高中数学苏教版1第3章导数及其应用3．2导数的运算第3章322

3.2.2函数的和、差、积、商的导数1.掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则.(重点)2.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.(难点)[基础·初探]教材整理函数和、差、积、商的求导法则阅读教材P82～P83例2以上部分，完成下列问题.公式语言叙述[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)两个函数和的导数等于这两个函数导数的和[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)两个函数差的导数等于这两个函数导数的差[C(f(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)常数与函数的积的导数等于常数与函数的导数的积[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方1.判断正误：(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x(2)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在.()(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x).()【解析】(1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a.(2)×.运用法则求导时，要首先保证f′(x)、g′(x)存在.(3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).【答案】(1)×(2)×(3)×2.若f(x)＝eq\f(x,x－2)，则f′(x)＝________.【解析】f′(x)＝eq\f(x－2－x,x－22)＝－eq\f(2,x－22).【答案】－eq\f(2,x－22)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]导数运算法则的应用求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tanx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3);(4)y＝eq\f(x＋1,x－1).【导学号：24830075】【精彩点拨】仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣导数公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形，再结合基本初等函数的导数公式，小心计算.【自主解答】(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(4)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))′＝eq\f(x＋1′x－1－x＋1x－1′,x－12)＝eq\f(x－1－x＋1,x－12)＝－eq\f(2,x－12).深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和、差、积、商的导数问题的前提.在具体求导时，可结合给定函数本身的特点，先分清函数结构，再将各部分的导数求出，具体的求解策略主要有以下几种.(1)直接求导：利用导数运算法则直接求导数，此法适用于一些比较简单的函数的求导问题.(2)先化简后求导：在求导中，有些函数形式上很复杂，可以先进行化简再求导，以减少运算量.(3)先分离常数后求导：对于分式形式的函数，往往可利用分离常数的方法使分式的分子不含变量，从而达到简化求导过程的目的.[再练一题]1.求下列函数的导数：(1)y＝2x3－x＋eq\f(1,x)；(2)y＝2xtanx;(3)f(x)＝eq\f(lnx＋2x,x2).【解】(1)y′＝(2x3)′－x′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝6x2－1－eq\f(1,x2).(2)y′＝(2xtanx)′＝(2x)′tanx＋2x(tanx)′＝2xln2tanx＋2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2xln2tanx＋2xeq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝2xln2tanx＋2x＋2xtan2x＝2x(1＋ln2tanx＋tan2x).(3)f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)＋\f(2x,x2)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x2)))′＝eq\f(\f(1,x)·x2－lnx·2x,x4)＋eq\f(2xln2·x2－2x,x4)＝eq\f(1－2lnxx＋ln2·x2－2x·2x,x4)＝eq\f(1－2lnx＋ln2·x－22x,x3).复杂曲线的切线问题(1)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________.(2)曲线y＝eq\f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线方程为________.【精彩点拨】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，代入直线的点斜式方程得切线方程.【自主解答】(1)∵y′＝3lnx＋4，∴k＝3×ln1＋4＝4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.(2)由y′＝eq\f(2x－1－2x,2x－12)＝－eq\f(1,2x－12)，所以k＝－1，得切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.【答案】(1)4x－y－3＝0(2)x＋y－2＝0利用常见函数的导数与导数运算公式来简化曲线切线的求法.(1)在点P(x0，y0)处的切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(2)过点P(x1，y1)的切线方程：设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，代入点P(x1，y1)求出x0，即可得出切线方程(求出的x0的个数就是过这点的切线的条数).[再练一题]2.曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为________.【导学号：24830076】【解析】由导数的定义得y′＝3x2－2，∴k＝1，∴切线方程为y＝x－1.【答案】y＝x－1[探究共研型]导数的综合应用探究1在曲线y＝f(x)上有一点(x0，f(x0))，那么曲线在这一点处切线的斜率是什么？【提示】k＝f′(x0).探究2在探究1中，若还已知切线上另外一点(x1，f(x1))，那么该切线的斜率还可以如何表示？和探究1中得到的结论有什么关系？【提示】k＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)，f′(x0)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0).探究3若已知曲线y＝ax2在点P处的切线方程为y＝2x－1，能否求出切点P的坐标？能否求出曲线的方程？【提示】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝2ax，所以切线的斜率为2ax0＝2，又因为切点(x0，y0)在曲线y＝ax2和切线y＝2x－1上，所以有y0＝axeq\o\al(2,0)，且y0＝2x0－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＝2,y0＝2x0－1，,y0＝ax\o\al(2,0)))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1,y0＝1,a＝1))，所以切点P的坐标为(1,1)，曲线的方程为y＝x2.探究4通过以上讨论，你认为如何解决有关曲线切线的问题？【提示】解决曲线的切线问题应充分利用切点满足的三个关系式：一是切线的斜率是函数在此切点处的导数；二是切点的坐标满足切线的方程；三是切点的坐标满足切线的方程.可根据上述三个方面的条件建立相关的方程(组)求解未知数.设函数f(x)＝ax－eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.【精彩点拨】(1)利用已知切线的斜率、切点的坐标满足曲线的方程和切线的方程构建方程组可求出a，b的值，可得函数f(x)的解析式；(2)根据已知条件求出曲线y＝f(x)上任一点处的切线方程，得到所求面积的表达式即知其为定值.【自主解答】(1)由7x－4y－12＝0，得y＝eq\f(7,4)x－3.当x＝2时，y＝eq\f(1,2)，∴f(2)＝eq\f(1,2)，①又∵f′(x)＝a＋eq\f(b,x2)，∴f′(2)＝eq\f(7,4).②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故f(x)＝x－eq\f(3,x).(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋eq\f(3,x2)知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0)，即y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(3,x0)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x\o\al(2,0))))(x－x0).令x＝0，得y＝－eq\f(6,x0)，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为：eq\f(1,2)|－eq\f(6,x0)||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法，它适用于任何导数存在的函数，一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.[再练一题]3.已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋cx的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线.求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线的方程.【解】由题意，得f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0.∵f′(x)＝6x2＋a，g′(x)＝2bx＋c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16＋2a＝0，,4b＋2c＝0，,24＋a＝4b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－8，,b＝8，,c＝－16.))∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝8x2－16x，即f′(x)＝6x2－8，∴f′(2)＝16，∴在点P处的公切线方程为y＝16(x－2).[构建·体系]1.(2023·潍坊高二检测)函数y＝x3cosx的导数是______.【解析】y′＝3x2cosx＋x3(－sinx)＝3x2cosx－x3sinx.【答案】3x2cosx－x3sinx2.函数y＝eq\f(x,x＋2)的导数为________.【解析】∵y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋2)))′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(x＋2－x,x＋22)＝eq\f(2,x＋22).【答案】eq\f(2,x＋22)3.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________.【解析】∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.【答案】14.曲线f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为________.【解析】f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为eq\f(3π,4).【答案】