高二物理竞赛刚体力学基础课件

第5章刚体力学基础

第5章刚体力学基础本章主要内容：1、刚体运动学（运动状态的描述）2、定轴转动刚体的功和能3、定轴转动刚体的角动量定理及守恒定律1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。刚体是一种理想模型。刚体上任两点间的距离始终保持不变。5.1.1、刚体平动与转动2、刚体的平动:刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种运动称为刚体的平动。平动的刚体可当作质点。注意：刚体平动时，运动轨迹不一定是直线。特征：各个质点的位移、速度、加速度相等。3、刚体的转动:刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。4、刚体的一般运动：可看成是平动和转动的叠加。

定轴转动

:转轴在空间的位置固定不动。1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征：5.1刚体运动学所以，刚体定轴转动用角量描述比较方便。由于不同点的线速率、线位移一般不同；刚体定轴转动的特点1、刚体各点的轨迹分别是过该点垂直于转轴的平面内的圆。圆心是平面与转轴的交点，半径：该点到转轴的距离。2、在同一时间内，刚体上任意点的角位移都相同。３、任意时刻不同点的和都相同。5.1.2、刚体定轴转动的角量描述平均角速度：角速度：（矢量）角加速度：（矢量）角位移:规定

ox

轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。角位置：刚体定轴转动的运动学方程。定轴转动只有两个转动方向。刚体作匀变速转动时，相应公式如下：

角量与线量的关系：线速度与角速度之间的矢量关系为:

由于在定轴转动中轴的位置不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用代数值代替。

例题5-1一半径为R=0.1m

的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t

的变化关系为

=

(

2

+

4

t

3

)

rad，式中

t以秒计。试求：1）在

t=2s

时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角

为多大时，该质点的加速度与半径成

45

o。

解：

1)2)(舍去t=0

和t=-0.55)此时砂轮的角度：

例题5-2

一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200rad/min,然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止了转动。若飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间？解：整个过程分为三个阶段①加速阶段②匀速阶段③制动阶段

解：

1)棒做变加速运动：

例题补一细棒绕O点自由转动，并知,L为棒长。求:1)棒自水平静止开始运动，θ=π/3时,角速度ω?2)此时端点A和中点B的线速度为多大?1、刚体:在外力作用下形状和大小完全不变的物体为刚体。

2、刚体的平动:刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种运动称为刚体的平动。特征：各个质点的位移、速度、加速度相等。3、刚体的转动:刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。

定轴转动

:转轴在空间的位置固定不动。各点的角位移、角速度、角加速度相同。特征：复习刚体上任两点间的距离始终保持不变。刚体是一种理想模型。平动的刚体可当作质点。平动动能：转动动能：5.2.1、刚体的动能5.2定轴转动刚体的功和能刚体绕定轴的转动惯量：则：注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不同。一般刚体动能：2、转动惯量的计算：若质量离散分布：（质点，质点系）若质量连续分布：其中：1、定义：刚体对转轴的转动惯量：5.2.2、转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。SI单位：kg.m

例题5-4(1)求质量为m，半径为R的均匀圆环对中心轴的转动惯量。解:

设质量线密度为λ

例题5-4(2)求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量

取半径为r宽为dr的薄圆环,解:

设质量面密度为σ质点作圆周运动滑轮例题5-4

求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解1）取A点为坐标原点。在距A点为x处取dm=λdx。2）取C点为坐标原点。在距C点为x

处取dm。2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡提到转动惯量必须指明它是对哪个轴的。刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、转轴的位置三个因素共同决定;说明3、平行轴定理：

若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体对该轴的转动惯量为J，则有：说明：两轴平行；JC

为刚体绕质心轴的转动惯量d

为两平行轴间距离。例1

均匀圆盘对O轴的转动惯量。例2

均匀细棒对A轴的转动惯量。4、垂直轴定理设一薄板，过其上一点作z轴垂直于板面，x、y轴在平板面内，若取一质元⊿mi，则有薄板形刚体对于板面内的两条正交轴的转动惯量之和等于这个物体对过该二轴交点并垂直于板面的那条转轴的转动惯量。

---垂直轴定理练习：求下列刚体对O轴的转动惯量：5.2.3、对转轴的力矩刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P，且在转动平面内,

为由点O到力的作用点P的径矢。

有两个方向，可用正负表示。方向：d=rsinθ称为力F对转轴的力臂。由右手螺旋定则确定。1、F在转动平面内把F分解为径向Fr、横向Ft和沿转轴方向Fz的三个分量。力矩的大小:(d力臂)①Fr

对转轴的力矩为零；②Fz的力矩不为零，但产生的力矩垂直于转轴不影响刚体的定轴转动，或它在转轴上的投影为零；③Ft的力矩沿轴向，它对刚体定轴转动有贡献。2、F不在转轴平面内

