第6章滤波器设计

第六章IIRDF无限长数字滤波器的设计6.1引言一、滤波器的设计方法因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统。它是在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。所以，数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。二、滤波器设计的步骤1.根据任务，确定性能指标。2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。）4.用适当的软、硬件技术实现（通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合）。三、性能指标我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。因为理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。1、低通滤波器的性能指标fstwstfcwcα21-α11δ1δ2fw|H(ejw)|或|H(f)α1：通带容限α2：阻带容限通带截止频率：fc(wc)又称为通带上限频率。通带衰减：δ1阻带截止频率：fp(ws)又称阻带下限截止频率。阻带衰减：δ22、通常具体技术指标四、H(z)如何推导出（1）根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z).(2)根据时域波形提出要求来设计-->单位冲激响应h(n)或g(n)的形状。（3）有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).五、IIRDF系统函数IIRDF是一个递归型系统，其系统函数：七、IIRDF频率特性它是由三个参量来表征：1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时

它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率ω的一阶导数的负值。即：八、IIRDF的设计方法由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIRDF的方法，即间接设计方法。这种方法通常要先设计一中间滤波器，然后通过映射或频率变换完成最终IIR数字滤波器的设计。6.8常用模拟低通滤波器的设计一、为何要设计模拟低通滤波器由于模拟滤波器来设计数字滤波器：必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射。此节我们先复习如何设计模拟低通滤波器。在此介绍常用的二种模拟低通滤波器的设计。1、Butterworth巴特渥斯滤波器(最平幅度)2、Chebyshev

切比雪夫滤波器(通带或阻带等波纹）二、模拟滤波器设计思想将一组规定的设计要求，转换为相应的模拟系统函数Ha(s)使其逼近某个理想滤波器的特性。(滤波器的特性包括有：幅度特性、相位特性、群时延特性)，模拟滤波器经常借助其幅度平方函数特性来设计。三、根据幅度平方函数确定系统函数

1、求滤波器的幅度平方函数设计模拟滤波器经常要借助其幅度平方函数

其中：Ha(s)是模拟滤波器的系统函数。假设p1,z1为Ha(s)的一个零点和一个极点，则-p1,-z1必为Ha(-s)的一个零点和极点，Ha(s)、Ha(-s)的零极点成象限对称分布。所以必然有如下形式：2、根据幅度平方函数设计模拟滤波器的系统函数的步骤实际滤波器都是稳定的，因此其极点一定位于S平面左半平面，这样可根据幅度平方函数通过如下步骤分配零、极点来设计出模拟滤波器的系统函数。(1)由来确定象限对称的S平面函数。(2)将因式分解，得到各零点和极点。(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性的对比就可确定出增益常数。

(1)由来确定象限对称的S平面函数。

将代入中即得到s平面函数。(2)将因式分解，得到各零点和极点。将左半平面的极点归于Ha(s)。如无特殊要求，可取的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点。(3)按照与Ha(s)的低频特性或高频特性，确定出增益常数。由的条件，代入可求得增益常数。例子根据以下幅度平方函数确定系统函数Ha(s).例子四、Butterworth巴特渥斯低通滤波器

1、幅度平方函数Butterworth低通滤波器具有通带最大平坦的幅度特性，是一全极点型滤波器，且极点均匀分布在Ωc的圆上，并且与虚轴对称。其特点：在通带内，幅频特平坦，随着频率的升高而单调下降。其幅度平方函数为其中N为整数，表示滤波器的阶次，Ωc定义为截止频率，为振幅响应衰减到-3dB处的频率。2、Butterworth滤波器的极点分布

由可知Butterworth的零点全部在S=∞处，它是全极点型滤波器，且分布在半径为Ωc的圆上，呈象限对称分布。为了得到稳定的滤波器，s左半平面的极点必须分配给Ha(s)，s右半平面的极点分配给Ha(-s)。取其分布在左平面的极点,设计出巴特沃斯低通滤波器.3、Butterworth的幅度响应

及极点分布其中左半平面构成Butterworth滤波器的系统函数极点不会落在S平面上的虚轴上4、Butterworth滤波器阶数N与幅度响应的关系当N增大时，滤波器的特性曲线变得陡峭，则更接近理想矩形幅度特性。5、3dB带宽6、Butterworth滤波器的特点(1)N阶滤波器在Ω=0处幅度平方函数的前(N-1)阶导数等于零。即在Ω=0处，最平坦，且随着Ω的增加单调下降。(2)在止带内的逼近是单调变化的，不管N为多少，所有都经过点（-3dB)处。(3)滤波器的特性完全由其阶数N决定。N越大，则通带内在更大范围内更接近于1，在止带内迅速地接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。7、归一化的Butterworth滤波器的系统函数在一般设计中，都先把Ωc

