高二物理竞赛满足晶体宏观对称性要求的基本点对称操作课件

满足晶体宏观对称性要求的基本点对称操作

满足晶体宏观对称性要求的基本点对称操作A、点对称操作在操作（变换）过程中，至少保持一点不动的操作（旋转、中心反演、平面反映）。B、满足晶体宏观对称性要求的基本点对称操作（1）旋转对称轴

Cn晶体围绕某一固定轴旋转

2

/

n

后能自身重合的转动对称操作。对应的固定旋转轴称为

n

次对称轴

Cn

。晶体对称性定律：晶体只有

C1,C2

,C3

,C4

,C6轴不存在。5种旋转对称轴，C5

和6次以上的旋转对称n1

n1n2

n2cos

n3

sinn3

n2sin

n3cosn1

n2

n3

整数

（n2

n3

)

cos

(n2

n3

)sin1 2 3(n,n

,

n

0,1,2,3,)取

n1

n2

n3

1

，得到：整数

1

2cos因为：1

cos

1所以：1

1

2cos

3

3

2cos

1cos

1/

2cos

02

cos

13

1

1

2cos

01

2cos

11

2cos

21

2cos

3

1

2cos2cos

1

24CC1C23C6C4623熊夫利符号

国际符号图形符号不可能使五边形互相连接充满整个平面n

次象转轴

SnS1

C1

S2

C2

iS3

C3S4

C4S6

C6

C3i中心反演镜面反映非独立的对称操作独立对称操作非独立的对称操作将晶体围绕某一固定轴旋转

2

/

n

后再垂直于该轴的平面

进行平面反映，使晶体重合，则称晶体具有

n

次象转轴

Sn

。25634134象转操作示意图S2

C2

iS3

C31231S42S6

C6个满足晶体宏观对称性要求的基本点对称操作C1,C2

,C3

,C4

,C6

,i,

,

S4 旋转反演轴将晶体围绕某一固定轴旋转

2

/

n

后再经过中心反演，使晶体重合，则晶体具有

n 度旋转-反演轴，记为

n 。1

C1i

i

S22

C2i

S13

C3i

S64

C4i

S46

C6i

C3

S3中心反演镜面反映非独立的对称操作独立对称操作非独立的对称操作立方晶格的48种对称操作123围绕立方轴转动90、180、270度，有三个立方轴，共9种对称操作；围绕面对角线转动180度，有六条对角线，共6种对称操作；围绕立方体对角线转动120、240度，共4条立方体对角线，共8种对称操作；不动操作，1种对称操作；（以上共24种对称操作）以上转动操作加中心反演，使立方体保持不变，共48种对称操作；晶体的全部对称操作集合构成对称操作群。对称操作群包括了晶体的全部宏观对称性。所有晶体的宏观对称性都可以由8中独立对称操作的组合来表达。（1）群的有关知识如果满足以下性质，则称为群。A、集合G中任意两个元素的乘积仍为集合内的元素，即定义：一组元素的集合，G

a,b,

c,

d,，并在它们之间规定一种“乘法法则”，a、b

G,则

abG,B、元素间的乘法满足结合律：a、b、c

G, 则(ab)c

a(bc),C、集合中存在单位元素

e

，使得集合内所有元素满足：ae

ea

aD、对集合中任意元素

a，一定存在逆元素

a1

，满足：aa1

a1a

ea、b

G,ab

ba(ab)c

a(bc)a

1

1

a

aa1

1a

1a ax单位元素为1，正实数

x

的逆为

1 。），集合，以连续操作为乘法运算例2：C 群：元素 （转动13 3e,

C321 123 3 3C

C

C法则，单位元素为

e

（不动操作），

C1

的逆为

C

1

。3 31 23 3 3C

e,C,C

例1：正实数群

G

1,

a,b,

c,

：所有正实数集合，以普通乘法为运算法则，（2）晶体对称操作群——点群由8种基本（独立）点对称操作组合的对称操作集合称为点群。其中不动操作作为单位元素，“乘法”为连续操作，绕某轴旋转

角的逆为绕该稠旋转

度，中心反演的逆是中心反演。（3）晶体的32种宏观对称类型（32种）点群具体分析结果表明，由于晶格周期性的限制，8个基本（独立）点对称操作只能组成32个不同的点群。所以，所有晶体的宏观对称类型只有32种。按操作分类及相应名称（表1.3-1)：名称标记意义具体类型不动操作C1晶体没有任何对称性C1回转群Cn晶体只含有一个旋转对称轴C2

,C3

,C4

,C6双面群Dn晶体包含一个n

重旋转轴和n

个与之垂直的二重轴D2

,

D3

,

D4

,

D6Ci 群CiC1

加上中心反演CiCs

群CsC1

加上镜面反映CsCnh

群CnhCn群加上与n

重旋转轴垂直的镜面组成C2h

,C3h

,C4h

,C6hCnv

群CnvCn群加上

n

个含

n重旋转轴的镜面组成C2v

,C3v

,C4v

,C6vDnh

群DnhDn群加上与n 重旋转轴垂直的镜面组成D2h

,

D3h

,

D4h

,

D6hDnd

群DndDn

群加上通过n

重轴及两根二重轴的角平分线的镜面反映面组成D2d,

D3dSn

群Sn晶体只包含象转轴S4,

S6名称标记意义具体类型立方点群Oh包含立方对称的48个对称操作Oh正四面体点群Td包含正四面体的24个对称操作TdO

群OOh

群中24个转动操作组成O,

OhT 群TTd

群中12个转动操作TTh

群ThT

群加上中心反演Th从微观看，晶体格点的排列是无限的，为描述晶体的微观对称性，需要引入平移对称操作。A4A3A24321TA1A（1）

n

度螺旋轴C倍距离，格点重合。n2nT绕轴旋转 度，再沿旋转轴的方向平移

的

ll

nT

：旋转轴方向上的晶格周期例:

4度螺旋轴n

4（2）滑移反映面TA2A’2