2、当有n个力作用于刚体，则

合外力矩等于各外力对转轴力矩的代数和。3、刚体的内力对转轴的力矩：刚体的内力对转轴的力矩的矢量和为零。1、由于角动量、力矩的方向都只有沿转轴方向的两个可能的指向，所以通常用标量（正、负）表示。

与转轴平行的力对转轴不产生力矩。

与转轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩。

刚体内各质点间的内力对转轴不产生力矩。结论：讨论5.2.4、定轴转动定律设刚体以角速度和角加速度绕轴转动，点表示刚体上的一质元,质量为点的矢径为，此质元所受的外力为，内力为

,且均在转动平面内

由牛顿第二定律得:

故只讨论切向方程：由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零，对切向方程两边同乘以，可得

即：——刚体的定轴转动定律由于各质元的角加速度均相同，则对刚体：刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。1、转动定律适用条件：刚体定轴转动。2、M

一定：作用不同刚体上，J大时，β

小，转速不宜改变，转动惯性大。反之，J

小，转动惯性小。

—转动惯量是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。应用时应注意以下问题：③当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用隔离法解题。对转动物体应用转动定律建立方程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。①力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。②选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速度的正负。类比说明：

例题5-7质量为m1、半径为R的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m2的下落加速度a和

滑轮转动的角加速度β.联合解得：

关联方程：

解对m1分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。对m2分析受力，取向下为正方向。由转动定律：由牛顿运动定律：

的薄圆盘）的定滑轮（视为半径为

例题5-6一轻绳跨过一质量为两物体，且和绳两端挂质量为，绳与滑轮无相对滑动，滑轮轴间摩擦阻力矩为求物体的加速度和绳中的张力。

对

（2）对（1）对滑轮分析力矩，由转动定律：

（3）

（4）

（5）对m1

、m2分析受力。由牛顿定律：关联方程：

解：由于m2＞m1

，m1向上加速运动，m2向下加速运动，滑轮顺时针转动。规定物体运动方向为正方向。联立（1）,（2），（3），（4），(5)式可解得比较：当不计滑轮质量m和摩擦阻力矩Mf时，有

例题5-8一刚体由长为

l，质量为m的均匀细棒和质量为m的小球组成，且可绕O轴在竖直平面内转动，且轴处无摩擦。求:1）刚体绕轴O的转动惯量。2）若棒自水平静止开始运动到棒与竖直方向成θ角时,小球的角速度和法向加速度。2）取逆时针转动为正方向，棒与竖直方向成θ角时，合外力矩:解1）分离变量积分得:小球的法向加速度：由转动定律:

解选取斜面为参考系，规定滑轮的转动方向为转动正向，沿斜面向上为重物运动的正方向．隔离物体分析受力。对重物应用牛顿第二定律，得对滑轮应用转动定律，得关联方程为：

例题补一恒力矩M作用于斜面顶点的滑轮上，滑轮的半径为r,质量为m1，质量为m2的重物通过一不可伸长的轻绳固定在轮的边缘，重物沿倾角为α的斜面上升．重物与斜面间的摩擦系数为μ。求：轮子由静止开始转过角后获得多大的角速度？联立得：由于为常量，故滑轮作匀变速转动．则1、如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A滑轮挂一质量为M的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和βB，不计滑轮轴的摩擦，则有(A)β

A＝β

B．(B)β

A＞β

B．(C)β

A＜β

B．(D)开始时β

A＝β

B，以后β

A＜β

B．√练习题2、一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1＜m2)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力

(A)处处相等．(B)左边大于右边．(C)右边大于左边．(D)哪边大无法判断．√一、刚体:受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体定轴转动:转轴相对参考系固定不动的转动。刚体对转轴的转动惯量：二、刚体对转轴的力矩：小结三、刚体的定轴转动定律:作业P124：5-2-3，5-4一、刚体对转轴的转动惯量：二、刚体对转轴的力矩：复习三、刚体的定轴转动定律:基本步骤：隔离法分析研究对象。确定各物体运动的正方向。分别列出质点和刚体的运动方程。

刚体的定轴转动

:转轴在空间的位置固定不动。特征：各点的角位移、角速度、角加速度相同。5.2.5、力矩的功和功率力矩功的表达式由功的定义式:4）力矩的功与力的功实质相同，表达式不同。2）几个力矩同时作用时3）内力矩做功为零。1）M恒定时说明---合外力矩根据功率的定义，力矩的功率可表示为

对比5.2.6、定轴转动刚体的动能定理定轴转动的动能定理设定轴转动刚体受到的合外力矩为M，根据转动定律合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。例题补充冲床的飞轮m=600kg,飞轮半径r=0.4m.正常速度为n1=240r/min,冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔冲头做的功。

解:

冲孔前后的角速度分别表示为ω1和ω2

孔铁板阻力对冲头做功：故冲头做功：刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能。5.2.7、刚体的重力势能5.2.8、刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律刚体的重力势能刚体中各质元的重力势能的总和称为定轴转动刚体的重力势能。若刚体定轴转动中受重力矩M重

及其它外力矩M外的作用，则根据势能定理Zc是刚体质心相对重力势能参考点的高度例：长为质量为m的均匀细棒作如图所示的定轴转动时，重力矩所做的功为重力矩所做的功等于重力势能增量的负值。

（选逆时针方向为正）刚体定轴转动功能原理的积分形式

刚体定轴转动功能原理的微分形式

如果在刚体定轴转动的过程中，除重力矩以外的其它外力矩对刚体做的功始终为零，M外——除重力矩以外的其它外力对转轴的合力矩则定轴刚体转动系统的机械能守恒。其中，刚体的重力势能为。下摆。求:例题5-9一长为l质量为m的匀质细棒，如图所示，可绕图中水平轴o在竖直面内旋转，若轴间光滑，今使棒从水平位置自由（1）在水平位置和竖直位置棒的角加速度（2）在竖直位置时棒的角速度、质心的速度和加速度各为多少？解：（1）由定轴转动定律可得在水平位置

在竖直位置

N（2）先取任一中间状态进行受力分析，细棒的机械能守恒。若设细棒在水平位置时为重力势能零点，则有竖直位置棒的角速度为N质心的速度质心的切向加速度和法向加速度例题5-10已知滑轮的质量为M，，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为θ，物体与斜面间光滑，物体从静止释放，释放时弹簧无形变。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩。求物体沿斜面下滑x米时的速度为多大？（滑轮视作薄圆盘）解选取定轴转动的滑轮、弹簧、物体和地球为系统，重力、弹性力均为系统内保守力，而其它外力和非保守内力均不做功，故系统的机械能守恒。设m未释放时为初态，取此时重力势能为零。当m下滑x后为末态。由机械能守恒定律：联立得角量与线量的关系:又有：5.3定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律一、刚体对定轴的角动量对OZ轴的元角动量:质元一个以角速度ω绕OZ

轴转动的均匀细棒均匀细棒对OZ

轴的角动量：刚体对定轴的角动量注意：L为刚体对转轴的角动量,方向与转轴平行。二、刚体的角动量定理作用在刚体上沿转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率。作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。刚体定轴转动时，当转动惯量J不变时，转动定律可表示为微分形式积分形式三、刚体的角动量守恒定律1)定轴转动的刚体，若J=C，角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。2）若J不为恒量时，角动量守恒即Jω=恒量。这时，刚体的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变．当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。3）角动量守恒定律中的都是相对于同一转轴的．4）守恒条件：例:说明例题5-11一质量为m的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿出后棒的角速度ω。已知棒的长度为l，质量为M。解取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒。设m射穿前为初态，m射穿后为末态。初态末态由角动量守恒定律，得

例题5-12

如图所示，一长为2l

，质量为M的均匀细棒，可绕中点的水平轴o在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度v0垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的回跳速度v及棒转动的角速度ω各为多少？解:以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任意状态分析受力，则系统对轴o的角动量守恒。取垂直纸面向里为角动量正向。根据弹性碰撞，机械能守恒。联立可解得例题5-13一质量为M半径为R的水平转台（可看作匀质圆盘）可绕通过中心的竖直光滑轴自由转动，一个质量为m的人站在转台边缘。人和转台最初相对地面静止。求当人在转台上边缘走一周时，人和转台相对地面各转过的角度是多少？解:如图，对盘和人组成的系统，当人走动时系统所受的对转轴的合外力矩为零，因此系统的角动量守恒。设人沿转台边缘相对地面以角速度ω逆时针方向绕轴走动（正方向），人的转动惯量为J1。转台以角速度ω’相对地面顺时针方向绕轴转动，转台的转动惯量为J2。起始状态系统的角动量为零。则有令，当人在盘上走完一周时，应有

该式两边乘dt并积分，有：

可得：

[补充]质量为M，长为l的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动。现有一质量为m的子弹以速度水平射入杆中。求：子弹与杆一起运动时的角速度ω及转过的最大角度θ？解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰撞过程中，合外力不为零，而合外力矩为零。系统相对于O轴的角动量守恒。第二阶段：系统绕O轴转动过程中，合外力不为零，且合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能守恒。取碰撞时杆最底端为重力势能零点刚体的势能解得：子弹与杆一起运动时的角速度ω：子弹随杆转过的最大角度θ：注意：当系统的合外力不为零时，该系统的合外力矩却可以为零，即系统的动量不守恒。而系统的角动量守恒。1、一人站在旋转平台的中央，两臂侧平举，整个系