设为1rad/s，这样使频率得到归一化。归一化的Butterworth滤波器的极点分布以及相应系数都有现成表可查。即若令8、Butterworth滤波器设计步骤

(1)根据设计规定，确定Ωc和N。(2)由确定Ha(s)Ha(-s)的极点。

(3)Sk

的前N个值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)<0部分的极点，构成Ha(s).(4)常数K0

可由A(Ω)和Ha(s)的低频或高频特性对比确定。

9、例子导出Butterworth低通滤波器的系统函数，设Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根据幅度平方函数：方法二方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得五、切贝雪夫低通滤波器Chebyshev

1、引入原因Butterworth滤波器频率特性，无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因此如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。更有效的方法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀分布在阻带内，或同时均匀在通带与阻带内，这时就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。2、Chebyshev滤波器的种类

在一个频带中，通带或阻带具有这种等纹特性可分为：（1）ChebyshevI型：在通带中是等波纹的，在阻带内是单调的；（2）ChebyshevII型：在通带中是单调的，在阻带内是等波纹的；由应用的要求，决定采用哪种型式的Chebyshev滤波器（1）ChebyshevI型幅频特性和零极点图（N=3）N=3ChebyshevI型，下面我们仅讲此类型（2）ChebyshevII型幅频特性和零极点图（N=3）N=3ChebyshevII型，其设计思想同ChebyshevI型，在此课程中我们就不作介绍。3、ChebyshevI型幅度平方函数ChebyshevI型模拟滤波器的振幅平方函数为：4、CN(x):N阶Chebyshev多项式

(1)函数

（2）Chebyshev多项式图形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)5、通带等波纹振荡6、确定通带内波纹值ε7、确定阶数N（1）--N阶特性阶数N等于通带内最大和最小值个数的总和。可由幅频特性中看出N阶数。且当：N=奇数，则Ω=0处有一最大值，N=偶数，则Ω=0处有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6例1试导出2阶ChebyshevI型DF系统函数(已知通带波纹为,归一化频率为Ωc=1rad/s。例16.4用模拟滤波器设计

IIR数字滤波器一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤用间接方法之一即由模拟滤波器设计IIRDF的系统函数。这种方法设计，要经过以下三步：1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标2、模拟滤波器设计3、映射实现：从模拟滤波器再转换在数字滤波器1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标根据给定设计要求，把数字滤波器的性能指标变成模拟滤波器的性能指标。2、模拟滤波器设计设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数。可以选择多种类型的滤波器。ButterworthChebyshevEllipticBessel3、映射实现利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，完成IIR数字滤波器系统函数的设计。二、由模拟滤波器设计

数字滤波器条件完成由模拟变换到数字的映射必须满足两条基本要求：①为保持模拟滤波器的频率轴的映射关系，S平面的虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆上，即[S=jΩ,∞<Ω<∞]→[Z=,-π<ω<π]②为保持滤波器稳定性，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内，即Re[s]<0→|z|<1z0ΩSω-ππ三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性

用这方法设计IIR数字滤波器存在一定的局限性：(1)这种方法只适于设计振幅响应分段恒定的滤波器，不能解决多带或任意幅度的滤波器的设计问题。(2)它只是一种可行的方法，而不是最优的方法。四、映射实现的方法由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。主要有以下几种映射方法：冲激响应不变法

阶跃响应不变法双线性变换法6.5冲激不变法

（脉冲响应不变法）一、变换原理

1、什么是冲激不变法冲激响应不变法由雷道（Rader),戈尔德（Gold)提出.冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h(n)对应于模拟滤波器ha(t)的等间隔抽样。h(n)=ha(nT)，其中T是抽样周期。2、数字滤波器与模拟滤波器的频率的响应映射关系由于在时域抽样，导致在频域内，数字滤波器的频率响应H(ejw)为模拟滤波器频率响应的周期延拓.

