第5章 弹性杆件横截面上剪应力分析

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高等教育出版社范钦珊教育与教学工作室清华大学范钦珊Friday,February3,2023返回总目录(5)材料力学讨论课教学软件第5章材料力学弹性杆件横截面上的剪应力分析第5章弹性杆件横截面上的剪应力分析对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩（Mx）或剪力（FQy或FQz）时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为剪应力。分析与扭矩和剪力对应的剪应力方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡方程。本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面剪应力以及薄壁杆件的弯曲剪应力分析。第5章弹性杆件横截面上的剪应力分析第1

部分圆轴扭转时横截面上的剪应力图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T=3kN·m。

试求：1．轴横截面上的最大剪应力；2．轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大剪应力增加的百分比。第1类习题扭转剪应力计算解：1．轴横截面上的最大剪应力第1类习题扭转剪应力计算解：

2.轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：第1类习题扭转剪应力计算解：

2.轴横截面上半径r=15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：第1类习题扭转剪应力计算解:

3．去掉r=15mm以内部分，横截面上的最大剪应力增加的百分比：采用圆环截面的扭转最大剪应力公式第1类习题扭转剪应力计算思考问题圆轴表面的圆，在圆轴受扭转后将变成什么形状？第1类习题扭转剪应力计算思考问题1．去掉r=15mm以内部分，所用材料将会减少多少？2．如果中心r=15mm以内部分所用的是另一种材料，这时，横截面上的最大剪应力将发生在哪里？计算这时的最大剪应力，还需要什么条件？G1G1>G2G2第1类习题扭转剪应力计算图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚δ=6mm。若二者材料相同，所能承受的最大剪应力不得超过60MPa。

试求：结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。第2类习题扭转强度设计解：芯轴与轴套只在下面部分B处相连接，在上部D处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端承受扭矩。1.芯轴横截面上的最大剪应力为：

根据对最大剪应力剪应力的限制，有第2类习题扭转强度设计

根据对最大剪应力剪应力的限制，有

因此得到芯轴所能承受的最大扭矩第2类习题扭转强度设计解：2.轴套横截面上的最大剪应力为：

根据对最大剪应力的限制，有

因此得到轴套所能承受的最大扭矩第2类习题扭转强度设计3.结构所能承受的最大扭转力偶：

根据上述结果，整个结构所能承受的最大扭转力偶为N·mN·m第2类习题扭转强度设计图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为T=Mx。试：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力

3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布

第3类习题开口与闭口薄壁圆管扭转剪应力比较

解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力：这时可以近似认为剪应力沿壁厚均匀分布τδ第3类习题开口与闭口薄壁圆管扭转剪应力比较

解：

2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力

：这时可以将开口的薄壁圆环近似看成狭长的矩形截面，扭转时，剪应力沿壁厚线性分布。根据狭长的矩形截面杆扭转时的剪应力公式δh=πD，b=δ第3类习题开口与闭口薄壁圆管扭转剪应力比较thin-walledtubeshaftblock直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。

试：

1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？

2．确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力。第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpagethin-walledtubeshaftblockBeforeweldingAAA'φ0解：1．分析卸载后轴和薄壁管的变形：

设轴受外扭转力偶矩T时，相对扭转角为φ0，如果不与薄壁管连成一体，卸载后，变形将消失(AA'A)，轴的横截面上没有扭矩作用。第4类习题扭转静不定问题thin-walledtubeshaftblockBeforeweldingAA'φ0AfterweldingAA'Bφ2φ1AA'解：1．分析卸载后轴和薄壁管的变形：

