第2章拉伸及压缩、剪切

第2章轴向拉伸与压缩剪切(axialtensionandcompression,shear)2.1实例2.2轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力2.4材料在拉伸时的机械性质2.7许用应力和安全系数2.8轴向拉伸和压缩时的变形2.9拉伸、压缩静不定问题2.10温度应力和装配应力2.11应力集中(stressconcentration)2.12剪切的概念与实用计算2.13挤压的概念和实用计算图2.1

悬臂吊车的拉杆2.1实例拉杆图2.2液压传动机构中油缸的活塞杆活塞杆受力特点：构件承受一对大小相等、方向相反作用线跟杆件轴线重合的力作用变形特点：构件沿杆件轴线伸长或缩短图2.3轴向拉伸、压缩杆件的计算简图2.2轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力内力确定方法——截面法杆件的内力称为轴力——由于内力(internalforces)的作用线沿杆轴线内力符号规定：轴力(axialforce)的指向离开所作用的截面时为正号，也称为拉力；指向朝着作用的截面时为负号，也称为压力。图2.4截面法求轴向拉伸杆件横截面上的内力dd1PPPPNmmNmm问题1材料力学中所说的内力，有哪些特征?

答材料力学中的内力有下列几个特征：

1．固体之所以能保持一定的形状，其内部各质点之间就具有相互平衡的初始内力。材料力学中所说的内力是指由外力作用引起物体变形而产生的附加内力，简称为内力。

2．内力是定义在某一截面上的。对于内力，必须说明是哪一截面上的内力。等效于截面两侧部分物体间的相互作用。

3.内力是指某一截面上分布内力系的合成。而且，通常是指该合成沿坐标轴的分量。4内力是矢量，而内力分量是标量。内力分量的正负号与其变形趋势相联系。如轴向拉压杆横截面上的内力——轴力N，规定引起拉伸变形的拉力为正，产生压缩变形的压力为负。问题2试述截面上应力与内力之间的关系。答截面上一点处的应力是在该点处分布内力的集度，截面上的内力是整个截面上各点应力的合成。在一定的外力作用下．内力与截面位置有关，而应力与截面和截面上的点的位置有关。截面上各点应力的合成就是该截面上的内力。轴力图(axialforcediagram)

为了形象地表示出杆件内轴力与横截面位置的关系，常绘出轴力沿杆轴线变化的图形，该图形中以横坐标表示横截面的位置，以纵坐标表示轴力的大小，以该方式绘制的图形称为轴力图。例题2.1例题2.1a图所示为一双压手铆机的活塞缸示意图。作用于活塞杆上的力分别为P1=2.62kN，P2=1.3kN,P3=1.32kN,计算简图为例题2.1b所示。这里P2和P3分别是以压强p2和p3乘以作用面积得出的。试求活塞杆横截面1-1和2-2上的轴力，并作活塞杆的轴力图。解：（一）用截面法求1-1，2-2面上的轴力。对1-1面：对2-2面：（二）画轴力图轴向拉伸和压缩时杆件横截面上的应力平面假设(planecross-sectionassumption)

变形后，横截面仍保持为平面，并且仍垂直于杆轴线，只是各横截面沿杆轴作相对平移。此假设称为平面假设。图2.5轴向拉伸杆件横截面上的应力分布规律结论：任意两横截面间的所有纤维的伸长（缩短）均相同。对于均匀性材料，如果变形相同，则受力也相同。由此可得横截面上各点处的应力大小相等，方向均垂直于横截面。

由静力学关系知，拉（压）杆横截面上的正应力s应合成为轴力N，而s

又处处大小相等，所以有

正应力的符号规定随轴力的符号规定，即拉应力为正，压应力为负。(2.1)例题2.2图求AB杆横截面上的应力例题2.2图示一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷Q=15kN。当Q移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：1.AB杆所受外力2.求斜杆AB的轴力3.求斜杆AB横截面上的应力例题2.3图求阶梯轴各段应力例题2.3一受轴向荷载的阶梯轴，如图所示。求各段横截面上的应力。并画轴力图。解：1.求轴力2.轴力图如例题2.3b图。3.求应力可见最大正应力并不一定发生在最大轴力处。

若外力沿截面变化（比如由于考虑构件的自重），截面的尺寸也沿轴线变化时，这时截面上的轴力将是截面位置x的函数N(x)，如左图示。在计算x截面上的轴力时，应利用微积分求。一般地，构件各截面的内力、应力和截面面积都是位置x的函数，具体地(2.2)图2.6杆件横截面尺寸沿轴线缓慢变化时的应力轴力的一般情况2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力由截面法得该斜截面上的内力为图2.7拉杆斜截面上的应力

与横截面上的正应力类似，斜截面上的应力也是均匀分布的，即一般称pa为全应力，将其分解为垂直斜截面的正应力和沿斜截面的剪应力在[0,p]范围内斜截面正应力和剪应力的变化规律结果讨论右图为斜截面上正应力和剪应力在[0,p]范围内的变化规律。由图知，0.511.522.53-0.4-0.20.20.40.60.812.4材料在拉伸时的机械性质

