第二章 控制系统传递函数

第二章控制系统的传递函数本章重点：1掌握控制系统建立数学模型的方法

2应用拉普拉斯变换求解微分方程2.0概述主要解决的问题：

1什么是数学模型

2为什么要建立系统的数学模型

3对系统数学模型的基本要求第二章控制系统的传递函数2.0概述一、数学模型的定义

1、

控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。控制系统的数学模型按系统运动特性分为：静态模型

动态模型

静态模型：在稳态时（系统达到平衡状态）描述系统各变量间关系的数学模型。动态模型：在动态过程中描述系统各变量间关系的数学模型。

控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。关系：静态模型是t时系统的动态模型。第二章控制系统的传递函数

2、为什么要建立控制系统的数学模型控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此）

一方面，数学自身的理论是严密精确和较完善的，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和完整的理论支持；另一方面，数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力。“1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。建立系统数学模型的方法很多，主要有两类：机理建模（白箱-系统的各元件及参数已知，结构已知）；

实验建模（数据建模，系统辨识）（黑箱-结构全不知道或灰箱-知道一部分）。第二章控制系统的传递函数二、建立数学模型的依据通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等三、数学模型的特点

1、实物→（抽象）数学表达式

2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型即可用同一个数学模型去描述不同的系统，如，单摆在平衡位置附近的自由运动

电阻、电容、电感电路中电容的放电过程都是衰减振荡。

相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。

说明：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的电网络代替要研究的系统来进行计算和研究，方便，易行。应用：

模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。第二章控制系统的传递函数3、同一控制系统可以有不同的数学模型同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而建立的数学模型可能不同。因此，建立数学模型时，一定要搞清输入量、输出量。四、数学模型的分类

1、微分方程时间域t单输入单输出

2、传递函数复数域s=σ+iω---3、频率特性频率域ω---4、状态方程时间域t多输入多输出用一组微分方程描述系统的状态特性第二章控制系统的传递函数

2．1微分方程模型（时间域模型）

一、控制系统微分方程的分类

线性系统：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方程是定常和线性的。线性系统可应用叠加原理，将多输入及多输出的系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。另外线性系统还有一个重要的性质，就是齐次性，即当输入量的数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数值的大小是无关的。

非线性系统：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。一般来说，这样的模型是由非线性微分方程和非线性差分方程给出的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开成特殊函数等方法。非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释，主要原因是非线性现象有频率对振幅的依赖性、多值响应和跳跃谐振、分谐波振荡、自激振荡、频率插足、异步抑制、分岔和混沌等。

第二章控制系统的传递函数

借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：

i=0,1…nj=0,1,…m可对系统进行描述。

1、线性定常系统ai,bj

都不是xo(t)和xi(t)及它们导数的函数，也不是时间的函数；

2、线性时变系统ai,bj

是时间的函数；

3、非线性系统ai,bj

有一个依赖xo(t)和xi(t)或它们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数形式。

线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。第二章控制系统的传递函数二、微分方程模型的建立

根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤：（1）确定系统中各元件的输入、输出物理量；（2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；（3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系；（4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。

例1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图，建立~间的微分方程关系式。分析：输入：力输出：m的位移第二章控制系统的传递函数

质量-弹簧-阻尼器系统m的受力分析

第二章控制系统的传递函数

注意：习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边；由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于右边的阶次；上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。第二章控制系统的传递函数第二章控制系统的传递函数第二章控制系统的传递函数三、系统微分方程中变量形式的选择

四、系统元件间的负载效应对于两个物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负载，因此这一影响称为负载效应，也称耦合。这时，如只是孤立的分别写出两个元件的动力学方程，则经过消去中间变量而得到的整个系统的动力学方程将是错误的。

例1

复习：1、数学模型的类型

2、建立数学模型的方法

3、建立数学模型的步骤第二章控制系统的传递函数2.3传递函数模型2.3.1定义传递函数是经典控制理论对线性系统进行研究、分析和综合的数学工具。通过传递函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，大大简化了计算工作量，而且由传递函数导出的频率特性还具有物理意义，运用线性系统的传递函数和频率特性有利于对系统研究、分析和综合。

线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：1)线性定常系统

2)零初始条件,即在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为0。

3)输出与输入的拉氏变换之比（复域模型）重点:传递函数的概念传递函数的性质传递函数的列写第二章控制系统的传递函数形式上记为：

(n>m)2.3.2几点说明（性质）（1）传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式。它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。

传递函数的分母和分子分别反映系统本身与外界无关的固有特性和系统同外界之间的联系。

(2)若输入已定，则系统的输出完全取决于其传递函数，因为，

Xo(s)=G(s)Xi(s)

(或C(s)=G(s)R(s))

通过拉氏变换，可求得系统在时域的输出：

Xo(t)=L-1[Xo(s)]=L-1[G(s)Xi(s)]

或c(t)=L-1[C(s)]=L-1[G(s)R(s)]

