱和圆筒对轴心O的转动惯量分别为m(R-r)2和MR2圆柱对轴心O’的转动惯量为mr2/2,建立圆筒绕其轴心转动时，该系统运动数学模型。3.3拉格朗日方程（多自由度系统）该系统为两自由度系统。取广义坐标分别为圆筒转角θ和圆柱轴心偏离角β。由于圆柱与圆筒间的运动是无滑动纯滚动，故在接触点A处它们具有相同的线速度

系统动能T为圆柱滚动和圆筒转动所具有的动能:3.3拉格朗日方程（多自由度系统）系统的动力为重力，圆筒的势能等于零。则系统的势能为拉格朗日函数得：

代入拉格朗日方程有

即为该行星滚动机构的运动数学模型。3.3拉格朗日方程（多自由度系统）例3.10