材料的机械性质也称力学性质是指材料在外力作用过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特征。这些特征是材料自身固有的特性，是强度计算、刚度计算等的重要依据。它要由试验的方法来确定。这些试验是在室温下、以缓慢加载的方式进行的，通常称常温静载试验。拉伸试验是测定材料机械性质的基本试验。材料试验的标准试验的条件（温度、压强、加载方式）加载过程的界定力学参量的测定要弄清楚的几个问题图2.16确定条件屈服极限s0.2的方法图2.17低碳钢压缩时的应力—应变曲线压缩拉伸弄清下列概念及其计算方法1.弹性、屈服（流动）、强化和颈缩阶段5.卸载定律，冷作硬化，蠕变3.塑性材料与脆性材料的定义，以及相应的破坏应力4.塑性与脆性材料在拉伸和压缩时机械性能的差别2.7许用应力和安全系数轴向拉伸和压缩时的强度计算破坏应力：s0对塑性材料(ductilematerials)

s0=ss或s0.2对脆性材料(brittlematerials)s0=sb材料的破坏条件是：工作应力达到破坏应力，即

为使构件或结构能正常工作，必须提供必要的强度储备，这样我们就得到构件工作的强度条件n>1称为安全系数(safetyfactor)[s]=s0/n称为许用应力(allowablestress)

在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.2~2.5。脆性材料取nb=2~3.5，甚至取到3~9。脆性（brittleness），塑性（plastic）。强度条件(strengthcondition)

受轴向拉伸（压缩）构件不因强度破坏的条件是：工作应力(workingstress)不超过许用应力，即轴向拉伸与压缩构件的强度条件强度条件的功用设计尺寸估算载荷校核强度

由实验可知，直杆在轴向载荷作用下，将会发生轴向尺寸的改变，同时还伴有横向尺寸的变化。轴向伸长时，横向就略有缩小；反之轴向缩短时，横向就略有增大。2.8轴向拉伸和压缩时的变形

轴向拉伸杆件的变形情况杆件在轴线方向的伸长为

虎克定律指出：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即s=Ee

这表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长△l与载荷P和杆件的原长度l成正比，与横截面面积A成反比。这是虎克定律的另一表达形式，以上结果同样可以用于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸长△l改为缩短就可以了。杆件纵向变形横向变形lateraldeformation

绝对变形相对变形

试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变1与轴向应变之比的绝对值是一个常数，即

称为泊松系数(Poisson’sratio)，又称横向变形系数，与E一样，也是材料固有的弹性常数，且是一个没有量纲的量。【例题】如图所示托架，水平杆BC为钢圆杆，其直径d=30mm。斜杆AB由两根70×70×6mm的等边角钢组成。若[s]=160MPa，E=200GPa,试校核托架的强度，并求B点的位移。设P=50kN。

解:1.求各杆轴力。取节点B为研究对象，由平衡方程可求得1、2杆轴力分别为2.强度校核设想将B处铰解开，两杆在各自杆端力的作用下自由伸缩，则1杆的B端将缩至B2，而2杆的B端将伸至B1。事实上，两杆相联于B点，并不分离，故B点的新位置应当在另一点B3处。因是小变形，所以B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧。因而可采用分别垂直于BA、BC的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3的位置。图中BB3线段即为B点的位移。这种方法称为Williot法。3求B点的位移B点的水平位移

B点的位移BB3为

B点的铅垂位移为轴向变形的一般情形

轴向变形公式成立的前提是：在计算长度l内，杆件的轴力N和截面积A以及材料常数E是不变的。

当轴力N或横截面积A为杆轴线坐标x的连续函数时，选取微段dx，它满足上述计算条件，从而求得微段的轴向变形为则整个杆件的变形为例2.9图中自由悬挂的变截面杆是圆锥体。其上下两端的直径分别为d2和d1。试求由载荷P引起的轴向变形（不计自重的影响）。设杆长l及弹性模量E均已知。解:设坐标为x时，横截面的直径为d，则2.9轴向拉伸或压缩的应变能

固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。对构件的变形计算及静不定结构的求解，能量原理都有重要作用。近年来计算力学的兴起，使能量原理更受重视。

变形能——固体在变形过程中，固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而作功；同时，弹性固体因变形而具备了作功的能力，表明储存了变形能。在下列条件下加载缓慢均匀（保证是静态）没有其它能量的损失（如动能、热能等）则有即认为外力对系统所作的功全部转化为能量储存起来。例2．9简易起重机如图2．30所示。BD杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚2．5mm，杆长J＝3m。弹性模量置＝210GPas5C是两条横截面面积为172mm’的钢索，弹性模量El＝177()Pa。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设尸＝30kN。2.9拉伸、压缩静不定问题