存在多对一的映射关系。3、冲激响应不变法的映射规则

冲激响应不变法的映射规则为:z=esT(T为抽样周期)。这种映射并不是简单的代数映射，故不能将其直接代入Ha(s)来得到H(z).4、映射规则的要点S平面上每一条宽为的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。每一横条的左半边映射到z平面单位圆内，每一横条的右半边映射到z平面单位圆外。S平面的虚轴（j)轴映射到z平面单位圆上，虚轴上每一段长为的线段都映射到z平面单位圆上一周。数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。二、性能分析数字滤波器的冲激响应为对应模拟滤波器冲激响应的抽样，由抽样定理可知其频谱为模拟滤波器频谱的周期延拓。只有模拟滤波器的频谱限带于折叠频率内时，即要满足才能避免混叠失真。而实际的滤波器并非严格限带，所以用冲激响应不变法设计的数字滤波器不可避免地会产生混叠失真。所以此法只适于设计带限滤波器。三、设计流程的公式推导

1、设计步骤冲激响应不变法设计数字滤波器的思路为：(1)先根据要求，设计出中间模拟滤波器系统函数；(2)然后经下列变换设计出H(z)：

Ha(s)→ha(t)→h(n)→H(z)可见整个过程很复杂。2、设计流程中注意点

冲激响应不变法是Ha(s)-->H(z).即:将S平面极点sk

映射到Z平面极点z=eskT因而只有极点有这种简单映射关系，而零点不满足这种简单的对应关系。将模拟滤波器系统函数展开为并联形式（即部分分式展开），且要求其分母的阶次大于分子的阶次。（因为只有这样才是一个稳定的模拟系统）3、设计公式推导几点结论（1）S平面的单极点变为Z平面单极点就可求得H(Z)（2）Ha(S)与H(Z)的系数相同，均为（3）AF是稳定的，DF也是稳定的。（4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。修正的H(Z)由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：六、用冲激不变法设计IIRDF的一般流程（总结）用冲激响应不变法设计IIR滤波器的一般流程：1、根据设计要求，设定指标。2、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。3、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。4、将Ha(s)展成部分分式的并联形式，利用式设计出H(z)。5、将H(z)乘以抽样周期T，完成数字滤波器系统函数H(z)的设计。七、冲激不变法设计IIRDF的优缺点（1）冲激不变法使得数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，也就是时域逼近良好。（2）模拟频率Ω和数字频率w之间呈线性关系：w=ΩT如：一个线性相位的模拟滤波器（例贝塞尔滤波器）可以映射成一个线性相位的数字滤波器。（3）缺点：由于有频率混叠效应，所以冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器。八、冲激不变法应用的局限性由于具有频率的混叠效应，所以高通和带阻滤波器不宜采用冲激不变法。因为它们高频部分不衰减，将完全混淆在低频中，从而使整个频响面目全非。若要对高通和带阻实行冲激不变法，则必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上的频带。它会增加设计的复杂性和滤波器的阶数，因而只有在一定要追求频率线性关系或保持网络瞬态响应不变时才使用。对于带通和低通滤波器，需充分限带，若阻带衰减越大，则混叠效应越小。例子1|Ha(jΩ)|Ωw|H(ejw)|由于模拟滤波器不是充分限带，所以数字滤波器产生很大的频谱混叠失真。例子2设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π,

止带频率ws=0.4π,

在w=ws处的止带衰减20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。

(假设采样频率为fs=20kHz)解：设计分为4步。（1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。

采样间隔为T=1/fs=1/20kHz例子2对于冲激不变法，频率变换是线性的。已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF阶数N例子2(2)设计Ha(s)将上述设计指标代入求出N阶数例子2例子2例子2例子2x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)并联型级联型6.7双线性变换法第七节双线性变换法冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法一、变换原理

1、定义双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响应与AF的频率响应相似的一种变换法。2、双线性变换法的映射关系实现S平面与Z平面一一对应的关系。第一次变换：频率压缩第二次变换：数字化S平面S1平面Z平面3、双线性变换法的映射规则

双线性变换法的映射规则：

（1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。（2）数字化：将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。（1）频率压缩把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。（2）数字化将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。（3）变换常数C的选择1调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关系。（a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。看出在低频处，AF的低频特性近似等于DF的低频特性。（3）变换常数C的选择2二、性能分析11.解决了冲激不变法的混叠失真问题。2.它是一种简单的代数关系。只须将上述关系代入AF的Ha(s)中（对直接、级联、并联结构都适用）即可求出DF的H(z),设计十分方便。3.由于双线性变换中，即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非线性的频率失真。二、性能分析24.双线性变换法不适用于设计：（1）设计线性相位的DF（2）它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅度变换是线性的）。（一般低通，高通，带通，带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数）二、性能分析35.同时，看出双线性变换：（1）在零频附近，模拟角频率与数字角频率变换关系接近线性关系。（2）又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅度变换是线性的

所以称之为双线性变换。频率升高时，非线性失真严重。例1一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通过双线性变换成为数字微分器。模拟微分器数字二、性能