第二章控制系统的传递函数（3）传递函数中（分子的阶次小于分母的阶次n≥m）是一切物理系统所固有的，这是因为任何物理系统均含有惯性。（4）传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。（5）可减化对系统动态性能分析的过程

R(s)一定时C(s)完全由G(s)决定，因此：

G(s)的特征和形态→分析系统的性能

另：对系统性能的要求→对G(s)的要求

（6）记

=

式中：称第二章控制系统的传递函数称

-为系统的特征根

-为系统的特征多项式。（7）由于可以是零、实数、复数，因此在复平面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有一一对应的关系。这将引出经典控制论的一种重要分析方法：根轨迹法。分析方法：根轨迹法。

第二章控制系统的传递函数（8）传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应该式表明：系统的传递函数与系统的脉冲响应有单值对应的关系，由于传递函数是系统的一种数学模型，能反映系统的静、动态性能，故系统的脉冲响应也可以反映系统的静、动态性能，即系统的脉冲响应也可以作为系统的数学模型。

2.3.3传递函数的列写

法一：列写系统的微分方程

消去中间变量

在初始条件为0的情况下，取拉氏变换

求输出与输入拉氏变换之比第二章控制系统的传递函数法二：列写系统中各元件（各环节）的微分方程

在零初始条件下求拉氏变换

整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量

整理成传递函数的形式举例一些常用典型元部件的传递函数的列写第二章控制系统的传递函数第二章控制系统的传递函数第二章控制系统的传递函数2.3.4

反馈控制系统的传递函数（解释一下方框图----将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理）不失一般性，设系统的方框图如图所示：

（1）前向通道传递函数—是输出C(S)与偏差E(S)之比：)(sB)(sE)(sN)(sC)(sH)(1sG)(2sG)(sR-输入信号偏差信号干扰信号输出信号反馈信号第二章控制系统的传递函数

（2）反馈通道传递函数

特殊地,时，称为单位反馈。（3）对输入引起的开环传递函数（）---也可定义为，闭环系统的前向通道传递函数与反馈回路传递函数之积，或定义为反馈信号B(S)与偏差E(S)之比:

（4）对输入量的闭环传递函数（）---输出信号与输入信号拉氏变换之比，GB(S)(注意推导)第二章控制系统的传递函数（5）对扰动量的闭环传递函数（）

（6）定义为系统的误差

第二章控制系统的传递函数由输入量引起的误差传递函数（）

★描述系统框图的两种最基本、最重要的形式

（1）体现输入输出关系的描述

开环形式

（2）体现反馈机制关系的描述

闭环形式

2.4典型环节的传递函数环节--从数学模型分析出发，可以将系统分为由一些基本环节组成

能组成独立的运动方程的一部分称为一个环节。环节可以是一个元件，也可以是一个元件的一部分或由几个元件组成，各环节不能有相互影响（无负载效应）。

系统是由环节组成的，或者系统是由有关环节串联、并联或反馈连

接而成的。

有了传递函数以后，我们用如图所示的方框图简洁地表示一个系统。指向方框的箭头表示输入信号，从方框出来的箭头表示输出信号。

2.4.1串联和并联

方框图的优点是可以清晰地表明系统中信号的流向。而且，利用方框图可以简明表示出系统中各部分的连接关系。下面考虑几种常见的连接方式。

第二章控制系统的传递函数第二章控制系统的传递函数1.串联两个传递函数分别为和的系统（环节）的串联用图2.11表示。所谓串联，即是将第一个环节的输出信号作为第二个环节的输入信号，连到第二个环节，第二个环节的输出即为整个系统的输出。因此，根据传递函数的定义不难得到:

因此，从到的传递函数为（2.4.1）

(2.4.1)式可以推广到个环节的串联，即，，串联后整个系统的传递函数是各个传递函数的乘积

第二章控制系统的传递函数2.并联上图表示两个环节的并联，在并联结构图中我们引入了信号分支点和信号相加点。所谓信号分支点，就是信号在该点分两路分别送入和。需要指出的是，这里的“分支”不同于通常所说的“分流”，因为从分支点出来的两路信号都是，与原信号一样，而不是将原信号一分为二。所谓信号相加点，是指两个信号在此处汇合，汇合后流出的信号是两个信号的（代数）和。分支点和相加点的概念可以推广到多个信号的情况。不难得到并联情况下系统的输入—输出关系：

第二章控制系统的传递函数

因此可以得到结论：n个传递函数分别为的环节并联后，整个系统的传递函数等于这几个传递函数的和，即记均是实常数

从传递函数的这种分解方式可以看出，线性系统的传递总可以分解成如下7种环节的组合（乘积）第二章控制系统的传递函数

特点：最高不超过二阶上面的m1表示系统有m1个零的零点n1表示系统有n1个零的极点

m2表示系统有m2个实数零点n2表示系统有n2个实数极点

m3表示系统有m3对复数零点n3表示系统有n3对复数极点

称上面七种环节为系统的典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、震荡环节、延时环节等。其中,

比例环节惯性环节

积分环节二阶微分环节

一阶微分环节二阶积分环节（振荡环节）

延迟环节第二章控制系统的传递函数

惯性环节与延迟环节的区别：惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始后在0~τ时间内没有输出，但t=τ之后，输出完全等于输入。第二章控制系统的传递函数

2.4.2典型环节的传递函数

在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干个典型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节。所谓典型环节就是构成系统的一些基本要素，它们在系统分析和设计中起着重要的作用。

一、放大环节放大环节又称比例环节，其输出量以一定比例复现输入信号，即

,

其传递函数为.