加载后，轴与薄壁管焊成一体，然后卸载，不仅轴的变形不会消失，而且薄壁管也会产生变形(AA'B)。第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpageφ2φ1AA'Bthin-walledtubeshaftblock这时，轴和薄壁管的横截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。Mx1Mx2第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpage这时，轴和薄壁管的横截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。thin-walledtubeshaftblockφ2φ1AA'BMx1Mx2第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpagethin-walledtubeshaftblockφ2φ1AA'BMx1Mx22．确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力：平衡方程变形协调方程物性关系方程第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpage第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpage2．确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力：第4类习题扭转静不定问题Backtothefirstpage2．确定轴和薄壁管横截面上的最大剪应力：第4类习题扭转静不定问题第5章弹性杆件横截面上的剪应力分析第2

部分弯曲剪应力四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O为弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用弯曲应力公式计算横截面上的正应力和剪应力：（A）仅（a）、（b）可以；（B）仅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1类习题弯曲剪应力公式应用条件解：剪应力公式是在正应力公式的基础上推导出来的，因此只有正应力公式适用时，剪应力公式才适用。对于实心截面杆件，平面弯曲正应力公式的应用条件是，载荷作用主轴平面内，载荷作用线通过截面的形心；同时由于中性轴必须通过截面形心，并且垂直于载荷作用线，因此，与载荷作用线垂直的坐标轴必须通过截面的形心。（A）仅（a）、（b）可以；（B）仅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1类习题弯曲剪应力公式应用条件对于实心截面杆件，平面弯曲正应力公式的应用条件是，载荷作用主轴平面内，载荷作用线通过截面的形心；同时由于中性轴必须通过截面形心，并且垂直于载荷作用线，因此，与载荷作用线垂直的坐标轴必须通过截面的形心。对于薄壁截面杆件，产生平面弯曲不发生扭转的条件是，载荷作用主轴平面内，载荷作用线通过截面的弯曲中心；同时由于中性轴必须通过截面形心，并且垂直于载荷作用线，因此，与载荷作用线垂直的坐标轴必须通过截面的形心。（A）仅（a）、（b）可以；（B）仅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1类习题弯曲剪应力公式应用条件因此，本题的正确答案是

D

。（A）仅（a）、（b）可以；（B）仅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。第1类习题弯曲剪应力公式应用条件梁的受力及横截面尺寸如图所示。试：1．绘出梁的剪力图和弯矩图；2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；3．确定梁内横截面上的最大剪应力；4．画出横截面上的剪应力流。第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）

解：1．确定约束力，绘梁的剪力图和弯矩图：

FRAFRB第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）Mx8

解：1．确定约束力，绘梁的剪力图和弯矩图：

ABCFRAFRBq8FQx1800816.22218第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）2．确定形心C位置，计算形心主惯性矩yz0CzyC第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）3．确定梁内弯矩最大横截面上的最大拉应力和最大压应力Mx8ABCFRAFRBq8FQx1800816.22218Mmax第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）4．确定梁内横截面上的最大剪应力最大剪应力发生在中性轴上各点：其中Szmax为中性轴以上或以下的面积对于中性轴的静矩：z0yCzyC第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）4．确定梁内横截面上的最大剪应力最大剪应力：z0yCzyC第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）5．画出横截面上的剪应力流第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（1）由四块木板粘接而成的箱形截面梁，其横截面尺寸如图所示。已知横截面上沿铅垂方向的剪力FQ=3.56kN。试求：粘接接缝A、B两处的剪应力。

第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（2）解：箱形截面的腹板上有与剪力方向一致的剪应力；上下翼缘上具有水平方向的剪应力，截面上的剪应力流如图所示。根据对称性分析，位于箱形截面翼缘上、与纵向对称轴(y)相交的点，其上的水平剪应力等于零。若从此处切开，切开面相当于自由表面。

=0对称轴

=0第2类习题弯曲剪应力计算与剪应力流（2）

=0对称轴

=0根据对称性分析，位于箱形截面翼缘上、与纵向对称轴(y)相交的点，其上的水平剪应力等于零。若从此出切开，切开面相当于自由表面。A点的水平剪应力仍可以采用下式计算：其中为面积A*对于中性轴的静矩AA*z第2类习题弯曲剪应力计算与