结构的约束反力或构件的内力未知量个数多于独立的静力平衡方程数目，不能凭静力平衡方程来求其解答。这类问题称静不定问题(staticallyindeterminateproblem)，也称超静定问题。

设未知量的个数为s，静力平衡方程的数目为n，则结构的静不定次数为静不定次数(degreeofastaticallyindeterminateproblem)z=s-n静不定梁z=3静不定桁架z=1静不定问题的求解方法

静不定问题的求解是综合考虑静力平衡、变形协调以及物理等三方面的关系进行求解。这也是与静定问题求解的不同之处。

已知图示构件各截面面积和形状相同、材料相同，试求该结构三杆的内力。1322.由变形几何方程1.由静平衡方程3.由物理方程将物理方程代入变形协调方程，得如下补充方程如需进一步求解各杆应力、变形，进行强度计算等，则与静定问题的求解方法是一样的。与静力平衡方程联立即可解得2.10温度应力和装配应力2.10.1温度应力温度的变化将引起结构物或其部分构件的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度在整个结构上均匀变化时，不会在结构杆件内产生应力。但在静不定结构中，由于“多余约束”，结构的变形部分或全部受到约束，温度变化将会引起杆内的应力，这种应力称为温度应力。公路上例图中AB为一装在两个刚性支承间的杆件。设杆AB长为l，横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为，试求温度升高ΔT时杆内的温度应力。

解：1.由静平衡方程2.假定去掉B端点约束，使杆件自由伸长，其伸长量为3.在构件自由膨胀以后，假想地用外力N作用于端，使构件发生变形为使分解后的问题与原问题等效，则有进一步，有温度应力可见温度应力与构件的截面积无关。2.10.2

装配应力

对静定结构，在安装时，加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化，不会引起杆件内力。但对于静不定结构安装时，加工误差却往往要引起内力，这与上述温度应力的发生是非常相似的，相应的应力称装配应力。

例图示刚性梁由三根刚杆支承，刚杆之横截面面积A均为20cm2,2杆的长度比1、3杆短了δ=0.5mm。试求在结构安装后，各杆横截面上的应力。解：1.平衡方程

2.变形协调条件

3.物理方程联立求解得2.11.1

圣维南原理(Saint-Venant’sPrinciple)

当一个力系作用于弹性体某一小区域内时，如用与该力系静力等效的另一力系替代，则后者对物体的作用效应，除在力系作用处的较小局部范围有影响外，对距力系作用处稍远的其它部分的效应与前者基本一致。即由于外力分布方式的不同对稍远处的影响可以不计，仍可用前述公式计算其应力的大小。

2.11应力集中(stressconcentration)2.11.2应力集中(stressconcentration)

由于截面尺寸改变而引起的应力局部增大的现象称为应力集中。应力集中现象只是发生在孔边附近，而离孔稍远应力急剧下降且趋于平缓，所以应力集中现象是局部性的。

通常把截面上孔边的最大应力与同一截面上的平均应力的比值，称为应力集中系数，记作，即应力集中对塑性材料不敏感，对脆性材料敏感，主要原因是塑性材料有一个屈服过程，而脆性材料没有。2.12剪切的概念与实用计算螺栓的剪切变形

联接件键的剪切变形轴毂键毂：车轮中心的圆木,周围与车辐的一端相接,中有圆孔,可以插轴联接件销钉的剪切变形焊缝的剪切变形受力特点：一对作用线相距很近、方向相反的集中力作用变形特点：沿该对力之间的横截面发生相对错动

剪切变形的受力特点与变形特点作用于构件两侧且与构件轴线垂直的外力，可以简化为大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对力，使构件沿横截面发生相对错动。该发生相对错动的面称为剪切面。剪切的实用计算图3.5剪切变形的一般情形剪力一般而言，螺栓在外力作用下，不仅发生剪切变形，还会有很小的拉伸变形以及变弯，要对其进行精确的强度计算是很困难的，但由于螺栓长度较小，横截面尺寸与之相比更小，所以，工程上采用实用计算的方法。应力强度条件(3.1)(3.2)在设计规范中，对许用剪应力的数值，都根据具体情况作了规定，可以参考查用。此外，对于钢材，常取：其中[s]为其许用拉应力。例电瓶车挂钩由插销联接。插销材料为20钢，[t]=30MPa，直径d=20mm。挂钩及被联接的板件的厚度分别为t=8mm和1.5t=12mm。牵引力P=15kN。试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m-m和n-n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求得插销横截面上的名义剪应力为故插销满足强度要求，安全。2.12.2挤压的概念和实用计算挤压(bearing)的概念仍以图3.5的螺栓为例，当螺栓发生剪切变形时，它与钢板接触的侧面上同时发生局部受压现象，这种现象称为挤压，相应的接触面称为挤压面。图3.5剪切变形的一般情形挤压的实用计算挤压应力在挤压面上的分布情况也比较复杂，它与接触的方式、接触面的形状等因素有关。