图2.17所示的是一个用运算放大器构成的放大环节，其放大倍数为

R2第二章控制系统的传递函数

二、惯性环节惯性环节中因含有储能元件，故对突变的输入信号不能立即复现。其运动方程如下：

（2.4.13）其中称为时间常数，称为惯性环节的增益。由（2.4.13）容易得出惯性环节的传递函数为（2.4.14）当输入信号时，由(2.4.13)不难求出惯性环节的输出响应为

（2.4.15）

第二章控制系统的传递函数

二、惯性环节由图2.18(a)和(b)看出，当输入信号从零突变到1后，输出信号并不能立即响应，而是逐渐增大。当时，输出信号趋于稳态值，输出响应曲线在时的上升斜率为，因为

第二章控制系统的传递函数

二、惯性环节

第二章控制系统的传递函数

三、积分环节

第二章控制系统的传递函数

三、积分环节

第二章控制系统的传递函数

三、积分环节

第二章控制系统的传递函数

四、微分环节

第二章控制系统的传递函数

四、微分环节

第二章控制系统的传递函数

五、延时环节

第二章控制系统的传递函数

六、振荡环节

第二章控制系统的传递函数2.5方框图模型（结构图）

方框图模型是控制系统的又一种数学模型。特点：具有图示模型的直观，具有数学模型的精确。方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。

结构框图：将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向。主要用来说明系统的构成和工作原理。

第二章控制系统的传递函数2.5方框图模型（结构图）函数框图：把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号流向传递方向的箭头将这些框图单元连接起来。主要用来说明环节的特性、信号流向、变量关系、简化系统框图及获得整个系统的传递函数。方框图的建立→将网络看作一个系统，各元件便是系统中的各个环节建立方框图的方法是：（1）列出各环节（元件）的传递函数

（2）用图的形式连接起来。

要注意的是：由于传递函数的条件是零初始的，因此方框图也是零初始条件的。结构图的建立建立步骤：

1）列出各环节（元件）的传递函数；

2）根据各环节之间的信号流向，用图的形式连接起来。例1无源网络：第二章控制系统的传递函数第二章控制系统的传递函数×第二章控制系统的传递函数×将上面的各环节（元件）的部分综合有：第二章控制系统的传递函数××第二章控制系统的传递函数2.5.1．框图单元、比较点和引出点

1．框图单元：框图内为传递函数，指向框图的箭头表示输入，离开框图的箭头表示输出，箭头上表明了相应的信号。２．比较点（相加点）：将两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件。箭头上的“+”或“-”表示信号相加还是相减，其上的所有信号应具有相同的量纲。３．引出点（分支点）：表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号在大小和性质上完全一样。引出数量和信号的大小无关。2.5.2系统构成方式１．

串联连接：各个环节一个个顺序连接。G1(s)

X(s)

Y(s) 第二章控制系统的传递函数2.5.2系统构成方式２．并联连接：输入相同，输出相加或相减的连接形式。３．反馈连接：将系统或环节的输出信号全部或部分地通过反馈回路反馈到输入端，又重新输入到系统中。反馈与输入相加称为“正反馈”，与输入相减的称为“负反馈”。G1(s)

G2(s)

G(s)=G1(s)G2(s)

X(s)

X(s)

Y1(s)

Y(s)

Y(s)

G1(s)

G2(s)

G(s)=G1(s)±G2(s)

X(s)

X(s)

Y1(s)

Y(s)

Y(s)

+ ± Y2(s)

第二章控制系统的传递函数2.5.2系统构成方式2.5.3．框图变换法则１．引出点的变换法则：引出点前移：引出点后移：G(s)

H(s)

X(s)

X(s)

Y(s)

Y(s)

+ ± B(s)

E(s)

GAG

A

AG

G

AG

A

AG

G

G

AG

A

A G

AG

AG

1/G

A

A

第二章控制系统的传递函数２．比较点变换法则：加法交换律：加法结合律：A A-B+C

+ - B A-B

+ + C A A-B+C

+ + C A+C

+ - B A + - B A-B+C

+ C A A-B+C

+ - B A-B

+ + C 第二章控制系统的传递函数２．比较点变换法则：比较点前移：比较点后移：G A AG-B

+ - B AG

G A AG-B

+ - B/G

A-B/G

1/G

B G A AG-BG

+ - B

AG

G A AG-B

+ - B/G

A-B/G

G

BG

第二章控制系统的传递函数２．比较点变换法则：引出点前移越过比较点：A + - B A-B

A A-B

+ - B A-B

+ - B

AG A-B

第二章控制系统的传递函数例:１