第二章 学案5 用样本频率分布估计总体分布

学案5

用样本的频率分布估计总体分布学点1学点2学点3

1.将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的

，叫做该组的

，每组频数除以

的个数即得该组的

.

2.当总体很大或不便于获得时,可以用

估计总体的频率分布,反映总体频率分布的表格称为频率分布表.

3.以横轴表示

,纵轴表示

的比值,以每个组距为底,以各频率除以组距的商为高,分别画成矩形,这样就得到了频率分布直方图.

4.把频率分布直方图中各个长方形上端的

顺次连接起来,就得到频率分布折线图.返回个数频数全体数据频率样本的频率分布样本分组中点

5.频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,如果将样本容量取得足够大,分组的组距取得足够小,则相应的频率分布折线图将越来越接近于一条

,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.

6.当样本的数据较少,且最大数是两位有效数字时,用中间的数字表示

,即第一个有效数字,两边的数字表示

,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出的叶子,因此,通常把这种图叫做茎叶图.返回光滑曲线y=f(x)十位数个位数返回学点1列频率分布表,画频率分布直方图、频率分布折线图返回

本题考查频率分布直方图的画法.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下:(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图及折线图;(3)估计电子元件寿命在400h以上的电子元件出现的频率.

(1)频率分布表如下:用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特性,必须随机抽取样本.由于样本的随机性,可以想到,如果随机抽取另外一个样本,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.(2)频率分布直方图及折线图如图2-5-1.图2-5-1(3)由频率分布表可知,寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+

0.15=0.35.返回下面列出43位美国历届总统(从1789年的华盛顿到2001年的小布什)的就任年龄:57

61

57

57

58

57

61

54

68

51

4964

50

48

65

52

56

46

54

49

51

4755

55

54

42

51

56

55

51

54

51

6062

43

55

56

61

52

69

64

46

54(1)分别以5和4为组距画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图,并用自己

的语言描述一下历届美国总统就任年龄的分布情况;(2)两次所作的频率分布直方图及折线图相同吗?试分别估计就任年龄在55岁以

下的频率,并与实际频率作比较.返回

(1)以5为组距,如下表:返回频率分布直方图如图所示,折线图略.以4为组距,列表如下:返回频率分布直方图如图所示，折线图略.可见历届总统的就任年龄90%集中在45~65岁之间.（2）不相同.以5为组距的分析方案，就任年龄在55岁以下的频率为0.4883.以4为组距的分析方案,就任年龄在55岁以下的频率为0.5115.实际就任年龄在55岁以下的频率为

≈0.4419.学点2频率分布直方图的应用为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图2-5-2所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3,第二小组频数为12.图2-5-2(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,试估计该校全体高一学生的达标率是多

少?返回（1）频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到题意中看不清楚的信息和数据模式.(2)频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样的代表性,利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一范围内的可能性.

本题考查频率分布直方图.

(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小,因此第二小组的频率为

.又因为频率=

,所以样本容量=

=150.(2)由图可估计该校高一学生的达标率约为

×100%=88%.故第二小组的频率是0.08,样本容量是150，高一学生达标率是88%.返回在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日,评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图(如图2-5-3所示).已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1,第三组的频数为12,请解答下列问题:(1)本次活动共有多少件作品参加评比?(2)哪组上交的作品数最多?有多少件?(3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率较高?

图2-5-3返回返回茎叶图在数据较少,较为集中时比较适用,由于较好地保留了原始数据,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布,还可以用来分析样本数据的一些数字特征.学点3茎叶图的应用

本题考查茎叶图.返回某中学高一(1)班甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩情况如下:甲的得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,97,102作出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人成绩进行比较.

由已知数据可得:选择6,7,8,9,10,11作为茎,个位数字为叶,则甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2-5-4.

从茎叶图中可以看出乙同学得分情况大致对称,中位数是98,较集中在90多分.甲同学得分也大致对称,中位数是88,较集中在80多分,因此乙同学成绩较好,发挥比较稳定.图2-5-4某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下:甲的得分:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50.乙的得分:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.（1）画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；（2）根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平.返回

按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图,然后分析.

(1)作出茎叶图如下:

(2)由上面的茎叶图可以看出,甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是36;乙运动员的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是26.

因此，甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好.返回如何理解用样本的频率分布估计总体分布?用样本的频率分布估计总体的分布时,要使样本能够很好地反映总体的特征,必须随机抽取样本.由于抽样的随机性,当抽取的样本变化时,所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同.但是,它们都可以近似地看作总体的分布.返回1.画频率分布直方图时(1)决定组距与组数,将数据分组时,组数应力求合适,以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来.这时应注意:①一般样本容量越大,所分组数越多;②为方便起见,组距的选择应力求“取整”;③当样本容量不超过100时,按照数据的多少,通常分成5~12组.2.在频率分布直方图中,纵轴表示

，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积的总和等于1.C返回1.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:则样本数据落在（10，40］上的频率为（）

A.0.13

B.0.39

C.0.52

D.0.64

落在(10,40］的样本频数为13+24+15=52,所以其频率为

=0.52.故应选C.返回D

由题意知样本在(-∞,50］上的频数为14.∴频率为

.故应选D.2.一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：(10,20］,2;(20,30］,

3;(30,40］,4;(40,50］,5;(50,60］,4;(60,70］,2，则样本在区间（－∞,50］上的频率是（）返回D3.观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图2-5-5所示,则新生婴儿体重在

(2700,3000)的频率为（）图2-5-5

A.0.001

B.0.1

C.0.2

D.0.3

由图可知

=0.001,∴频率=0.001×300=0.3.故应选D.4.一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为（）

A.4

B.8

C.12

D.16返回C

频数=频率×容量=0.375×32=12.故应选C.返回5.图2-5-6是某单位职工年